物理學(xué)類課件剛體力學(xué)

第七章剛體力學(xué)基礎(chǔ)FoundationofRigidBodyMechanics§1剛體的運(yùn)動(dòng)§2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律§3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能§5平面平行運(yùn)動(dòng)§4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律§1剛體的運(yùn)動(dòng)MotionofaRigidBody1.剛體

內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生大小及形狀改變的物體。

剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型(

物理抽象）

剛體可視為由無限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系。2.剛體的運(yùn)動(dòng)

剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)2.1平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。（why?)2.2轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。O3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：

3.1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述角位移：

角速度：角加速度：

xOP

rv

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。3.2角量和線量的關(guān)系矢量表示：

xOP

rv§2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律LawofFixed-AxisRotation1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩

力對(duì)轉(zhuǎn)軸上任一參考點(diǎn)的力矩矢量沿轉(zhuǎn)軸方向的分量為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩:zFrOP

dFzF

結(jié)論：z

dPOrFFzF

2．剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量2.1質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：

質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上任一參考點(diǎn)的角動(dòng)量矢量沿轉(zhuǎn)軸方向的分量為質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量:z

dmOrppzp

結(jié)論：z

dmOrppzp

2.2剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量zOri

組成剛體的所有質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的和:剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：3．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律若，則簡(jiǎn)寫為：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律連續(xù)體：4.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)動(dòng)軸有關(guān)。4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。

例1

計(jì)算下列剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）均勻細(xì)棒對(duì)與過細(xì)棒端點(diǎn)且細(xì)棒垂直的轉(zhuǎn)軸；（2）均勻圓盤對(duì)垂直于圓平面并過圓心的軸；（3）均勻球體對(duì)通過球心的軸。

ROzORzOzl（1）（2）（3）Ozdxdmx解：（1）（2）rROzdr（3），，ROryz4.3平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：COz'zd垂直軸定理:OzxyxiyirimROxy例：（1）（2）5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題要點(diǎn):m2m1RR

m1gFm2gT1MgT2a質(zhì)量m=16kg、半徑為R=0.15m的實(shí)心滑輪,一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛一質(zhì)量為m的物體。求（1）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。解：mMmmgT課堂練習(xí)mMmmgTO

CO

mg(1)（2）(2)§3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能WorkandEnergyofFixedAxisRotation1.力矩的功和功率1.1力矩的功

id

O

izP0PFiridli2.2力矩的功率2．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能2.1剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O

z

ri

mivi2.2剛體的重力勢(shì)能hi

mi3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理及機(jī)械能守恒若

對(duì)含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即含剛體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律O

解：Mmk

R

練習(xí)一質(zhì)量為M、半徑R

的實(shí)心滑輪,，一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛有質(zhì)量為m

的物體。問物體由靜止下落高度

h

時(shí)，其速度為多大？mgTmMm解：mgTmMm解得：亦可：練習(xí)一質(zhì)量為m

、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，距A端l/3。桿從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。解：coBA（1）水平（2）垂直機(jī)械能守恒coBA勢(shì)能零點(diǎn)OcoBA

（3）任意位置勢(shì)能零點(diǎn)O§4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律TheoremofAngularMomentumandLawofConservationofAngularMomentumforFixedAxisRotation1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律簡(jiǎn)寫為——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律2．含質(zhì)點(diǎn)和剛體的系統(tǒng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例m2m1RmF例7

如圖，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度

；（2）兩者一起上擺的最大角度

。Olm

v0練習(xí)一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m

，速度為

v

的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi),若棒偏轉(zhuǎn)角為30°,問子彈的初速度為多少?解：角動(dòng)量守恒（過程1）機(jī)械能守恒（過程2）oalv30°練習(xí)質(zhì)量為M

，半徑為R

的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)量為m

的人站在臺(tái)的邊緣上，初始時(shí)人、臺(tái)都靜止。如果人相對(duì)于臺(tái)沿邊緣奔跑一周，問：相對(duì)于地面而言，人和臺(tái)各轉(zhuǎn)過了多少角度？解：角動(dòng)量守恒：練習(xí)質(zhì)量為m1和

m2的兩物體，分別掛在兩條繩上，繩繞在鼓輪上（如圖所示）。已知鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，求兩物體的加速度。R2R1m1m2解：系統(tǒng)角動(dòng)量為：m1gm2gQR2R1m1m2T1T2m1gm2gQ練習(xí)一半徑為R、質(zhì)量為m

的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為

o，繞中心O旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為

）oRdrr解：oR用角動(dòng)量定理§5平面平行運(yùn)動(dòng)PlaneParallelMotion1．平面平行運(yùn)動(dòng)的描述OCPrCryxr

1.1平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面與一固定平面平行。

1.2平面平行運(yùn)動(dòng)的描述平面平行運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)+繞過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2．平面平行運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程2.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)2.2剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣性力的合力矩為零：

OCrCriyxri

mi－miaC3．剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能CrCriyxviri

miOCrCriyxviri

miO4．剛體的平面純滾動(dòng)CrCABCFABCFFrRFfrRRr

OCABRr

OCABmgNfRr

OCABmgNf例勻質(zhì)細(xì)桿直立在光滑地面上，因不穩(wěn)定而傾倒。在細(xì)桿全部著地前，它的下端是否會(huì)跳離地面？桿在傾倒過程中無水平外力桿的質(zhì)心豎直向下運(yùn)動(dòng)桿跳離地面的臨界條件質(zhì)心速度與角速度的關(guān)系機(jī)械能定理將角速度代入，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)支持力桿的下端不會(huì)跳離地面

l/2Cyl/2N（1）

（2）

復(fù)習(xí)題2：

水平面內(nèi)有一靜止的長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的細(xì)棒，可繞通過棒一端O點(diǎn)的鉛直軸旋轉(zhuǎn)。今有一質(zhì)量為m/2、速率為v0的子彈在水平面內(nèi)沿棒的垂直方向射擊棒的中點(diǎn)，子彈穿出時(shí)速率減為v0/2。當(dāng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)后，設(shè)棒上各點(diǎn)單位長(zhǎng)度受到的阻力正比于該點(diǎn)的速率（比例系數(shù)為k）。試求：（1）子彈穿擊瞬時(shí)，棒的角速度

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