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PAGEPAGE4相似三角形添加輔助線的方法舉例例1:已知:如圖,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求證:BC2=2CD·AC.例2.已知梯形中,,,是腰上的一點,連結(1)如果,,,求的度數;(2)設和四邊形的面積分別為和,且,試求的值例3.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中,E是AB的中點,,連E、F交AC于G.求AG:AC的值.
例4、如圖4—5,B為AC的中點,E為BD的中點,則AF:AE=___________.例5、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于O點,E為AB延長線上一點,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的長.例6、已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分線.求證:.
又,故為、的中點以下同解法1可得是等邊三角形故解法4 如圖,作,交于,作,交于,得平行四邊形,且讀者可自行證得是等邊三角形,故解法5 如圖延長、交于點,作,分別交、于點、,得平行四邊形可證得為的中點,則,故得為等邊三角形,故解法6 如圖(補形法),讀者可自行證明是等邊三角形,得(注:此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等)(2)設,則解法1(補形法)如圖補成平行四邊形,連結,則設,則,由得,,解法2 (補形法)如圖,延長、交于點,,,又設,則,,,解法3(補形法)如圖連結,作交延長線于點連結則∽,故(1),故(2)由(1)、(2)兩式得 即解法4(割補法)如圖連結與的中點并延長交延長線于點,如圖,過、分別作高、,則且, ,又,,故說明本題綜合考查了等腰三角形的性質,相似三角形的判定和性質,解題關鍵是作輔助線,構造相似三角形.例3.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中,E是AB的中點,,連E、F交AC于G.求AG:AC的值.
解法1:延長FE交CB的延長線于H,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,∴∠H=∠AFE,∠DAB=∠HBE又AE=EB,∴△AEF≌△BEH,即AF=BH,∵,∴,即.∵AD∥CH,∠AGF=∠CGH,∠AFG=∠BHE,∴△AFG∽△CGH.∴AG:GC=AF:CH,∴AG:GC=1:4,∴AG:AC=1:5.解法2:如圖4—2,延長EF與CD的延長線交于M,由平行四邊形ABCD可知,,即AB∥MC,∴AF:FD=AE:MD,AG:GC=AE:MC.∵,∴AF:FD=1:2,∴AE:MD=1:2.∵.∴AE:MC=1:4,即AG:GC=1:4,∴AG:AC=1:5例4、如圖4—5,B為AC的中點,E為BD的中點,則AF:AE=___________.解析:取CF的中點G,連接BG.∵B為AC的中點,∴BG:AF=1:2,且BG∥AF,又E為BD的中點,∴F為DG的中點.∴EF:BG=1:2.故EF:AF=1:4,∴AF:AE=4:3.例5、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于O點,E為AB延長線上一點,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的長.解法1:過O點作OM∥CB交AB于M,∵O是AC中點,OM∥CB,∴M是AB的中點,即,∴OM是△ABC的中位線,,且OM∥BC,∠EFB=∠EOM,∠EBF=∠EMO.∴△BEF∽△MOE,∴,即,∴.解法2:如圖4-8,延長EO與AD交于點G,則可得△AOG≌△COF,
∴AG=FC=b-BF,∵BF∥AG,∴.即,∵∴.解法3:延長EO與CD的延長線相交于N,則△BEF與△CNF的對應邊成比例,即.解得.例6、已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分線.求證:.分析1比例線段常由平行線而產生,因而研究比例線段問題,常應注意平行線的作用,在沒有平行線時,可以添加平行線而促成比例線段的產生.此題中AD為△ABC內角A的平分線,這里不存在平行線,于是可考慮過定點作某定直線的平行線,添加了這樣的輔助線后,就可以利用平行關系找出相應的比例線段,再比較所證的比例式與這個比例式的關系,去探求問題的解決.證法1:如圖4—9,過C點作CE∥AD,交BA的延長線于E.
在△BCE中,∵DA∥CE,∴①又∵CE∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD平分∠BAC,∵∠1=∠2,于是∠3=∠4,∴AC=AE.代入②式得.分析2由于BD、CD是點D分BC而得,故可過分點D作平行線.證法2:如圖4—10,過D作DE∥AC交AB于E,則∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.于是EA=ED.又∵,∴,∴.分析3欲證式子左邊為AB:AC,而AB、AC不在同一直線上,又不平行,故考慮將AB轉移到與AC平行的位置.證法3:如圖4—11,過B作BE∥AC,交AD的延長線于E,則∠2=∠E.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠E,AB=BE.又∵,∴.分析4由于AD是∠BAC的平分
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