投資學(xué)第五章因素模型

第五章單因素模型與多因素模型任課教師：

對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)金融學(xué)院郭敏

.cn1、掌握因素模型是根據(jù)收益生成過(guò)程通過(guò)回歸分析建立的收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、認(rèn)識(shí)因素模型與資本資產(chǎn)定價(jià)模型的關(guān)系3、了解因素模型是實(shí)踐中具有操作性的替代資本資產(chǎn)定價(jià)模型的測(cè)定風(fēng)險(xiǎn)和收益關(guān)系的模型

重點(diǎn)內(nèi)容：掌握因素模型的生成性質(zhì)教學(xué)目的及要求

第一節(jié)

單因素模型第二節(jié)

資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因素模型第三節(jié)

多因素模型一、因素模型的產(chǎn)生二、單因素模型的估計(jì)三、單因素模型的一般形式四、單因素模型中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)第一節(jié)

單因素（SFM）模型一、因素模型（Factormodel）產(chǎn)生在上一章，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，要求知道：回報(bào)率均值向量回報(bào)率方差-協(xié)方差矩陣無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率估計(jì)量和計(jì)算量隨著證券種類的增加以指數(shù)級(jí)增加因素或因子模型由威廉.夏普在1963年提出.它是描述證券收益率生成過(guò)程的一種統(tǒng)計(jì)模型，建立在證券關(guān)聯(lián)性基礎(chǔ)上。認(rèn)為證券間的關(guān)聯(lián)性是由于某些共同因素的作用所致，不同證券對(duì)這些共同的因素有不同的敏感度。這些對(duì)所有證券的共同因素就是系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。因素模型正是抓住了對(duì)這些系統(tǒng)影響對(duì)證券收益的影響，并用一種線性關(guān)系來(lái)表示。因素模型中的因素常以指數(shù)形式出現(xiàn)（如GNP指數(shù)、股價(jià)指數(shù)、物價(jià)指數(shù)等）,所以又稱為指數(shù)模型。引入因素模型可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量由于因子模型的引入，使得估計(jì)Markowitz有效集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡(jiǎn)化。因素模型還給我們提供關(guān)于證券回報(bào)率生成過(guò)程的一種新視點(diǎn)一元或者多元統(tǒng)計(jì)分析，以一個(gè)或者多個(gè)變量來(lái)解釋證券的收益，從而比僅僅以市場(chǎng)來(lái)解釋證券的收益更準(zhǔn)確。二、單因素模型的估計(jì)若把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。假設(shè)：（1）證券的回報(bào)率僅僅取決于該指數(shù)的變化；（2）除此以外的因素是公司特有風(fēng)險(xiǎn)——?dú)堄囡L(fēng)險(xiǎn)則可以建立以宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)變化為自變量，以證券回報(bào)率為因變量的單因子模型：因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.714.326.419.238.9 23.448.0 15.655.1 9.2 62.9 13.04%為了闡明圖中所反映的數(shù)量關(guān)系，我們使用一元回歸分析的統(tǒng)計(jì)技術(shù)做一條直線來(lái)擬合圖中的點(diǎn)。那么，圖中這條直線的方程則為

ri=4%+2GDP回歸方程和直線都表示較高預(yù)期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。任一給定證券的實(shí)際回報(bào)率由于含有非因素回報(bào)率的緣故而位于擬合直線的上方或下方。因此對(duì)例中的單因素模型多反映的關(guān)系的完整描述為：

從方程中我們可以看出，任何一個(gè)證券的收益由三部分構(gòu)成：αi是宏觀因素期望變化為零時(shí)的收益，是投資者對(duì)證券的期初收益；βiG系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益，即隨整個(gè)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化不確定性（非預(yù)期的）的收益，且變化的敏感度是βi；εi是與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值無(wú)關(guān)因素的作用，是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益，即只與單個(gè)證券相關(guān)的非預(yù)期事件形成的非預(yù)期收益。

對(duì)回歸系數(shù)的分析一個(gè)證券的總收益＝已估計(jì)到的收益＋未估計(jì)到的收益這是因?yàn)樗袥Q定證券收益的公布的信息＝已估計(jì)到的部分＋未估計(jì)到的部分當(dāng)未估計(jì)到的信息未零時(shí)，則為投資者對(duì)證券期初的估計(jì)，這時(shí)我們可以將單因素模型:

換寫為:三、單因素模型的一般形式

一般地，單因素模型認(rèn)為有一個(gè)因素F對(duì)證券收益產(chǎn)生廣泛影響，這種影響力通過(guò)對(duì)每種證券i在任意時(shí)期t的建立如下方程來(lái)反映：

是證券i在t時(shí)期的收益率,

是宏觀因素在t期的變動(dòng)值，是證券i對(duì)宏觀因素的敏感度，是一個(gè)均值為零的隨機(jī)變量，是回歸方程的殘差項(xiàng)。是當(dāng)宏觀因素的零因子，即宏觀因素變化為零時(shí)證券的收益率。SIM有如下假設(shè)：收益率的生成過(guò)程由上述回歸方程描述對(duì)每一證券i，每一證券的殘差與宏觀因素不相關(guān)，這意味著因素的結(jié)果對(duì)隨機(jī)誤差的結(jié)果沒有任何影響。證券i與j的殘差不相關(guān)，這意味著一種證券的隨機(jī)誤差結(jié)果對(duì)任意其他證券的隨機(jī)誤差結(jié)果不產(chǎn)生任何影響。換句話說(shuō)，兩種證券的回報(bào)率僅僅通過(guò)對(duì)因素的共同反應(yīng)而相關(guān)聯(lián)。

期望收益率：根據(jù)單因素模型，證券i的期望收益率可以表示為方差：在單因素模型中，同樣可以證明任意證券i的方差等于：

在這里，是因素的方差，是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差協(xié)方差：在單因素模型中，計(jì)算證券間的協(xié)方差變得十分簡(jiǎn)單。上述方程中證券i的期望收益、方差、協(xié)方差分別為:正是因?yàn)榭梢杂眠@種簡(jiǎn)單方式計(jì)算協(xié)方差，使指數(shù)模型能夠克服馬柯威茨模型的龐大計(jì)算量的困難。如果組合里有n項(xiàng)資產(chǎn)，計(jì)算組合的方差—協(xié)方差矩陣需要進(jìn)行1/2n(n+1)次方差-協(xié)方差的測(cè)算，但現(xiàn)在只需要測(cè)算n個(gè)βi和1個(gè)就可以了。四、單因素模型中表示的

系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素模型是一個(gè)描述證券收益生成的模型。表示非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)收益，表示系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)收益，其中表示宏觀因素均值為零時(shí)證券的期望收益。證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)為：第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因素模型

一、市場(chǎng)模型二、資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因素模型的關(guān)系一、市場(chǎng)模型(MarketModel)

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中常用證券市場(chǎng)指數(shù)來(lái)作為影響證券價(jià)格的單因素，此時(shí)的單因素模型被稱為市場(chǎng)模型。市場(chǎng)模型實(shí)際上是單因素模型的一個(gè)特例。假設(shè)一種股票在某一特定時(shí)期內(nèi)的收益率與同一時(shí)期證券市場(chǎng)指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上揚(yáng)，則很可能該股票價(jià)格會(huì)上升，市場(chǎng)行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場(chǎng)模型的方程表示這一關(guān)系：

式中：ri代表某一給定時(shí)期證券i的收益率

I代表市場(chǎng)指數(shù)

rI代表相同時(shí)期市場(chǎng)指數(shù)I的收益率

εiI是隨機(jī)誤差項(xiàng)二、資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因素模型的關(guān)系

CAPM可視為一個(gè)特殊的單因素模型或特殊的市場(chǎng)模型，在那里的市場(chǎng)組合收益率rM實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)單因素。以市場(chǎng)組合的收益率的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償來(lái)作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，于是有：

ri－rf＝αi

＋βi（rm－rf

）＋εi,

或者Ri=αi+βiRm+εi

（實(shí)際上這是證券i對(duì)市場(chǎng)組合收益的回歸方程，其回歸直線就是證券i的特征線）

但資本資產(chǎn)定價(jià)模型是一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型，而因素模型卻不是。例如，比較分別由資本資產(chǎn)定價(jià)模型和因素模型得到的證券的預(yù)期收益率：前者不是一個(gè)均衡模型，而后者是均衡模型在資本資產(chǎn)定價(jià)模型和市場(chǎng)模型中都有一個(gè)被稱為?值的斜率，并且這兩個(gè)模型或多或少地包含了市場(chǎng)，但是它們之間卻有明顯的區(qū)別：首先，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是一個(gè)均衡模型，它描述證券的價(jià)格如何確定；市場(chǎng)模型是一個(gè)因素模型。其次，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)組合而言的，即相對(duì)于市場(chǎng)中所有證券的集合。而市場(chǎng)模型是相對(duì)于某個(gè)市場(chǎng)指數(shù)而言，即基于市場(chǎng)中的一個(gè)樣本。

第三節(jié)多因素模型

一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)二、多因素模型一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)

經(jīng)濟(jì)狀況影響著大部分企業(yè)，因而對(duì)經(jīng)濟(jì)前景的預(yù)期的變化被認(rèn)為對(duì)絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟(jì)并不是一個(gè)簡(jiǎn)單、統(tǒng)一的實(shí)體，因而我們需要確認(rèn)一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：1.國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值；2.利率水平；3.通貨膨脹率；4.石油價(jià)格水平。多因素模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的近似程度更高。這一簡(jiǎn)化形式使得證券組合理論廣泛應(yīng)用于實(shí)際成為可能，尤其是20世紀(jì)70年代以來(lái)計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場(chǎng)化，極大地促進(jìn)了現(xiàn)代證券組合理論在實(shí)踐中的應(yīng)用。

二、多因素模型（Multifactormodels）

與單因素模型不同，當(dāng)考慮多個(gè)因素對(duì)證券收益率的影響時(shí)，則產(chǎn)生多因素模型，多因素模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，從而有可能展示不同的股票對(duì)不同的因素有不同的敏感性，這可能會(huì)使精確性得以提高。作為多因素模型的一個(gè)例子，我們考慮一個(gè)雙因素模型，這意味著假設(shè)收益率生成過(guò)程中包含有兩個(gè)因素。二、多因素模型多因素模型的一般式假設(shè)影響資產(chǎn)收益率的因素是兩個(gè)，則雙因素模型在t時(shí)期的方程式為：F1t和F2t是兩個(gè)對(duì)證券回報(bào)率具有普遍影響的因素，βi1和βi2分別是證券i對(duì)兩個(gè)因素的敏感性。同單因素模型一樣，εit是隨機(jī)誤差項(xiàng)，αi是當(dāng)兩個(gè)因素都取值為0是證券i的預(yù)期回報(bào)率。

年份 GDP增長(zhǎng)率 通貨膨脹率 A股票回報(bào)率 1 5.7% 1.1% 14.3% 2 6.4 4.4 19.2 3 7.9 4.4 23.4 4 7.0 4.6 15.6 5 5.1 6.1 9.2 6 2.9 3.1 13.0 證券A的回報(bào)率受GDP的增長(zhǎng)率和通貨膨脹率預(yù)期值的影響。圖中的每一點(diǎn)描述了在特定的一年，證券A的回報(bào)率、GDP的增長(zhǎng)率和通貨膨脹率之間的關(guān)系。通過(guò)線性回歸，可以確定一個(gè)平面，使得圖中的點(diǎn)符合這個(gè)平面。這個(gè)平面的方程為平面在GDP增長(zhǎng)率方向的斜率（=2.2）表示證券A的回報(bào)率對(duì)GDP增長(zhǎng)率變化的敏感度。平面在通貨膨脹率方向的斜率（=-0.7）表示證券A的回報(bào)率對(duì)通貨膨脹率變化的敏感度。敏感度符號(hào)說(shuō)明，當(dāng)預(yù)期GDP增長(zhǎng)率或者通貨膨脹率增加時(shí)，證券A的回報(bào)率相應(yīng)地增加或者減少。平面的截距表示A的零因子回報(bào)率為5.8%。A的實(shí)際回報(bào)率與平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差為回報(bào)率的隨機(jī)項(xiàng)部分。例如，A在第六年的隨機(jī)項(xiàng)為3%。預(yù)期收