安徽省安慶市望江中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2012-2013學(xué)年安徽省安慶市望江中學(xué)高一（下)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）（2011?陜西）設(shè)0＜a＜b,則下列不等式中正確的是(）A．B．C．D．考點(diǎn)：基本不等式．專題：計(jì)算題．分析：令a=1,b=4代入選項(xiàng)中，分別求得a，，，b的值，進(jìn)而可比較他們的大小解答：解：令a=1，b=4則=2,=，∵1＜2＜＜4∴．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．對(duì)于選擇題可以用特殊值法，可以簡(jiǎn)便解題過(guò)程．2．（5分）(2011?江西)若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3},，則A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0｝B．{x｜0＜x≤1}C．｛x|0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1｝考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題:計(jì)算題．分析：根據(jù)已知條件我們分別計(jì)算出集合A,B，然后根據(jù)交集運(yùn)算的定義易得到A∩B的值．解答:解：∵A=｛x｜﹣1≤2x+1≤3}={x｜﹣1≤x≤1｝，=｛x|0＜x≤2｝故A∩B=｛x｜0＜x≤1｝，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是交集及其運(yùn)算,其中根據(jù)已知條件求出集合A,B是解答本題的關(guān)鍵．3．（5分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：余弦定理;等比數(shù)列．專題:計(jì)算題．分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),可得b=a,將c、b與a的關(guān)系結(jié)合余弦定理分析可得答案．解答：解：△ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則b=a，=,故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的運(yùn)用，要牢記余弦定理的兩種形式，并能熟練應(yīng)用．4．（5分）等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a2?a4=12，a2+a4=8,則數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n=2n﹣2(n∈N*)B．a(chǎn)n=2n+4(n∈N*）C．a(chǎn)n=﹣2n+12（n∈N＊）D．a(chǎn)n=﹣2n+10（n∈N*）考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意列式求出公差，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．解答：解：由a2?a4=12，a2+a4=8，且d＜0，解得a2=6，a4=2．所以d=．則an=a2+（n﹣2）d=6﹣2（n﹣2）=﹣2n+10．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果給出了等差數(shù)列公差和第m項(xiàng)am，則an=am+（n﹣m）d，是基礎(chǔ)題．5．（5分)當(dāng)x＞1時(shí),不等式x+恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞,2]B．［2,+∞)C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]考點(diǎn)：基本不等式．專題:計(jì)算題．分析：由題意當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3,可得a≤3，從而求得答案．解答：解：∵當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+恒成立，∴a≤x+對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，故x+的最小值等于3，∴a≤3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，3］．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查查基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求出x+的最小值是解題的關(guān)鍵．6．（5分）等差數(shù)列｛an｝滿足a42+a72+2a4aA．﹣9B．﹣15C．15D．±15考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得=9，由此求得a4+a7的值，再根據(jù)其前10項(xiàng)之和為S10==，運(yùn)算求得結(jié)果．解答：解：∵等差數(shù)列｛an｝滿足a42+a72+2a4a7=9，則有=9，∴a4+a7故其前10項(xiàng)之和為S10===±15，故選D．點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．(5分）△ABC中，BC=2,角B=，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，sinC=(）A．B．C．D．考點(diǎn)：解三角形．專題:計(jì)算題．分析：先利用三角形面積公式求得AB，進(jìn)而利用余弦定理求得AC的值，最后利用正弦定理求得sinC．解答：解:三角形面積為：sinB?BC?BA=××2×AB=∴AB=1由余弦定理可知：AC==∴由正弦定理可知∴sinC=?AB=故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．在解三角形問(wèn)題中，正弦定理和余弦定理是常用的方法，應(yīng)強(qiáng)化訓(xùn)練和記憶．8．（5分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：計(jì)算題．分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可求得=2，利用正弦定理求得cosB，同時(shí)根據(jù)余弦定理求得cosB的表達(dá)式進(jìn)而建立等式，整理求得b=c，判斷出三角形為等腰三角形．解答：解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，∴=2，由正弦定理可知=∴=∴cosB=，∴cosB==，整理得c=b，∴△ABC的形狀是等腰三角形．故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理完成了邊角問(wèn)題的互化．9．（5分)對(duì)于任意a∈[﹣1,1］，函數(shù)f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值總大于0,則x的取值范圍是（）A．{x｜1＜x＜3}B．{x｜x＜1或x＞3}C．｛x|1＜x＜2}D．｛x｜x＜1或x＞2}考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專題：計(jì)算題．分析：把二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=a(x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈［﹣1，1］上恒成立，再利用一次函數(shù)函數(shù)值恒大于0所滿足的條件即可求出x的取值范圍．解答：解：原題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1］上恒成立，只需??x＜1或x＞3．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題的做題方法的好處在于避免了討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸和變量間的大小關(guān)系，而一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一定在端點(diǎn)處取得,所以就把解題過(guò)程簡(jiǎn)單化了．10．（5分)（2009?山東)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0,b＞0）的值是最大值為12，則的最小值為(）A．B．C．D．4考點(diǎn)：基本不等式；二元一次不等式(組)與平面區(qū)域．專題：壓軸題．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面區(qū)域，先用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．解答:解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過(guò)直線x﹣y+2=0與直線3x﹣y﹣6=0的交點(diǎn)（4，6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0,b＞0）取得最大12,即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分,把答案填在題中橫線上）．11．（5分）(2006?咸安區(qū)模擬）數(shù)列｛an}中，Sn是前n項(xiàng)和，若a1=1，an+1=（n≥1,n∈N)，則an=．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：計(jì)算題．分析:由題設(shè)條件可知a1=1，，化簡(jiǎn)可得，4an=3an+1，即,由此可知答案．解答:解：a1=1，，當(dāng)n≥2時(shí),Sn=3an+1，Sn﹣1=3an,∴an=Sn﹣Sn﹣1=3an+1﹣3an,∴4an=3an+1，∴，∴an=．故答案：．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．12．(5分）（2013?鐵嶺模擬）在△ABC中，角A,B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若a=csinA，則的最大值為．考點(diǎn)：正弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)正弦定理及a=csinA求得C．進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知c2=a2+b2，對(duì)化簡(jiǎn)整理得1+根據(jù)基本不等式得到的范圍，進(jìn)而得出答案．解答：解：a=csinA，得到==sinA．所以sinC=1，即C=90°．所以c2=a2+b2．==1+=1+=1+≤1+=2所以得最大值為故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和基本不等式在解三角形中的應(yīng)用．13．（5分)2010年11月12日廣州亞運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A、B的距離為米，則旗桿的高度為30米．考點(diǎn):解三角形的實(shí)際應(yīng)用．專題：計(jì)算題．分析:先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得∠NBA和∠BAN，則∠BNA可求,然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN?sin∠NAM求得答案．解答:解：如圖所示,依題意可知∠NBA=45°，∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，∴AN==20米∴在Rt△AMN中，MN=AN?sin∠NAM=20×=30米所以：旗桿的高度為30米故答案為：30．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．此類問(wèn)題的解決關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,利用所學(xué)知識(shí)解決．14．（5分）若數(shù)列｛an｝滿足a1，a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1，…，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an等于2n﹣1．考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：直接把數(shù)列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1,…的前n項(xiàng)求和即可得到答案．解答：解:由題意可知，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=．故答案為2n﹣1點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生的靈活變形能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）若,已知下列不等式：①a+b＜ab；②｜a|＞｜b｜；③a＜b;④;⑤a2＞b2；⑥2a＞2b，其中正確的不等式的序號(hào)為①④⑥．考點(diǎn):不等關(guān)系與不等式；命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：常規(guī)題型．分析：若，則a＜0，b＜0，且a＞b則①a+b為負(fù)數(shù)，ab為正數(shù)；②③⑤賦值來(lái)處理；④借助于均值不等式來(lái)處理;⑥由于a＞b,且y=2x為增函數(shù)，則2a＞2解答：解:若，則a＜0，b＜0，且a＞b則①a+b＜0，ab＞0，故①正確；②令a=﹣2，b=﹣3，則顯然，但|a|=2,|b｜=3,故②錯(cuò)誤；③由②得a＞b，故③錯(cuò)；④由于a＜0,b＜0，故則(當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時(shí)取“=”）又a＞b，則,故④正確;⑤由②知，a2＜b2,故⑤錯(cuò)；⑥由于a＜0,b＜0，且a＞b,則2a＞2b故答案為①④⑥點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．(12分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，且考點(diǎn)：余弦定理;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦定理．專題:計(jì)算題．分析：由已知條件利用正弦定理可得b2+c2=a2+bc，再利用余弦定理求出cosA=,故sinA=，由求得，bc=8,由S=求出結(jié)果．解答：解:由已知條件利用正弦定理可得b2+c2=a2+bc，∴bc=b2+c2﹣a2=2bc?cosA，∴cosA=,∴sinA=，由得bc?cosA=4，bc=8．∴S==2．點(diǎn)評(píng):本題主要考查正弦定理、余弦定理，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得cosA=，是解題的關(guān)鍵．17．(12分)某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元，2千元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A，B上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí)，加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí),A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400小時(shí)和500小時(shí)．如何安排生產(chǎn)可使月收入最大？考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題:應(yīng)用題．分析：先設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為x、y件,寫出約束條件、目標(biāo)函數(shù)，欲求生產(chǎn)收入最大值，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．解答：解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品月的產(chǎn)量分別為x,y件，約束條件是目標(biāo)函數(shù)是z=0。3x+0.2y由約束條件畫出可行域,如圖所示的陰影部分由z=0.3x+0。2y可得5z為直線z=0.3x+0.2y在y軸上的截距，截距最大時(shí)z最大．結(jié)合圖象可知，z=0.3x+0.2y在A處取得最大值由可得A（200,100)，此時(shí)z=80萬(wàn)故安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品月的產(chǎn)量分別為200，100件可使月收入最大．點(diǎn)評(píng)：在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為:①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系,列出不等式組，即約束條件②由約束條件畫出可行域③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系④使用平移直線法求出最優(yōu)解⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．18．（12分）(1）已知x＜,求函數(shù)y=4x﹣2+的最大值（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：．考點(diǎn):綜合法與分析法(選修）；基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析:（1)化簡(jiǎn)可得函數(shù)y=3﹣（5﹣4x+），而由基本不等式可得5﹣4x+的最小值為2,從而求得函數(shù)y=3﹣（5﹣4x+）的最大值．(2）由條件利用基本不等式可得,,,把這三個(gè)不等式相加在同時(shí)除以2,即可正得不等式成立．解答：解：（1）∵已知x＜，函數(shù)y=4x﹣2+=4x﹣5++3=3﹣(5﹣4x+),而由基本不等式可得(5﹣4x)+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)5﹣4x=，即x=1時(shí)，等號(hào)成立，故5﹣4x+的最小值為2,故函數(shù)y=3﹣（5﹣4x+）的最大值為3﹣2=1．（2)∵已知a＞0，b＞0，c＞0,∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取等號(hào)．把這三個(gè)不等式相加可得，∴成立．點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用基本不等式證明不等式，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件以及不等式的使用條件，屬于中檔題．19．（12分）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an﹣2(n∈N*)，在數(shù)列｛bn｝中,b1=1,點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x﹣y+2=0上．(1）求數(shù)列{an}，{bn｝的通項(xiàng)公式；（2）記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由Sn=2an﹣2得：Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2），兩式相減可得an=2an﹣1（n≥2），再求得a1=2,可知數(shù)列{an｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,從而可求an=2n;點(diǎn)P（bn,bn+1)在直線x﹣y+2=0上,可知bn+1﹣bn=2，又b1=1，從而可求得｛bn｝的通項(xiàng)公式；(2））Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣3)×2n﹣1+(2n﹣1)×2n①，2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1)×2n+1②，錯(cuò)位相減即可求得Tn．解答:解：（1）由Sn=2an﹣2得：Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2）,兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1，即=2（n≥2)，又a1=2a1﹣2，∴a1=2，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n．∵點(diǎn)P(bn，bn+1)在直線x﹣y+2=0上，∴bn+1﹣bn=2，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∵b1=1，∴bn=2n﹣1；(2)Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n①∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1)×2n+1②①﹣②得：﹣Tn=1×2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=2+2×﹣（2n﹣1）×2n+1=2+2×2n+1﹣8﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，∴Tn=(2n﹣3）2n+1+6．點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比關(guān)系的確定與錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．20．（13分)已知函數(shù)f(x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1)求不等式g（x）＜0的解集;（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥(m+2）x﹣m﹣15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)：一元二次不等式的解法；函數(shù)恒成立問(wèn)題．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：(1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≥(m+2）x﹣m﹣15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．解答:解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0,得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）(x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x)＜0的解集為{x|﹣2＜x＜4｝；（2）因?yàn)閒（x）=x2﹣2x﹣8，當(dāng)x＞2時(shí),f（x