直線的方程（八大題型）

直線的方程課程標準學習目標1、能說出平面直角坐標系中確定直線的幾何要素，能結合直線的點斜式方程求解過程，說明“直線的方程”和“方程的直線”之間的關系．2、能根據(jù)確定直線的幾何要素（一點和方向）建立點斜式方程，能通過點的特殊化得出斜截式方程．3、能利用點斜式推出兩點式，能通過特殊化得出截距式．4、能通過歸納點斜式、斜截式、兩點式、截距式的共性，概括出直線的一般式方程；能用自己的語言解釋直線與二元一次方程的關系．5、能用直線的方程解決簡單的問題．1、了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程．2、掌握直線的點斜式方程與斜截式方程3、根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點式方程4、掌握直線的一般式方程5、會進行直線方程的五種形式之間的轉化．知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當直線的傾斜角為0°時，直線方程為；3、當直線傾斜角為90°時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4、表示直線去掉一個點；表示一條直線．【即學即練1】一直線過點，它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍，則這條直線的點斜式方程為______．【答案】【解析】直線的斜率為，所以該直線的傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，斜率為，所以所求直線的點斜式方程為故答案為：.知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3、當時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．【即學即練2】傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為__________．【答案】【解析】因為直線的傾斜角為，則直線的斜率，所以直線的方程，即.故答案為：.知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關．4、在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉化為整式形式，從而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情況，但此轉化過程不是一個等價的轉化過程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設兩點式的整式形式．【即學即練3】已知，，則直線的兩點式方程為__．【答案】【解析】當直線過兩點，時，其兩點式方程為，則直線的兩點式方程為，故答案為：.知識點四：直線的截距式方程若直線與x軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．叫做直線在x軸上的截距，叫做直線在軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2、求直線在坐標軸上的截距的方法：令得直線在軸上的截距；令得直線在軸上的截距．【即學即練4】過兩點，的截距式方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于直線過，兩點，所以直線在x軸，y軸上的截距分別為－2，3，由截距式可知，方程為．故選：D知識點五：直線方程的一般式關于和的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與x軸垂直的直線．由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數(shù)個關于、的一次方程．【即學即練5】若，且，則經(jīng)過的直線的一般方程為_________【答案】【解析】若,則點在直線上,點在直線上即、都在同一直線上因為兩點確定一條直線,所以由、確定的直線即為故答案為:題型一：求直線的點斜式方程例1．（2023·四川樂山·高二校聯(lián)考期中）平面直角坐標系中，過點，且在且傾斜角α滿足，則直線的點斜式方程為_______.【答案】【解析】因為，且，解得或，因為，所以，即，所以，即直線的斜率，所以直線方程為，故答案為：例2．（2023·高二課時練習）若直線l經(jīng)過點，且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求直線l的點斜式方程．【解析】設直線的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為，因為，所以，又直線經(jīng)過點，故所求直線方程為；例3．（2023·高二課時練習）根據(jù)下列條件求直線的點斜式方程：(1)經(jīng)過點，斜率為4；(2)經(jīng)過點，傾斜角為．【解析】(1)由題得直線的點斜式方程為.(2)由題得直線的斜率為，所以直線的點斜式方程為.例4．（2023·高二課時練習）求過點，傾斜角等于的傾斜角的一半的直線的點斜式方程．【解析】直線的斜率為，傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線過點，則直線的點斜式方程為.【技巧總結】（1）利用點斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時的斜率；②在直線上找一點，并求出其坐標．（2）要注意點斜式直線方程的逆向運用，即由方程可知該直線過定點且斜率為．題型二：求直線的斜截式方程例5．（2023·高二課時練習）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為______．【答案】【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，故答案為：.例6．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習）過點且與坐標軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．【答案】或【解析】由題意所求直線l的斜率必存在，且不為，設其斜率為，則直線l方程為，令，得，令，得，故所圍三角形面積為，即，當時，上式可化為，解得或；當時，上式可化為，方程無解；綜上：直線的斜截式方程是或.故答案為：或.例7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.【解析】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan150°＝－，故所求直線的斜截式方程為y＝－x－2.（3）因為直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝．因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.例8．（2023·高二課時練習）已知直線過點和．（1）求直線的點斜式方程；（2）將（1）中的直線的方程化成斜截式方程，并寫出直線在軸上的截距．【解析】（1）直線的斜率，故直線的點斜式方程為（或）．（2）由得，所以直線的斜截式方程為，當時，，所以直線在軸上的截距為．【技巧總結】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點斜式方程少一個參數(shù)，即斜截式方程只要兩個參數(shù)、即可確定直線的方程，而點斜式方程則需要三個參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡潔明了，這樣當我們僅知道直線滿足一個條件時，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡的作用．（3）若直線過某一點，則這一點坐標一定滿足直線方程，這一隱含條件應充分利用．題型三：用兩點式求直線的方程例9．（2023·高二課時練習）過點，直線的兩點式方程為______．【答案】【解析】過點，直線的兩點式方程為故答案為：例10．（2023·高二課時練習）已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．【答案】【解析】直線的兩點式方程為：將點、代入得：.故答案為：.例11．（2023·高二課時練習）經(jīng)過點?的直線的兩點式方程為___________.【答案】【解析】因為直線經(jīng)過點?，由直線的兩點式方程可得，可得，即，所以直線的兩點式方程為.故答案為：.例12．（2023·高二課時練習）已知直線l的兩點式方程為，則l的斜率為______．【答案】【解析】易得直線過，故l的斜率為.故答案為：例13．（2023·高二課時練習）下列說法中，正確的是______．（填序號）①一條直線不與x軸平行或重合，則它的方程可以寫成兩點式；②點斜式方程適用于不垂直于x軸的任何直線；③過，兩點的所有直線方程可表示為；④經(jīng)過任意兩個不同的點，的直線都可以用方程表示．【答案】②④【解析】兩點式不能表示與軸平行或重合的直線，故①③錯誤；點斜式適用于不垂直于x軸的任何直線，故②正確；④是兩點式的變形，但是包括了與軸平行或重合的直線，故④正確，故答案為：②④.【技巧總結】當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫出方程．題型四：用截距式求直線的方程例14．直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，即，所以直線的截距式方程為．故選：B.例15．（2023·河南南陽·高二?？茧A段練習）下列說法中正確的是（

）A．直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為【答案】D【解析】因為截距式適用于在軸、軸上的截距都存在且都不為0的直線，所以A錯誤；因為方程與不符合截距式方程的結構特點，所以B錯誤；因為斜截式的直線方程包含在軸上的截距為0的情況，而此類直線的方程不可以化為截距式，如直線，所以C錯誤；在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為，易知D正確.故選：D例16．（2023·全國·高二專題練習）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為三頂點坐標為，又為的中點，為的中點，由中點坐標公式可得：，則直線的兩點式方程為：，故截距式方程為.故選：A．【技巧總結】應用截距式求直線方程時，一定要注意討論截距是否為零．題型五：直線的一般式方程例17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點，則直線l的方程為________________.【答案】或.【解析】設直線方程的截距式為.則，解得或，則直線方程是或，即或.故答案為：或.例18．（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）傾斜角為，且過點的直線的方程為__________.【答案】/【解析】因為直線傾斜角為，且過點，所以直線軸，故直線方程為，故答案為：例19．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）直線l過點，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為______．【答案】【解析】由直線的點斜式可得，方程為，化為一般式方程為.故答案為：例20．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？计谀┻^點的直線方程（一般式）為_____．【答案】【解析】因為過點的直線的斜率為，所以直線方程為，化為一般式為，故答案為：．例21．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.【解析】把坐標代入直線和直線，得,，∴，過點和點的直線的方程是：，∴，則，∵，∴，∴所求直線方程為．例22．（2023·高二課時練習）已知直線l的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點，求直線l的一般式方程．【解析】直線l的傾斜角為，，當為銳角時，，直線l的斜率，由直線點斜式方程得：，即，當為鈍角時，，直線l的斜率，由直線點斜式方程得：，即，所以直線l的一般式方程為或.【技巧總結】對于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)，一般按含項、項、常數(shù)項順序排列．求直線方程的題目，無特別要求時，結果寫成直線方程的一般式．題型六：判斷動直線所過定點例23．（2023·高二課時練習）已知實數(shù)滿足，則直線過定點_____.【答案】【解析】由實數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點.故答案為：.例24．（2023·上海浦東新·高二上海市實驗學校?？计谥校┮阎本€，當變化時，直線總是經(jīng)過定點，則定點坐標為______.【答案】【解析】因為直線可化為，令，解得，所以直線過定點，故答案為：.例25．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）無論取何值，直線恒過定點__________．【答案】【解析】直線方程化為，由得，定點為，故答案為：．例26．（2023·福建·高二福建師大附中?？奸_學考試）直線恒過定點________.【答案】【解析】依題意，直線，由得，所以直線恒過定點.故答案為：例27．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校o論為何值，直線必過定點坐標為______【答案】【解析】直線可化為，由可得，.所以，直線必過定點坐標為.故答案為：.例28．（2023·高二單元測試）若，則直線必過定點______．【答案】【解析】因為，所以，所以點在直線上，所以直線必過定點，故答案為：.【技巧總結】合并參數(shù)題型七：直線與坐標軸形成三角形問題例29．（2023·高二課時練習）若直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程．【解析】解∵直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，∴直線在兩坐標軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0，若l在兩坐標軸上的截距相等，且設為，則直線方程為，即.，即，，∴直線方程為.若在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設在軸上的截距為，則在軸上的截距為，故直線方程為，即.∵，即，，直線方程為.綜上所述，直線的方程為或.例30．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谥校?）求經(jīng)過，且斜率為的直線方程；（2）已知直線l過點，且與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積為9，求直線l的斜率．【解析】（1）由題可得直線方程為，即所求直線的方程為；（2）設直線l的方程為，則由題意有，解得或，由可知直線的斜率為，所以直線l的斜率為或．例31．（2023·浙江紹興·高二諸暨中學?？茧A段練習）已知直線l過點，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時，求直線l的方程．(2)當?shù)拿娣e最小時，求直線l的方程．【解析】（1）作，則.由三角形相似，，可求得，，∴方程為，即；（2）根據(jù)題意，設直線l的方程為，由題意，知，，∵l過點，∴，解得，∴的面積，化簡，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值為4，將代入①式，得，解得，∴.∴直線l的方程為.例32．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習）設直線l的方程為(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.【解析】（1）當直線過原點時滿足條件，此時,解得,化為.當直線不過原點時，則直線斜率為1，故,解得,可得直線的方程為:.綜上所述，直線的方程為或.（2）,∵不經(jīng)過第二象限,∴,解得.∴實數(shù)的取值范圍是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.綜上有.∴,當且僅當時取等號.∴(為坐標原點)面積的最小值是6，此時直線方程，即例33．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）設為實數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：(1)直線的斜率為；(2)直線與兩坐標軸在第二象限圍成的三角形面積為.【解析】（1）由題意可知，直線的斜率為，解得.（2）由題意可知，在直線的方程中，令，可得，令時，可得，所以，直線分別交、軸于點、，由題意可得，解得.由題意可得，整理可得，因為，解得.【技巧總結】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．題型八：直線方程的綜合問題例34．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知直線，直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點．(1)證明：直線l過定點；(2)已知點，當最小時，求實數(shù)m的值．【解析】（1）已知直線，則，由，解得，即直線l過定點；（2）設直線的方程為，則，又直線l過定點，則，又點，則，當且僅當即即時取等號，所以直線l的方程為，所以直線l過，即，解得．例35．（2023·高二課時練習）已知定點及定直線，點Q在直線l上（Q在第一象限），直線PQ交x軸正半軸于點M，要使的面積最?。∣為原點），求Q點坐標．【解析】依題意，設點，顯然點共線，當直線不垂直于x軸時，即，直線斜率存在，則有，整理得：，，而，，即，當且僅當取等號，由解得，則當時，的面積取得最小值，此時點；當時，，點，，顯然，所以的面積取得最小值時，點.例36．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀┰谝恍┏鞘兄?，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點到達不在同一條街道上的另一點，常常不能沿直線方向行走，而只能沿街走（拐直角彎）.因此我們引入直角坐標系，對給定的兩點和，用以下方式定義距離：（注：下述問題中提到的“距離”都是指上述距離）(1)畫出到定點距離等于1的點構成的圖形，并描述圖形的特征；(2)設和，畫出到A、B兩點距離之和為4的點構成的圖形，并描述圖形的特征.【解析】（1）點滿足的方程是，當時，，當時，，當時，，當時，故圖形是以、、、為頂點的正方形，如圖所示，（2）點滿足的方程是，，結合數(shù)軸可解得，當時，，得，當時，，得，當時，，得，當時，，得，當時，，得，當時，，得，故圖形是以、、、、、為頂點的六邊形，如下圖所示例37．（2023·吉林四平·高二四平市第一高級中學?？茧A段練習）一條直線經(jīng)過點分別求出滿足下列條件的直線方程：(1)與直線平行：(2)交x軸?y軸的正半軸于A，B兩點，且取得最小值.【解析】（1）由于直線的斜率，所以所求直線的斜率為，故過點且斜率為的直線方程為，即所求直線方程為；（2）由題意設過點的直線方程為，令，得；令，得，即，，所以，當且僅當，即（舍去）時，取得最小值.此時所求直線方程為.例38．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知，由確定兩個點.(1)寫出直線的方程（答案含）；(2)在內(nèi)作內(nèi)接正方形，頂點在邊上，頂點在邊上.若，當正方形的面積最大時，求的值.【解析】（1）由題意知當直線斜率存在時，，當時，直線的方程為，當時，直線的方程為.直線的方程為.（2）由和四邊形為正方形可知，，因為點在直線上，所以，所以，而正方形的面積最大，即最大，所以當時，，此時圖中陰影部分的面積最大.【技巧總結】在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當?shù)男问剑话愕?，已知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．一、單選題1．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：D2．（2023·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）過點且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】過點且斜率為的直線的方程是，即.故選：C3．（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）方程所表示的曲線是（

）A．一個點 B．一條直線 C．兩條直線 D．拋物線【答案】C【解析】因為，則即或，方程所表示的曲線是兩條直線.故選：C.4．（2023·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？计谀┫铝姓f法中，正確的是（

）A．過點且在軸截距相等的直線方程為B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為D．過點并且傾斜角為的直線方程為【答案】B【解析】對于A，過點且在軸截距相等的直線方程為或，故A不正確；對于B，，令，可得，所以在軸上的截距為，故B正確；對于C，，則直線的斜率，所以直線的傾斜角為，故C不正確.對于D，過點并且傾斜角為的直線方程為，故D不正確.故選：B.5．（2023·安徽安慶·高二?？茧A段練習）不論取任何實數(shù)，直線恒過一定點，則該定點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線方程可整理為：，則由得：，即直線恒過定點.故選：B.6．（2023·新疆喀什·高二?？计谀┲本€l的傾斜角是，在y軸上的截距是2，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為直線l的傾斜角是，所以直線的斜率為，又直線在y軸上的截距是2，所以直線的方程為.故選：A.7．（2023·高二課時練習）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.8．（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）設方程表示的曲線是（

）A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線C．一個圓 D．一條直線【答案】D【解析】由，可得，則由，可得，則方程表示的曲線是一條直線.故選：D二、多選題9．（2023·高二課時練習）已知直線l的方程為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則直線l的斜率小于0B．若，則直線l的傾斜角為C．直線l可能經(jīng)過坐標原點D．若，則直線l的傾斜角為【答案】ABD【解析】對于A選項，若，則直線l的斜率，故A正確；對于B選項，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故B正確；對于C選項，將代入中，顯然不成立，故C錯誤；對于D選項，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故D正確.故選：ABD.10．（2023·福建·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）．A．直線過定點B．過點且斜率為的直線的點斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為【答案】AB【解析】對于A，直線恒過定點，A正確；對于B，過點且斜率為的直線的點斜式方程為，B正確；對于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯誤；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點時，方程為，當該直線不過原點時，方程為，D錯誤.故選：AB11．（2023·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（

）A．直線在軸上的截距是B．直線的傾斜角是C．直線恒過定點D．過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為【答案】AC【解析】對于A，令，則，所以直線在軸上的截距是，故A正確；對于B，直線的斜率為，所以其傾斜角為，故B錯誤；對于C，直線化為，令，得，所以直線恒過定點，故C正確；對于D，當直線過原點時，直線方程為，當直線不過原點時，設直線方程為，將代入解得，此時直線方程為，所以過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為或，故D錯誤.故選：AC.12．（2023·山東濰坊·高二?？计谥校╆P于直線，以下說法正確的是（

）A．直線l過定點 B．時，直線l過第二，三，四象限C．時，直線l不過第一象限 D．原點到直線l的距離的最大值為1【答案】ABD【解析】由過定點，A正確；當，過定點，斜率為負，故過第二、三、四象限，B正確；當，過定點，且斜率為正，過一、二、三象限，故C錯誤；要使原點到直線l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.故選：ABD三、填空題13．（2023·高二課時練習）已知傾斜角為90°的直線經(jīng)過點A(2m，3)，B(2，－1)，則m=__________【答案】1【解析】因為直線的傾斜角為90°且過點A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程為，所以，解得.故答案為：114．（2023·高二課時練習）與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，且斜率為的直線l的方程為__________．【答案】【解析】設直線l的方程為，令，可得；令，可得；由題意可得：，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.15．（2023·高二?？颊n時練習）已知直線l過點P(0，1)，且與x，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于2，則直線l的方程是___.【答案】【解析】設直線l的方程為，由題意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得，所以，即，解得，所以直線l的方程為，即.故答案為：16．（2023·浙江臺州·