一元二次方程應(yīng)用題專題講練課件

數(shù)字與方程1.兩個數(shù)的差等于4,積等于45,求這兩個數(shù).快樂學(xué)習(xí)1[例2]

三個連續(xù)偶數(shù)，已知最大數(shù)與最小數(shù)的平方和比中間一個數(shù)的平方大332，求這三個連續(xù)偶數(shù).

1、偶數(shù)個連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)），一般可設(shè)中間兩個為(x

1)和(x

1).2、奇數(shù)個連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)，自然數(shù)），一般可設(shè)中間一個為x.如三個連續(xù)偶數(shù)，可設(shè)中間一個偶數(shù)為x，則其余兩個偶數(shù)分別為(x

2)和(x+2)又如三個連續(xù)自然數(shù)，可設(shè)中間一個自然數(shù)為x，則其余兩個自然數(shù)分別為(x

1)和(x

1).解：設(shè)中間一個偶數(shù)為x，則其余兩個偶數(shù)分別為(x

2)和(x

2),根據(jù)題意，得(x

2)2+(x

2)2

x2

332整理，得x2

324

x

18當(dāng)x

18時，x

2

16,x

2

20；當(dāng)x=

18時，x

2=

20,x

2

16.答：這三個連續(xù)偶數(shù)分別為16、18和20，或

20、

18和

16.

[例3]

一個兩位數(shù)等于其各位數(shù)字之積的3倍，且其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這個兩位數(shù).

解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則其個位數(shù)字為（x

2），根據(jù)題意，得10x

(x

2)

3x(x

2)整理，得3x2

5x

2

0解得∵不合題意，舍去；∴x

2,10x

(x

2)

24.答：這個兩位數(shù)為24.（1）十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b的兩位數(shù)是10a

b;（2）百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c的三位數(shù)是100a

10b

c.數(shù)字與方程3.一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字小3,而它的個位數(shù)字的平方恰好等于這個兩位數(shù).求這個兩位數(shù).快樂學(xué)習(xí)3數(shù)字與方程4.有一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是5.把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字互換后得到另一個兩位數(shù),兩個兩位數(shù)的積為763.求原來的兩位數(shù).快樂學(xué)習(xí)4例題解析1.如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃.要圍成苗圃的面積為81m2,應(yīng)該怎么設(shè)計?解:設(shè)苗圃的一邊長為xm,則另一邊長（18-x）m，依題意得答:應(yīng)圍成一個邊長為9米的正方形.2、用20cm長的鐵絲能否折成面積30cm2的矩形,若能夠,求它的長與寬;若不能,請說明理由.解:設(shè)這個矩形的長為xcm,則寬為cm,依題意得即x2-10x+30=0這里a=1,b=－10,c=30,∴此方程無解.答：用20cm長的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形.

在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。XX30cm20cm解:設(shè)長方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5當(dāng)x=20時,20-2x=-20(舍去);當(dāng)x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm探究1分析:本題關(guān)鍵是如何用x的代數(shù)式表示這個長方形框的面積

要設(shè)計一本書的封面,封面長27㎝,寬21㎝,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度?(精確到0.1cm)2721分析:這本書的長寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7解法一:設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm依題意得解得故上下邊襯的寬度為:左右邊襯的寬度為:探究2

要設(shè)計一本書的封面,封面長27㎝,寬21㎝,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度?2721分析:這本書的長寬之比是9:7,正中央的矩形兩邊之比也為9:7,由此判斷上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也為9:7解法二:設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得(以下同學(xué)們自己完成)方程的哪個根合乎實際意義?為什么?學(xué)校課外生物小組的實驗園地是一塊長40米，寬26米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為864平方米，求小道的寬？

解設(shè)小道的寬為x

米。根據(jù)題意得:(40－2x)(26－x)=864（不合題意，舍去）答：小道的寬為2米。小道小道26404026探究3

我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）例2：某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條道路,余下部分作草坪,并請全校同學(xué)參與設(shè)計,現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計了一種方案(如圖),根據(jù)兩種設(shè)計方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2.補充例題與練習(xí)(1)(2)(1)解:(1)如圖，設(shè)道路的寬為x米，則化簡得，其中的x=25超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去.∴圖(1)中道路的寬為1米.則橫向的路面面積為

，分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖，設(shè)道路的寬為x米，32x米2縱向的路面面積為

。20x米2注意：這兩個面積的重疊部分是x2

米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2。(2)而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是米2所以正確的方程是：化簡得，其中的x=50超出了原矩形的長和寬，應(yīng)舍去.取x=2時，道路總面積為：

=100(米2)草坪面積==540（米2）答：所求道路的寬為2米。解法二：

我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）(2)(2)橫向路面

，如圖，設(shè)路寬為x米，32x米2縱向路面面積為

。20x米2草坪矩形的長（橫向）為

，草坪矩形的寬（縱向）

。相等關(guān)系是：草坪長×草坪寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法1相同。練習(xí)：2.如圖,長方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路,已知小路的面積為246m2,求小路的寬度.ABCD解:設(shè)小路寬為x米，則化簡得，答:小路的寬為3米.例3、求截去的正方形的邊長用一塊長28cm、寬20cm的長方形紙片，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為180cm２，為了有效地利用材料，求截去的小正方形的邊長是多少cm？求截去的正方形邊長解：設(shè)截去的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意，得

(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解這個方程，得：x1=5,x2=19經(jīng)檢驗：x2＝19不合題意，舍去．所以截去的正方形邊長為５cm.例4:建造一個池底為正方形,深度為2.5m的長方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價是120元/m2,建造池底的單價是240元/m2,總造價是8640元,求池底的邊長.分析:池底的造價+池壁的造價=總造價解:設(shè)池底的邊長是xm.根據(jù)題意得:解方程得:∵池底的邊長不能為負數(shù),∴取x=4答:池底的邊長是4m.列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆．現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層?解:要放x層,則每一層放(1+x)

支鉛筆.得x(1+x)=190×2

X＋X－380＝0解得X1＝19，

X2＝－20(不合題意)答:要放19層.2例4．某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？（2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？補充例題與練習(xí)分析：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模．解：（1）設(shè)渠深為xm則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m依題意，得：整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=0.8m，x2=-2（不合題意,舍去）∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．練習(xí)：5、圍繞長方形公園的柵欄長280m.已知該公園的面積為4800m2.求這個公園的長與寬.

幾何與方程快樂學(xué)習(xí)66.一直角三角形的斜邊長7cm,一條直角邊比另一條直角邊長1cm,求兩條直角邊長度.幾何與方程7.一塊長方形草地的長和寬分別為20cm和15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246cm2,求小路的寬度.快樂學(xué)習(xí)7201515+2x20+2x幾何與方程8.如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.快樂學(xué)習(xí)3例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B移動,點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2？解：設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意，得整理，得解這個方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm211.某汽車在公路上行駛,它的路程s(m)和時間t(s)之間的關(guān)系為:s=10t+3t2,那么行駛200m需要多長時間?運動與方程開啟智慧例1：有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?……被傳染人被傳染人……被傳染人被傳染人…………xx開始傳染源1被傳染人被傳染人則第一輪的傳染源有

人，有

人被傳染，x設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，開始傳染源被傳染人被傳染人……x第二輪的傳染源有

人，有

人被傳染.

1xx+1x(x+1)例1：有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?分析：（3）如何理解經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感？傳染源數(shù)、第一輪被傳染數(shù)和第二輪被傳染數(shù)的總和是121人.例1：有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?分析：（4）如何利用已知數(shù)量關(guān)系列出方程，并解方程得出結(jié)論?解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.1+x+x(1+x)=121答:平均一個人傳染了10個人.10-12(不符題意，舍去)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：第一步：審題，明確已知和未知；第二步：找相等關(guān)系；第三步：設(shè)元，列方程，并解方程；第五步：作答.第四步：檢驗根的合理性；(5)如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?121+121×10=1331人（6）通過對這個問題的探究，你對類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系有新的認識嗎？x+1第三輪的傳染源有

人，有

人被傳染，共有

人患流感？x+1

+x(x+1)第二輪的傳染源有

人，有

人被傳染，共有

人患流感？第一輪的傳染源有

人，有

人被傳染，共有

人患流感？

設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，1xx(x+1)x+1x+1

+x(x+1)〔x+1

+x(x+1)〕x+〔x+1

+x(x+1)〕xx+1

+x(x+1)1.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設(shè)每個支干長出x個小分支,則

1+x+x·x=91

x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個支干長出9個小分支.2：甲型流感病毒的傳染性極強，某地因1人患了甲型流感沒有及時隔離治療，經(jīng)過兩天的傳染后共有9人患了甲型流感，每天平均一個人傳染了幾人？如果按照這個傳染速度，再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)一共將會有多少人患甲型流感？解：設(shè)每天平均一個人傳染了x人。解得：（舍去）

或答：每天平均一個人傳染了2人，這個地區(qū)一共將會有2187人患甲型流感既課前熱身1：二中小明學(xué)習(xí)非常認真，學(xué)習(xí)成績直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績是a分，第二次月考增長了10%，第三次月考又增長了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）課前熱身2：某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達50億元，三月份產(chǎn)值為72億元，問二月、三月平均每月的增長率是多少？解：設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程為50(1+x)2=72

可化為：解得：答：二月、三月平均每月的增長率是20%例1：平陽按“九五”國民經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃要求，2003年的社會總產(chǎn)值要比2001年增長21%，求平均每年增長的百分率．（提示：基數(shù)為2001年的社會總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增長21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增長的百分率為10%

．13.甲公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.4萬元.該公司繳稅的年平均增長率為多少?增長率與方程開啟智慧14.某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低19%，那么平均每年需降低百分之幾?增長率與方程開啟智慧17.某電冰箱廠每個月的產(chǎn)量都比上個月增長的百分數(shù)相同。已知該廠今年4月份的電冰箱產(chǎn)量為5萬臺，6月份比5月份多生產(chǎn)了120000臺，求該廠今年產(chǎn)量的月平均增長率為多少?開啟智慧增長率與方程

1、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會，加快推進社會主義現(xiàn)代化建設(shè)，力爭國民生產(chǎn)總值到2020年比2000年翻兩番，在本世紀的頭二十年（2001年至2020年），要實現(xiàn)這一目標，以十年為單位計算，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn)總值的平均增長率為x，那么x滿足的方程為_____________

相信自己(1+x)2=4

2、某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達50億元，第一季度總產(chǎn)值達175億元，問二、三月份平均每月的增長率為多少？設(shè)平均每月增長率為x，根據(jù)題意得方程：________________________

相信自己50+50(1+x)+50(1+x)2=175小結(jié)類似地這種增長率的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為其中增長取+,降低取－小結(jié)1、平均增長（降低）率公式2、注意：（1）1與x的位置不要調(diào)換（2）解這類問題列出的方程一般般用直接開平方法練習(xí):1.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=5002.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預(yù)計今明兩年的投資總額為8萬元,若設(shè)該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為

.B18.一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一次手,有人統(tǒng)計一共握了66次手.這次會議到會的人數(shù)是多少?開啟智慧美滿生活與方程19.小明將勤工助學(xué)掙得的500元錢按一年定期存入銀行,到期后取出50元用來購買學(xué)習(xí)用品剩下的450元連同應(yīng)得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變,且到期后可得稅后本息約461元,那么這種存款的年利率大約是多少?(精確到0.01%).開啟智慧美滿生活與方程

20.某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子,現(xiàn)準備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個.如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹?開啟智慧經(jīng)濟效益與方程我也參與商場竟爭2.某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年片,一種賀年片平均每天能售出500張,每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明:當(dāng)銷售價每降價0.1元時,其銷售量就將多售出100張.商場要想平均每天盈利達到120元,每張賀年片應(yīng)降價多少元?源于生活,服務(wù)于生活我是商場經(jīng)理例2新華商場銷售某種冰箱,每臺進價為250元.市場調(diào)研表明:當(dāng)銷售價為2900元時,平均每天能售出8臺;而當(dāng)銷價每降低50元時,平均每天能多售4臺.商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元?例題欣賞1我是商場經(jīng)理例2新華商場銷售某種冰箱,每臺進價為250元.市場調(diào)研表明:當(dāng)銷售價為2900元時,平均每天能售出8臺;而當(dāng)銷價每降低50元時,平均每天能多售4臺.商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元?例題欣賞2我是商場精英1.某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出,平均每月能售出600個.市場調(diào)研表明:當(dāng)銷售價為每上漲1元時,其銷售量就將減少10個.商場要想銷售利潤平均每月達到10000元,每個臺燈的定價應(yīng)為多少元?這時應(yīng)進臺燈多少個?源于生活,服務(wù)于生活銷售問題21.某商場銷售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?源于生活,服務(wù)于生活

22.某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品,若每件商品售價為x元,則每天可賣出(350-10x)件,但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%.商店要想每天賺400元,需要賣出多少年來件商品?每件商品的售價應(yīng)為多少元?開啟智慧銷售問題回味無窮小結(jié)拓展列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系?2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位;3.列:列代數(shù)式,列方程;4.解:解所列的方程;5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出相等關(guān)系.關(guān)于兩次平均增長(降低)率問題的一般關(guān)系:a(1±x)2=A(其中a表示基數(shù),x表表示增長(或降低)率,A表示新數(shù))知識的升華獨立作業(yè)根據(jù)題意，列出方程：1.在一幅長90cm,寬40cm的風(fēng)景畫四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖。如果要求風(fēng)景畫的面積是整個掛圖面積的72%。那么金邊的寬應(yīng)是多少？解：設(shè)金邊的寬為xcm，根據(jù)題意得即x2+65x-350＝0.解這個方程,得x1

＝5;x2

＝-70(不合題意,舍去).答:金鏈的寬應(yīng)是5cm.5xx

xx

（8－2x）（5－2x）8

鏡框有多寬?

一塊四周鑲有寬度相等的花邊的鏡框如下圖，它的長為8m，寬為5m．如果鏡框中央長方形圖案的面積為18m2，則花邊多寬?解：設(shè)鏡框的寬為xm

，則鏡框中央長方形圖案的長為

m,

寬為

m,得

（8－2x）（5－2x）１８m2例1.