高等代數(shù)多項式教學(xué)課件

多理項式第一章多項式多理項式環(huán)和數(shù)域§1數(shù)環(huán)和數(shù)域數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個基本概念,人們對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了一個長期的發(fā)展過程,由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù),然后是實數(shù)到復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)中的許多問題都和數(shù)的范圍有關(guān),數(shù)的范圍不同,對同問題的回答可能也不相同。例如2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進行因式分解,但在實域內(nèi)就可以分解x2+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)沒有根,但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對共軛復(fù)根。影多項式環(huán)和數(shù)域我們通?？紤]的數(shù)的范圍主要包括全體實數(shù)、全體有理數(shù)以及全體復(fù)數(shù)等,它們具有一些不同的性質(zhì),但也有很多共同的性質(zhì),在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質(zhì)的對象統(tǒng)一進行討論。個數(shù)集中,數(shù)的加、減、乘、除運算稱為數(shù)的代數(shù)運算若數(shù)集P中任何兩個數(shù)做某一運算后的結(jié)果仍然在這個數(shù)集P中,則稱該數(shù)集P對這個運算是封閉的a)自然數(shù)集N對加、乘運算封閉,對減、除不封閉。b)整數(shù)集Z對加、減、乘運算封閉,對除不封閉。c)有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對加、減、乘、除(除數(shù)不為O)四種運算都封閉。多理項式1數(shù)環(huán)和數(shù)域根據(jù)數(shù)集對運算的封閉情況,可以得到兩類數(shù)集數(shù)環(huán)和數(shù)域。數(shù)環(huán)定義1:若P是由一些復(fù)數(shù)組成的非空集合,若數(shù)集P對加、減、乘三種運算都封閉,即對sa,b∈P,總有a+b,a-b,ab∈P,則稱數(shù)集P是一個數(shù)環(huán)例如:整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)環(huán)例1除了以上數(shù)環(huán)外,是否還有其他數(shù)環(huán)?有沒有最小數(shù)環(huán)?例2一個數(shù)環(huán)是否一定包含0元?除零環(huán)外,是否還有只包含有限個元素的數(shù)環(huán)?多理項式環(huán)和數(shù)域例3證明P=(2a+b√2|a,b∈是包含√2的最小數(shù)環(huán)二、數(shù)域定義2:若P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包含0和1,如果數(shù)集P對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運算都封閉,則稱數(shù)集P是一個數(shù)域。定義3:若P是一個數(shù)環(huán),如果①數(shù)集P內(nèi)含有一個非零數(shù)②對必a,b∈P,且b≠0,有ab∈P,則稱數(shù)集P是一個數(shù)域例如:有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。多理項式環(huán)和數(shù)域例4證明Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是一個數(shù)域。例5設(shè)P={a+b√2|a.b∈Q}P2={a+b√3a.b∈Q}P={a+b√2+c3+dv6ab,c,d∈Q}證明P2,P是一個數(shù)域,而且P是包含P1和P2的最小數(shù)域。例6證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q例7在Q與R之間是否還有別的數(shù)域?R與C之間呢例8設(shè)F1和F2是兩個數(shù)域,證明1)F1F2是一個數(shù)域;2)F1∪F2是數(shù)域的充分必要條件是F1=F2或F2三F1。多理項式的定義和運算§2一元多項式的定義和運算稱為首項,定義常數(shù)項,或稱其中首項系數(shù)an≠0零次項文字或符號),n/個非負(fù)整數(shù),表達(dá)式、nax+ax.taotaoa.r其中a0,a1,…,an全屬于數(shù)域P,稱為系數(shù)在數(shù)域P中的元多項式,或簡稱為數(shù)域P上的一元多項式定義1在以下兩方面推廣了中學(xué)的多項式定義1)這里的x不再局限為實數(shù),而是任意的文字或符號。2)多項式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。多理項式的定義和運算例如:f(x)=9x3+3x2-2x+1是Q上的一元多項式f(x)=x2+√2X+3是R上的一元多項式。f(x)=5x2+X+3是C上的一元多項式。而x3+3X+22:都不是多項式。x+1定義2:如果在多項式f(x)與g(x)中,除去系數(shù)為零的項外,同次項的系數(shù)相等,那么就稱多項式∫(x)或g(x)相等,記為f(x)=g(r)多理項式的定義和運算定義3:設(shè)f(x)=a,x"+an-In-1+…+a1x+ao,an≠0非負(fù)整數(shù)n稱為多項式f(x)的次數(shù),記為a(f(x)=n例如:f(x)=3x2+2x+1a(f(x)=2(f(x)=0幾類特殊的多項式零次多項式:次數(shù)為0的多項式,即非零常數(shù)零多項式:系數(shù)全為0的多項式,即f(x)=0。對零多項式不定義次數(shù),因此,在使用次數(shù)符號時,總假定f(x)≠0。首一多項式:首項系數(shù)為1的多項式多理項式的定義和運算、多項式的運算定義4:設(shè)f(r)=a,"+anx"+.+a,x+ao,g(x)=bmx"+b+…+b,x+是數(shù)域P上次數(shù)分別為n和m的多項式(不妨假設(shè)m≤n),則多項式f(x)和g(x)的和,差為f(x)±g(