新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第08講 函數(shù)的奇偶性及周期性（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page1313頁，共=sectionpages1414頁第8講函數(shù)的奇偶性及周期性學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且

，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，是周期為的函數(shù)又是定義在上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，故選：A2．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，排除CD選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，，由此排除B選項(xiàng).故選：A3．（2022·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，則是偶函數(shù)，，且，所以，對(duì)任意的恒成立，所以，，因?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，，因此，.故選：B.4．（2022·江蘇江蘇·二模）已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數(shù)，則＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱，即，即，即，關(guān)于對(duì)稱，又f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期為，∴，.故選：D.5．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）函數(shù)的定義域?yàn)?，若是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，∴，∵是偶函數(shù)，∴，即，，則，即周期為8；另一方面，∴，即是偶函數(shù).故選：B.6．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）函數(shù)是R上的奇函數(shù)，函數(shù)圖像與函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則（

）A．0 B．-1 C．2 D．1【答案】C【解析】函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則設(shè)，則，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)圖像與函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以故選：C7．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，滿足．設(shè)，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2021 D．2022【答案】C【解析】∵，∴，又為偶函數(shù)，∴，即，∴，又是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，∴，∴周期為4，又，∴，∴.故選：C.8．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）已知定義在D的上函數(shù)滿足下列條件：①函數(shù)為偶函數(shù)，②存在，在上為單調(diào)函數(shù).則函數(shù)可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，A不是；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，由得，即對(duì)任意的正整數(shù)k，都是的零點(diǎn)，顯然不能滿足條件②，B不是；對(duì)于C，，必有，則且，即定義域?yàn)榍?，，則函數(shù)為偶函數(shù)，滿足條件①，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，由得，令，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，而，在上為減函數(shù)，因此在上為減函數(shù)，即存在，在上為減函數(shù)，滿足條件②，C是；對(duì)于D，定義域?yàn)?，不能滿足條件②，D不是.故選：C9．（多選）（2022·遼寧沈陽·三模）已知分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則下列說法正確的有（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．的最小值為1【答案】ACD【解析】由題，將代入得，因?yàn)榉謩e是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以可得，將該式與題干中原式聯(lián)立可得.對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：由，，所以不可能在在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，表示向右平移1101個(gè)單位，故關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故D正確.故選：ACD10．（多選）（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的周期為6C． D．和的圖像所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8【答案】AD【解析】，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；又為偶函數(shù)，，所以函數(shù)的周期為4，故B錯(cuò)誤；由周期性和對(duì)稱性可知，，故C錯(cuò)誤；做出與的圖像，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與共有4個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于直線對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于直線對(duì)稱，則有，故D正確.故選：AD.11．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】設(shè)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得到，故.故答案為：1.12．（2022·山東煙臺(tái)·三模）若為奇函數(shù)，則的表達(dá)式可以為___________.【答案】，，，，等（答案不唯一）【解析】由為奇函數(shù)，則有即恒成立則，則為奇函數(shù)則的表達(dá)式可以為或或等故答案為：，，，，等13．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，都有，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則_______.【答案】3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，則有；因?yàn)閷?duì)任意，都有，令，得，所以對(duì)任意，都有，即函數(shù)的周期為，則，故答案為：.14．（2022·山東·勝利一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則_________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意恒成立，所以令，即，解得，所以對(duì)任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到，所以關(guān)于點(diǎn)，即為上的奇函數(shù)，所以，又對(duì)任意恒成立，令，得，即，再令，得，分析得，所以函數(shù)的周期為，因?yàn)椋栽谥?，令，得，所?故答案為：.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，解得，.16．（2022·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；(3)解關(guān)于的不等式．【解】(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，解得.(2)證明：由（1）可得，則函數(shù)為上的增函數(shù)，理由如下：任取、且，則，則，即，因此，函數(shù)為上的增函數(shù).(3)解：因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由可得，則，即，解得，因此，不等式的解集為.【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，所以.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以.即當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.令，則，所以不等式可化為：.當(dāng)時(shí)，不合題意舍去.當(dāng)時(shí)，對(duì)于.因?yàn)樵谏线f增，在上遞增，所以在上遞增.又，所以由可解得：，即，解得：.故選：C2．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時(shí)，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則有，解之得故選：D3．（多選）（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的單調(diào)遞增的函數(shù)滿足：任意，有，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．任意，C．存在非零實(shí)數(shù)，使得任意，D．存在非零實(shí)數(shù)，使得任意，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，令，則，即，又，；令得：，，，，則由可知：當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，令，則，即，，由A的推導(dǎo)過程知：，，B正確；對(duì)于C，為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，不存在非零實(shí)數(shù)，使得任意，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，；由，知：關(guān)于，成中心對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，為的對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，，，，；由圖象對(duì)稱性可知：此時(shí)對(duì)任意，，D正確.故選：ABD.4．（多選）（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若圖像上存在兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)的“友情點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”）.若，且，，，則（

）A．有無數(shù)個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)” B．恰有個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)?，，所以是奇函?shù)，所以圖像上存在無數(shù)對(duì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有無數(shù)個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”；又因?yàn)?，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，，即，所以當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，，所以，在上是增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)?，指?shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，因?yàn)椋笖?shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，由可得，故所以.故選：AD.5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，當(dāng)，時(shí)，都有，則不等式的解集為______．【答案】【解析】不等式等價(jià)為，即或，即或，是奇函數(shù)，且，

，故，則，，，又奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故在區(qū)間上也是增函數(shù)，故即或，此時(shí)；而即或，此時(shí)；故不等式的解集為，故答案為：6．（2022·山東濰坊·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，即，即，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，顯然有，于是得是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，討論的情況，再由對(duì)稱性可得的情況，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象、性質(zhì)與的的圖象、性質(zhì)一致，關(guān)于x的方程