相似三角形添加輔助線的方法舉例(有答案)

PAGEPAGE4相似三角形添加輔助線的方法舉例例1：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．例2．已知梯形中，，，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，，，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．

例4、如圖4—5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=___________.例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長(zhǎng)．例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．

又，故為、的中點(diǎn)以下同解法1可得是等邊三角形故解法4 如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5 如圖延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，作，分別交、于點(diǎn)、，得平行四邊形可證得為的中點(diǎn)，則，故得為等邊三角形，故解法6 如圖（補(bǔ)形法），讀者可自行證明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得，，解法2 （補(bǔ)形法）如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，，又設(shè)，則，，，解法3（補(bǔ)形法）如圖連結(jié)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)連結(jié)則∽，故（1），故（2）由（1）、（2）兩式得 即解法4（割補(bǔ)法）如圖連結(jié)與的中點(diǎn)并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，過(guò)、分別作高、，則且， ，又，，故說(shuō)明本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．

解法1：延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵，∴，即．∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH，∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．解法2：如圖4—2，延長(zhǎng)EF與CD的延長(zhǎng)線交于M，由平行四邊形ABCD可知，，即AB∥MC，∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵，∴AF：FD=1：2，∴AE：MD=1：2．∵．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5例4、如圖4—5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=___________.解析：取CF的中點(diǎn)G，連接BG．∵B為AC的中點(diǎn)，∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E為BD的中點(diǎn)，∴F為DG的中點(diǎn)．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4，∴AF：AE=4：3．例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長(zhǎng)．解法1：過(guò)O點(diǎn)作OM∥CB交AB于M，∵O是AC中點(diǎn)，OM∥CB，∴M是AB的中點(diǎn)，即，∴OM是△ABC的中位線，，且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE，∴，即，∴.解法2：如圖4-8，延長(zhǎng)EO與AD交于點(diǎn)G，則可得△AOG≌△COF，

∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴．即，∵∴.解法3：延長(zhǎng)EO與CD的延長(zhǎng)線相交于N，則△BEF與△CNF的對(duì)應(yīng)邊成比例，即．解得.例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問(wèn)題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒(méi)有平行線時(shí)，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生．此題中AD為△ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過(guò)定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問(wèn)題的解決．證法1：如圖4—9，過(guò)C點(diǎn)作CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于E．

在△BCE中，∵DA∥CE，∴①又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE．代入②式得．分析2由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過(guò)分點(diǎn)D作平行線．證法2：如圖4—10，過(guò)D作DE∥AC交AB于E，則∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED．又∵，∴，∴.分析3欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置．證法3：如圖4—11，過(guò)B作BE∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于E，則∠2=∠E．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．又∵，∴.分析4由于AD是∠BAC的平分