切線長定理 省賽獲獎

切線長定理OPAB1.性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑.2.判定定理過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.判定：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線CDB●OA知識回顧和三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.這個三角形叫做圓的外切三角形.內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.ABC●I如果四邊形的四條邊都與一個圓相切,這圓叫做四邊形的內(nèi)切圓.這個四邊形叫做圓的外切四邊形.●OABCD知識回顧O過直線外一點畫圓的直線，你能畫出幾條？試試看。PABOPAB議一議如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點。（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）在這個圖中你能找到相等的線段嗎?說說你的理由。（一）、切線長定義1、切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.2、剖析定義：①在圓的切線上；②兩個端點一個是切點，一個是圓外已知點。OPAB3、在圖形中辨別：

（1）已知：如圖，PA和PB分別與⊙O相切于點A、B，點P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA或線段PB）（2）如圖，思考：點P到⊙O的切線長可以用三條或三條以上不同的線段的長來表示嗎？這樣的線段最多可以有幾條？為什么？OPAB（3）既然點P到⊙O的切線長可以用兩條不同的線段的長來表示，那么這兩條線段之間一定存在著某種關(guān)系，是什么關(guān)系呢？OPAB（二）、切線長定理1、探索問題：從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線，切點分別為A、B，那么線段PA和PB之間有何關(guān)系？探索步驟：（1）根據(jù)條件畫出圖形；（2）度量線段PA和PB的長度；（3）猜想：線段PA和PB之間的關(guān)系；（4）尋找證明猜想的途徑；（5）在圖3中還能得出哪些結(jié)論？并把它們歸類。OPAB2、得出定理：切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。OPABOPAB已知：如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點。求證：PA=PB，PO平分∠APB證明：連接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切線∴∠PAO=∠PBO=90°在Rt△POA和Rt△POB中∵OA=OB，OP=OP∴Rt△POA≌Rt△POB∴PA=PB,PO平分∠APB∵PA、PB分別是⊙O的切線，點A、B分別為切點，（PA、PB分別與⊙O相切于點A、B）∴PA=PB.用符號語言表示定理：OPAB(3)切線和切線長區(qū)別。切線是到圓心距離等于圓的半徑的直線，而切線長是線段的長度，指過圓外一點做圓的切線，該點到切點的距離。OPAB4、拓展：（1）下圖是軸對稱圖形嗎？連結(jié)圖中的兩個切點AB交OP于點C，又能得出什么結(jié)論？答：是軸對稱圖形，連接AB，結(jié)論成立。（1）△PAB是一個等腰三角形，并且存在等腰三角形的三線合一定理.（2）AB⊥OP，出現(xiàn)了圓的垂徑定理.OPABC（2）已知⊙O的兩條切線互相平行，A、B兩點為切點，如果連接兩切點AB，則AB是⊙O的直徑嗎？CD（3）如圖，作出三角形三條切線后與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圖中存在切線長定理嗎？.存在ABCDEF（三）圓的外切四邊形的性質(zhì)請同學(xué)們先在草稿本中作出有關(guān)已知圓O的四條切線，再互相交流與討論你的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論并加以驗證.結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.HEFG例1：已知如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D,E,F，求⊙O的半徑。解法1：連接OD，OE，OF，設(shè)OD=r在Rt△ABC中，AC=10，BC=24∵⊙O分別與AB，BC，CA相切于D,E,F∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF連接OA，OB，OC又∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO∴r=4即⊙O半徑為4例1：已知如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D,E,F，求⊙O的半徑。解法2：連接OD，OE，OF，設(shè)OD=r在Rt△ABC中，AC=10，BC=24∵⊙O分別與AB，BC，CA相切于D,E,F∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BE=BD，AF=AD，CE=CF又∵∠C=90°∴四邊形OECF為正方形∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26∴r=4即⊙O半徑為4變式1：如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA,AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長。(知識技能2)變式2：如圖，P是⊙O外一點，PA與PB分別⊙O切于A、B兩點，DE也是⊙O的切線，切點為C，PA=PB=5cm，求△PDE的周長。(知識技能1)OABDCEP隨堂練習(xí)已知O的半徑為3cm，點P和圓心O的距離為6cm，過P作O的兩條切線，求這兩條切線的長。OPAB知識技能33.如圖，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PA和PB，點A、點B為切點，∠P=40°，點D在AB上，點E和點F分別在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF。12345數(shù)學(xué)理解44.如圖，有一張四邊形ABCD紙片，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，且∠B=90°（1）要把該四邊形裁剪成一個面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心，若能，請你度量出圓的半徑。（2）計算出最大的圓形紙片的半徑。ABCDOE這節(jié)課有何收獲？！你2.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.課堂小結(jié)1.切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.3.切線是到圓心距離等于圓的半徑的直線4.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.OPAB三、應(yīng)用新知，體驗成功1、填空：如圖10，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO=

；（2）若PO=10，AO=6，則PB=

；（3）若PA=4，AO=3，則PO=

；PD=

；58