新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第42講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page1919頁(yè)，共=sectionpages2020頁(yè)第42講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國(guó)·長(zhǎng)垣市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，且，則“”是“”成立的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件以及線面垂直的知識(shí)確定正確答案.【詳解】若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要條件.故選：A2．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，記平面平面，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】D【分析】根據(jù)線面平行可得兩平面的交線滿足，進(jìn)而根據(jù)平面，即可判斷平面.【詳解】由題意得，，平面,平面,則平面，又平面平面，∴，因?yàn)槠矫?平面,故平面,因此平面．故D正確而，平面,平面,則平面,故平面,選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同理選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于與相交不垂直，故與平面不垂直，因此不垂直平面，故C錯(cuò)誤；故選：D．3．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面平面【答案】D【分析】畫出正方體，結(jié)合幾何體圖像，根據(jù)線面平行、面面垂直、線面垂直、面面垂直的判定條件判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，而與平面相交，則A選項(xiàng)不正確；因?yàn)?，，所以平面平面，而平面與平面相交，則B選項(xiàng)不正確；在矩形中，與不垂直，即與平面不垂直，則C選項(xiàng)不正確；設(shè)的中點(diǎn)為G，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以平面，所以平面平面，則D選項(xiàng)正確.故選：D.4．（2022·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與相交 B．C．平面 D．平面【答案】B【分析】對(duì)于A，作圖直接觀察，由異面直線的定義，可得答案；對(duì)于B，由線面垂直的定義，通過(guò)證明線面垂直，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定定理，找出垂線，判斷其垂直與已知直線的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于D，過(guò)所求平面中的點(diǎn)，作已知直線的平行線，根據(jù)線面位置關(guān)系，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由題意可作圖如下：因?yàn)榕c異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接在正方體中，如下圖：，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，連接，如下圖：可得平面，因?yàn)榕c不平行，所以不垂直平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，如下圖：則，因?yàn)榻黄矫嬗冢黄叫衅矫?，即不平行平面，故D錯(cuò)誤．故選：B.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，，，則四面體中存在面面垂直關(guān)系的對(duì)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】分別證明出平面平面，平面平面，平面平面，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?又，，平面,平面.所以平面.又平面，平面，所以平面平面，平面平面.因?yàn)?，，，所以，所?又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，綜上可知有3對(duì).故選:B.6．（2022·河南·高三階段練習(xí)）在四棱錐中，平面平面，，，，為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．點(diǎn)到平面的距離為1【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，得出，再由可得線面垂直，即可判斷B，由B及平面平面可得矛盾，判斷C，利用，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離即可判斷D.【詳解】如圖，對(duì)于A，取PB的中點(diǎn)為N，連接MN，MD，CN.則，且，故四邊形MNCD是平行四邊形﹐則MD//CN,故MD//平面PBC，故A正確；對(duì)于B，易求得，則，而平面平面，是交線，故平面PAD，則，而由與可知，，故平面PBD，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，若平面PCD平面PAD，因?yàn)槭墙痪€，則PA平面PCD，與PA平面PBD矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接AC交BD于，則，即，故A到平面PBD的距離為C到平面PBD的距離的2倍，而平面PBD，且，故C到平面PBD的距離為1，故D正確.故選：C.7．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正四棱臺(tái)中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則下列判斷中，不正確的是（

）A．共面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【分析】根據(jù)正棱臺(tái)的概念及正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱相交于，則三棱錐為正四棱錐，連接，都在平面內(nèi)，故A正確；因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，由正棱錐的性質(zhì)可知，所以，即平面，故B正確；因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，則平面，平面，∴，平面，平面，∴平面，顯然平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，故D正確.故選：C.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．平面平面ABN B．C．平面平面AMN D．平面平面AMN【答案】C【分析】將幾何體補(bǔ)成正方體后再進(jìn)行判斷．【詳解】分別過(guò)A，C作平面ABCD的垂線AP，CQ，使得AP=CQ=1，連接PM，PN，QM，QN，將幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體．∵BC⊥平面ABN，BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正確；連接PB，則PB∥MC，顯然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正確；取MN的中點(diǎn)F，連接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC為二面角A-MN-C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN與平面AMN不垂直，故C錯(cuò)誤；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題，在解題時(shí)能運(yùn)用補(bǔ)的思想將其補(bǔ)成一個(gè)正方體，然后求解9．（多選）（2022·河北邯鄲·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則（

）A．直線與所成的角為B．對(duì)任意的點(diǎn)，都有平面C．存在點(diǎn)，使得平面平面D．存在點(diǎn)，使得平面平面【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)線線平行，找到直線與所成的角，根據(jù)正方體的性質(zhì)求出其度數(shù)；B選項(xiàng)，證明出平面，得到結(jié)論；C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，滿足平面平面；D選項(xiàng)，找到平面與平面所成的夾角，方法一：結(jié)合圓的知識(shí)點(diǎn)，推導(dǎo)出；方法二：設(shè)出未知數(shù)，利用正切的和角公式得到，求出最值，得到為銳角.【詳解】因?yàn)?，所以即為直線與所成的角，，故錯(cuò)誤；因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，又因?yàn)?，，所以平面，故平面，故正確；當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，平面//平面，所以存在點(diǎn)，使得平面//平面，故C正確.如圖，過(guò)點(diǎn)作，則為平面與平面的交線，在正方體中，平面，所以平面，所以，，所以即為平面與平面所成的夾角，方法一：因?yàn)辄c(diǎn)一定在以為直徑的圓外，所以，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故D錯(cuò)誤.方法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，此時(shí)為銳角，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度【答案】ABC【分析】由，可判斷選項(xiàng)A,由面面垂直的判定定理進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C,由線面平行的判定定理可判斷選項(xiàng)B,由線面垂直的性質(zhì)定理加上勾股定理可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)槭钦叫危裕忠蛩云矫嫫矫?，，所以平面，因此A正確；而平面，所以平面平面，因此C正確；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，而E為線段的中點(diǎn)，所以平面，平面，所以平面，因此B正確；對(duì)于D，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為1的正三角形，是正方形，所以．又由平面，有，所以．在中，，，又分別是等腰三角形的底邊和腰上的中線，所以線段與的長(zhǎng)度不相等（否則，是正三角形），因此D不正確；故選：ABC．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面、和直線、，則下列說(shuō)法：①若，，，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，，，則.其中正確的說(shuō)法序號(hào)為_(kāi)_______．【答案】④【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于①，若，，，則與的位置關(guān)系不確定，①錯(cuò)；對(duì)于②，若、不垂直，則與不垂直，②錯(cuò)；對(duì)于③，若，，則與不一定垂直，③錯(cuò)；對(duì)于④，由面面垂直的性質(zhì)定理可知④對(duì).故答案為：④.12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足___________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【答案】（或，等都可）【分析】先確定所填答案，如，再證明平面MBD⊥平面PCD即可，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面MBD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證.【詳解】解：可填，由為菱形，則，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案為：.（或，等都可）13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，．證明：平面平面；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，又因?yàn)槠矫?，由面面垂直的判定定理即可證明平面平面.【詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫婷?，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，平面，平面，平面，平面?14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，為的中點(diǎn)且．證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由底面，證得，結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得.【詳解】證明：因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，，，底面是菱形，，平面平面，．證明：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取CD中點(diǎn)E，連接，要證明平面，只需證明垂直平面內(nèi)兩條相交直線即可.【詳解】在四棱柱中，取CD中點(diǎn)E，連接，如圖，菱形中，，因，，平面，則平面，而平面，即有，因，則是正三角形，，又平面平面，平面平面，平面，則有平面，而平面，于是得，又，平面，所以平面．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四面體的棱平面，．證明：平面平面；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由題意證明和，利用面面垂直的判定定理及可證明結(jié)論.【詳解】證明：由題意知，作于M，連接，則，故，則，則，故．又，則，又，平面，故平面，又平面，則平面平面,即平面平面．【素養(yǎng)提升】1．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，并連接，使得平面平面，若所得三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理可以證得為直角，又為直角，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得到外接球的球心為斜邊AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)球的面積公式求得球的半徑，進(jìn)而計(jì)算求得三棱錐的體積.【詳解】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD，又∵AD?平面ACD，∴AD⊥BC，又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC?平面BCD，DC?平面BCD，∴AD⊥平面BCD，又∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD，即為直角，又∵為直角，∴取的中點(diǎn)，連接OC，OD，由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)OA=OB=OC=OD，可得為三棱錐外接球的球心，由三棱錐外接球的表面積為，可得外接球的半徑，∴，∵BC⊥平面ACD，為直角，∴三棱錐的體積為故選：C2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，進(jìn)而求得三棱錐的高，并推出側(cè)面為等腰直角三角形，作輔助線，將轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定最小時(shí)的線段的位置，再結(jié)合三角函數(shù)值，解直角三角形,求得答案.【詳解】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則,而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，,則,又,故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則,則平面SCM,故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長(zhǎng)，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B.3．（2022·北京·二模）如圖，在正方體，中，E，F(xiàn)，G分別為棱上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不重合），過(guò)作平面，垂足為H．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，給出以下四個(gè)結(jié)論：①若E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則；②若E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形一定是等邊三角形；③可能為直角三角形；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①④【分析】①等體積法判斷；②根據(jù)正方體的性質(zhì)畫出平行于平面的