數(shù)值分析實驗報告07158

實驗多項式插值的振蕩現(xiàn)象實驗目的：在一個固定的區(qū)間上用插值迫近一個函數(shù)，明顯Lagrange插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數(shù)就越高。我們自然關懷插值多項式的次數(shù)增添時，Ln(x)能否也更為湊近被迫近的函數(shù)。Runge給出的一個例子是極有名并富裕啟迪性的。實驗內(nèi)容：設區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)?？紤]區(qū)間[-1,1]的一個等距區(qū)分，分點為xi=-1+2i/n，i=0，1，2，，n，則拉格朗日插值多項式為n1Ln(x)li(x).i01225xi此中，li(x)，i=0，1，2，，n是n次Lagrange插值基函數(shù)。實驗步驟與結(jié)果剖析：實驗源程序functionChap2Interpolation數(shù)值實驗二：“實驗：多項式插值的震蕩現(xiàn)象”輸入：函數(shù)式選擇，插值結(jié)點數(shù)輸出：擬合函數(shù)及原函數(shù)的圖形promps={'請選擇實驗函數(shù)，若選g:'};titles='charpt_2';

f(x),

請輸入

f,

若選

h(x),

請輸入

h,若選

g(x),

請輸入result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('實驗函數(shù)選擇錯誤！');return;endresult=inputdlg({'請輸入插值結(jié)點數(shù)N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd<1)errordlg('結(jié)點輸入錯誤！');return;endswitchNb_fcase'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;endx0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a::b;y=Lagrange(x0,y0,x);fplot(f,[ab],'co');holdon;plot(x,y,'b--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Ln(x)--');%--------------------------------------------------------------------functiony=Lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=;fork=1:np=;forj=1:nif(j~=k)p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+p*y0(k);endy(i)=s;end實驗結(jié)果剖析增大分點n=2，3，時，拉格朗日插值函數(shù)曲線以下圖。n=6n=7n=8n=9n=10從圖中能夠看出，跟著n的增大，拉格朗日插值函數(shù)在x=0鄰近較好地迫近了本來的函數(shù)f(x)，可是卻在兩頭x=-1和x=1處出現(xiàn)了很大的振蕩現(xiàn)象。并且，認真剖析圖形，能夠看出，當n為奇數(shù)時，固然有振蕩，但振蕩的幅度不算太大，n為偶數(shù)時，其振蕩幅度變得很大。經(jīng)過思慮剖析，我以為，可能的原由是f(x)自己是偶函數(shù)，假如n為奇數(shù)，那么nn-1是偶次冪，比較切合f(x)Lagrange插值函數(shù)L(x)的最高次項x自己是偶函數(shù)的性質(zhì)；假如n為偶數(shù)，那么Lagrange插值函數(shù)nxn-1是奇次L(x)的最高次項冪，與f(x)自己是偶函數(shù)的性質(zhì)相反，所以振蕩可能更強烈。將本來的f(x)換為其余函數(shù)如h(x)、g(x)，結(jié)果以下圖。此中h(x),g(x)均定義在[-5，5]區(qū)間上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctanx。h(x),n=7h(x),n=8h(x),n=9h(x),n=10g(x),n=7g(x),n=8g(x),n=9g(x),n=10剖析兩個函數(shù)的插值圖形，能夠看出：跟著n的增大，拉格朗日插值函數(shù)在x=0鄰近較好地迫近了本來的函數(shù)f(x)，可是卻在兩頭x=-5和x=5處出現(xiàn)了很大的振蕩現(xiàn)象。并且，認真剖析圖形，能夠看出，當n為偶數(shù)時，固然有振蕩，但振蕩的幅度不算太大，n為奇數(shù)時，其振蕩幅度變得很大。原由和上邊f(xié)(x)的插值近似，h(x)、g(x)自己是奇函數(shù)，假如n為偶數(shù)，那么Lagrange插值函數(shù)Ln(x)的最高次項xn-1是奇次冪，比較切合h(x)、g(x)自己是奇函數(shù)的性質(zhì)；假如n為奇數(shù)，那么Lagrange插值函數(shù)Ln(x)的最高次項xn-1是偶次冪，與h(x)、g(x)自己是奇函數(shù)的性質(zhì)相反，所以振蕩可能更強烈。實驗多項式最小二乘擬合實驗目的：編制以函數(shù){xk}k=0,,n；為基的多項式最小二乘擬合程序。實驗內(nèi)容：對表中的數(shù)據(jù)作三次多項式最小二乘擬合。xiyin取權(quán)函數(shù)wi≡1，求擬合曲線*k*xk中的參數(shù){αk}、平方偏差δ2，并作失散據(jù)k0{xi,yi}的擬合函數(shù)的圖形。實驗源程序functionChap3CurveFitting%數(shù)值實驗三:“實驗3.1”%輸出:原函數(shù)及求得的相應插值多項式的函數(shù)的圖像以及參數(shù)alph和偏差rx0=-1::2;y0=[];n=3;%n為擬合階次alph=polyfit(x0,y0,n);y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)';%平方偏差x=-1::2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,'k--');xlabel('x');ylabel('y0*and');holdonplot(x0,y0,'*')gridon;disp(['平方偏差:',num2str(r)])disp(['參數(shù)alph:',num2str(alph)])實驗結(jié)果平方偏差:參數(shù)alph:實驗實驗目的：復化求積公式計算定積分.實驗題目：數(shù)值計算以下各式右端定積分的近似值.實驗要求：（1）若用復化梯形公式、復化Simpson公式和復化Gauss-LegendreI型公式做計算，要1*107求絕對偏差限為2，分別利用它們的余項對每種算法做出步長的事先預計.（2）分別用復化梯形公式，復化Simpson公式和復化Gauss-LegendreI型公式作計算.（3）將計算結(jié)果與精準解做比較，并比較各樣算法的計算量.實驗程序：事先預計的Matlab程序以下：（1）．用復化梯形公式進行事先預計的Matlab程序formatlonggx=2::3;f=-4*(3*x.^2+1)./(x.^2-1).^3;%二階導函數(shù)%plot(x,f)%畫出二階導函數(shù)圖像x=;%計算導函數(shù)最大值f=-4*(3*x^2+1)/(x^2-1)^3;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步長n=1/h;n=ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=0::1;f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3;%二階導函數(shù)%plot(x,f)%畫出二階導函數(shù)圖像x=1;%計算導函數(shù)最大值f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步長n=1/hn=ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=0::1;f=log(3).*log(3).*3.^x;%二階導函數(shù)%plot(x,f);%畫出二階導函數(shù)圖像x=1;%計算導函數(shù)最大值f=log(3)*log(3)*3^x;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步長n=1/hn=ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=1::2;f=2.*exp(x)+x.*exp(x);%二階導函數(shù)%plot(x,f)%畫出二階導函數(shù)圖像x=2;%計算導函數(shù)最大值f=2.*exp(x)+x.*exp(x);h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步長n=1/hn=ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)預計結(jié)果步長h及結(jié)點數(shù)n分別為h=n=1793h=n=1827h=n=2458h=n=7020（2）．用復化simpson公式進行事先預計的Matlab程序formatlonggx=2::3;f=-2*((-72*x.^2-24).*(x.^2-1)-192*x.^2.*(x.^2+1))./(x.^2-1).^5;%四階導函數(shù)x=;f=-2*((-72*x^2-24)*(x^2-1)-192*x^2*(x^2+1))/(x^2-1)^5;%計算導函數(shù)最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步長n=1/h;%求分段區(qū)間個數(shù)n=2*ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=0::1;f=4*((-72*x.^2+24).*(x.^2+1)-192*x.^2.*(-x.^2+1))./(x.^2+1).^5;%四階導函數(shù)x=1;f=4*((-72*x^2+24)*(x^2+1)-192*x^2*(-x^2+1))/(x^2+1)^5;%計算導函數(shù)最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步長n=1/h;%求分段區(qū)間個數(shù)n=2*ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=0::1;f=log(3)^4*3.^x;%四階導函數(shù)x=1;f=log(3)^4*3.^x;%計算導函數(shù)最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步長n=1/h;%求分段區(qū)間個數(shù)n=2*ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)formatlonggx=1::2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%四階導函數(shù)plot(x,f)%畫出原函數(shù)x=2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%計算導函數(shù)最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))n=1/h;%求分段區(qū)間個數(shù)n=2*ceil(1/h)+1%選用的點數(shù)預計結(jié)果步長h及結(jié)點數(shù)n分別為=n=47h=n=35h=n=29=n=49積分計算的Matlab程序：formatlonggpromps={'

請選擇積分公式，若用復化梯形，請輸入

T，用復化

simpson，輸入

S，用復化

Gauss_Legendre，輸入

GL：'};result=inputdlg(promps,'charpt4',1,{'T'});Nb=char(result);if(Nb~='T'&Nb~='S'&Nb~='GL')errordlg('

積分公式選擇錯誤

');return;endresult=inputdlg({'請輸入積分式題號

1-4：'},'

實驗',1,{'1'});Nb_f=str2num(char(result));if(Nb_f<1|Nb_f>4)errordlg('

沒有該積分式

');return;endswitchNb_fcase1fun=inline('-2./(x.^2-1)');a=2;b=3;case2fun=inline('4./(x.^2+1)');a=0;b=1;case3fun=inline('3.^x');a=0;b=1;case4fun=inline('x.*exp(x)');a=1;b=2;endif(Nb=='T')%用復化梯形公式promps={'請輸入用復化梯形公式應取的步長：'};result=inputdlg(promps,'h=str2num(char(result));if(h<=0)

實驗',1,{''});errordlg('請輸入正確的步長！');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum=0;fori=1:N-1xk=a+i*h;detsum=detsum+fun(xk);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2;time=toc;tendif(Nb=='S')%

用復化

Simpson公式promps={'

請輸入用復化

Simpson公式應取的步長：

'};result=inputdlg(promps,'h=str2num(char(result));if(h<=0)

實驗',1,{''});errordlg('

請輸入正確的步長！

');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum_1=0;detsum_2=0;fori=1:N-1xk_1=a+i*h;detsum_1=detsum_1+fun(xk_1);endfori=1:Nxk_2=a+h*(2*i-1)/2;detsum_2=detsum_2+fun(xk_2);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum_1+4*detsum_2)/6;time=toc;tendif(Nb=='GL')%用復化Gauss_LegendreI%先依據(jù)復化Gauss_LegendreI公式的余項預計步長promps={'請輸入用復化Gauss_LegendreI公式應取的步長：'};result=inputdlg(promps,'實驗',1,{''});h=str2num(char(result));if(h<=0)errordlg('請輸入正確的步長!');return;endtic;N=floor((b-a)/h);t=0;fork=0:N-1xk=a+k*h+h/2;t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)))+fun(xk+h/(2*sqrt(3)));endt=t*h/2;time=toc;tendswitchNb_fcase1disp('精準解：ln2-ln3=')disp(['絕對偏差：',num2str(abs(t+)]);disp(['運轉(zhuǎn)時間：',num2str(time)]);case2disp('精準解：pi=')disp(['絕對偏差：',num2str(abs(t-pi))]);disp(['運轉(zhuǎn)時間：',num2str(time)]);case3disp('精準解：2/ln3=')disp(['絕對偏差：',num2str(abs)]);disp(['運轉(zhuǎn)時間：',num2str(time)]);case4disp('精準解：e^2=')disp(['絕對偏差：',num2str(abs)]);disp(['運轉(zhuǎn)時間：',num2str(time)]);end入采用復化梯形公式時：（1）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：ln2-ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（2）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：pi=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（3）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：2/ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（4）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：e^2=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：入采用復化Simpson公式進行計算時：（1）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：ln2-ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（2）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：pi=絕對偏差：0運轉(zhuǎn)時間：（3）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：2/ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（4）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：e^2=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：入采用復化Gauss-LegendreI型公式進行計算時：（1）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：ln2-ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（2）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：pi=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（3）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：2/ln3=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：（4）式運轉(zhuǎn)結(jié)果為：t=精準解：e^2=絕對偏差：運轉(zhuǎn)時間：結(jié)果剖析：入采用復化梯形公式時，對步長的事先預計所要求的步長很小，選用的節(jié)點好多，偏差絕對1*107限要達到2時，對不一樣的函數(shù)n的取值需達到1000-10000之間，計算量是很大。用復化simpson公式對步長的事先預計所要求的步長相對大些，選用的節(jié)點較少，偏差絕對1*107限要達到2時，對不一樣的函數(shù)n的取值只要在10-100之間，計算量相對小了好多，可知足用較少的節(jié)點達到較高的精度，比復化梯形公式的計算量小了好多。用復化simpson公式計算所得的結(jié)果比用復化梯形公式計算所得的結(jié)果精度高好多，并且計算量小。入采用Gauss-LagrangeI型公式進行計算時，采用較少的節(jié)點就能夠達到很高的精度。實驗常微分方程性態(tài)和R-K法穩(wěn)固性試驗實驗目的：觀察下邊微分方程右端項中函數(shù)y前面的參數(shù)對方程性態(tài)的影響（它可使方程為好條件的或壞條件的）和研究計算步長對R-K法計算穩(wěn)固性的影響。實驗內(nèi)容及要求：實驗題目：常微分方程初值問題'yayax1,0x1,此中，50a50。其精準解為y(x)eaxx。實驗要求：本實驗題都用4階經(jīng)典R-K法計算。（1）對參數(shù)a分別取4個不一樣的數(shù)值：一個大的正當，一個小的正當，一個絕對值小的負值和一個絕對值大的負值。取步長h=，分別用經(jīng)典的R-K法計算，將四組計算結(jié)果畫在同一張圖上，進行比較并說明相應初值問題的性態(tài)。（2）取參數(shù)a為一個絕對值不大的負值和兩個計算步長，一個步長使參數(shù)ah在經(jīng)典R-K法的穩(wěn)固域內(nèi)，另一個步長在經(jīng)典R-K法的穩(wěn)固域外。分別用經(jīng)典R-K法計算并比較計算結(jié)果。取全域等距的10個點上的計算值，列表說明。實驗程序：Matlab程序以下：functioncharp5RK%數(shù)值試驗：常微分方程性態(tài)和R-K法穩(wěn)固性試驗%輸入：參數(shù)a，步長h%輸出：精準解和數(shù)值解圖形對照%clf;result=inputdlg({'請輸入

[-50

，50]間的參數(shù)

a:'},'

實驗',1,{'-40'});a=str2num(char(result));if(a<-50|a>50)errordlg('

請輸入正確的參數(shù)