上海市高一開學(xué)分班考真題70題專練03集合與邏輯（教師版）

上海市高一開學(xué)分班考真題70題專練03集合與邏輯【考點(diǎn)剖析】一、單選題.(2020?上海?高一開學(xué)考試)設(shè)集合A={3,5,6,8},集合3={4,5,7,8},則AcB等于A.{5,8} B.{3,,6} C.{4,7} D.{3,5,6,8}【答案】A【詳解】集合A={3,5,6,8},集合3={4,5,7,8},又集合A與集合B中的公共元素為5,8,??.AcB={5,8},故選A.2.(2020秋?上海寶山?高一上海交大附中校考開學(xué)考試)設(shè)A、8、。均為非空集合，且滿足則下列各式中錯(cuò)誤的是()A.(QA)B=U B.(QA)(CuB)=CuBC.Ac(C*)=0 D.(QA)(CuB)=U【答案】D【分析】做出韋恩圖，根據(jù)圖形結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示，則GBlgA,(C〃A)B=U,選項(xiàng)A正確，。仆)一(CuB)=CuB,選項(xiàng)3正確，Ac(CuB)=0,選項(xiàng)。正確，(GA)(CuB)=CuA手U,所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合交、并、補(bǔ)計(jì)算，利用韋恩圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)。的值.【詳解】因?yàn)閝《A,故〃=?；?—"q,若〃=0,則儲(chǔ)一〃=〃=0,與元素的互異性矛盾，舍；若Q=〃，則4=2或q=0（舍），而，=2時(shí)，符合元素的互異性，故實(shí)數(shù)。的值為2,故答案為：2.22.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）若{x+y,2y}={7,8},則整數(shù)戶故答案為：a<—2（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）滿足條件{1,2,3}="三{123,4,5,6}集合用的個(gè)數(shù)是.【答案】8【分析】根據(jù)給定條件，分析集合M中元素情況，進(jìn)而確定集合M的個(gè)數(shù)作答.【詳解】集合“滿足{1,2,3}qMa{1,2,3,4,5,6},由{123}1M知，又由“三{1,2,3,4,5,6}知，集合M可以為{123},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,5,6},共8個(gè)，所以集合以的個(gè)數(shù)是8.故答案為：8(2020?上海?高一開學(xué)考試)設(shè)集合S={x|x>—2},T={x\-4<x<l}9則他S)T=.【答案】{x|Y【答案】{x|Y<x<-2【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算，得到\s,再由交集運(yùn)算，得到答案.【詳解】因?yàn)榧?=卜門>—2}所以年5={犬k<_2},因?yàn)榧隙?卜|-44入41},所以&S)cT={x|T所以&S)cT={x|T<x<-2故答案為{x|-44x4-2}【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.（2020秋?上海寶山?高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)集合A=[l,3],3=[m+l,2m+4],若4=3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)子集的定義得出不等關(guān)系后求解.m+l<1 12m+423’解得一廣相0.故答案為：—1。.【點(diǎn)睛】查考集合包含關(guān)系，掌握子集的定義是解題關(guān)鍵.（2022秋?上海?高一開學(xué)考試）若x?2,5］和或x>4}都是假命題，則」的范圍是【答案】［1,2）【分析】先由九武2,5］和或x>4}都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若x?2,5］為假命題，則有x?x|xv2或x>5}若xe{x［x<1或x>4}是假命題，則所以x的范圍是1<x<2即x的范圍是［1,2）胡答案為：［1,2）（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若集合A={x|f—5%+6=0},B={y\my^2=0}9則使得Au3=A成立的所有用的值組成的集合是.【答案】{『，告【分析】依題意可得首先求出集合A,再分類討論分別計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)锳={x|x2—5x+6=0}={2,3},B={y\my+2=0}, =所以3=A；①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，8=0符合題意；②當(dāng)即2加+2=0解得加=-1,即3={2}；③當(dāng)即36+2=0解得加=—,即3={3}；綜上可得e|故答案為：卜，一1，一,}（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知集合人={1,2,3},2={1,如小，若3-加￡A〃+1￡A,則非零實(shí)數(shù)加+〃的可能取值集合是【答案】{2}\m=2m=0【分析】首先利用集合與元素的關(guān)系和集合元素的特征得到 八或c,即可得到答案.〃=0n=2【詳解】因?yàn)?-〃zeA,所以3-〃2=1或3-加=2或3-m=3,解得m=2或m=1或根=0,因?yàn)閹?1gA,所以〃+1=1或〃+1=2或〃+1=3,解得〃=0或〃=1或〃=2,m=2[m=0又因?yàn)?={1,也〃},所以八或即加+〃=2.n=0 \n=2故答案為:{2}(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試)若集合A={x|V—(q+2)x+2-〃<0,xwZ}中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍是12【答案】(，勺【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為/-2%+2<。(％+1),轉(zhuǎn)化為A={x[/(x)<g(x),x￡Z},結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式d_(。+2)%+2—。<0且q>0, x12-2x+2<a(x-bl),令4%)=%2—2x+2,g(x)=a(x+l),所以A={x[/(x)<g(x),x￡Z},所以y=/(x)是一個(gè)二次函數(shù)，圖象是確定的一條拋物線,而y=g(x)一次函數(shù)，圖象是過一定點(diǎn)(-L。)的動(dòng)直線，作出函數(shù)“X)=f—2x+2和g(x)=〃(x+D的圖象，如圖所示,又因?yàn)閤eZm>0,結(jié)合圖象，要使得集合A={x|x?-(a+2)x+2-。<0,xgZ}中有且只有一個(gè)元素,可得g⑴〉可得g⑴〉1

〔g(2)w22a>13a<21 2解得12故答案為:(―5—].^J（2023春?上海青浦?高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知集合4={中＞3},集合3={?。玖?，若命題〃是命題“xeB〃的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.【答案】"3【分析】根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的真包含關(guān)系，即可得解.【詳解】因?yàn)槊}〃xe4〃是命題"xe8〃的充分不必要條件，所以集合A真包含于集合3,又集合A={?。?},集合8={中＞〃},所以av3.故答案為：av3（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考開學(xué)考試）已知A= ^＜0,^gzLb={x|x=a+b,aeA,beA},試用列舉法表示集合3=;【答案】{2,3,4}【分析】解出不等式一三＜0得到集合A,然后可得答案.x-3【詳解】因?yàn)锳={xl言＜0,xwz}={x[0＜x＜3,xeZ}={l,2},所以3={x|jv=a+0,〃￡A/?￡A}={2,3,4},故答案為:{2,3,4}（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）若-2￡{3,5,羽龍2+3w，則實(shí)數(shù)x=.【答案】-1【分析】討論x=—2或X2+3%=—2,解出了的值，由集合的互異性即可得出答案.【詳解】當(dāng)％=-2時(shí)，d+3x=-2,與互異性矛盾.當(dāng)f+3x=—2時(shí)，解得工=-1或1=-2（舍去）.當(dāng)x=-l時(shí)符合題意，故答案為：T.（2023春?上海青浦,高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知集合4={2,3},集合5={3,4},則AB=.【答案】{3}【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】集合A={2,3},集合B={3,4},則Ac8={3}.故答案為：⑶（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）將集合AICI0/在如圖中用陰影部分表示出來(lái).【分析】根據(jù)集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求得AICI縱B【詳解】由交集補(bǔ)集的運(yùn)算可知，陰影部分如下圖所示：故答案為:（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知陳述句素?cái)?shù)都是奇數(shù)，則。的否定形式為.【答案】見解析【分析】由題意，素?cái)?shù)都是奇數(shù)是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，由此可寫出答案.【詳解】陳述句素?cái)?shù)都是奇數(shù)，是全稱量詞命題，則〃的否定形式為：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).故答案為：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).（2020秋?上海寶山?高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）= +9.p:x￡[-3,l],q:/（X）-同＜3,若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】（0,3）【分析】求出工￡[-3,1]時(shí)，/（x）的范圍，再求出4為真時(shí)，的范圍，由充分條件對(duì)應(yīng)的集合包含關(guān)系可得力的范圍.【詳解】〃為真時(shí)，xe[-3,l],9—/￡[o,9],/（x）e[0,3],q為真時(shí)，|/（%）_機(jī)＜3,m-3＜/（A：）＜m+3,m-3＜0〃是q的充分條件，則./解得。＜相＜3.42+3〉3故答案為：（0,3）,【點(diǎn)睛】本題考查充分條件，考查充分條件與集合包含之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為集合包含關(guān)系.（2020秋?上海寶山?高一上海交大附中校考開學(xué)考試）設(shè)全集U=｛（x,y）|x,y￡R｝,集合那么（枷）c（〃N）=那么（枷）c（〃N）=【答案】｛（2,3）｝【分析】分析出集合"，N的各自意義，進(jìn)而可知疫M(jìn), 的各自意義，從而可求出（枷）（〃N）.【詳解】解：由匕1=1可得y=x+l,xw2,即“表示直線丁=%+1除去（2,3）的點(diǎn)集,XLN表示平面內(nèi)不在直線＞=工+1上的點(diǎn)集，則A/N表示平面內(nèi)在直線y=x+l上的點(diǎn)集,必〃表示不在直線產(chǎn)工+1上的點(diǎn)和點(diǎn)（2,3）的集合，所以（疫M(jìn)）（0N）={（2,3）}.故答案為：{（2,3）}.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的求法，考查交集、補(bǔ)集等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.（2020秋?上海寶山?高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)4，出，。3,4是4個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，且[x\x=a^ap\＜z＜y＜4}={11,21,30,39,49},則集合{q,%，？，%}=.【答案】{1,10,20,29}【分析】不妨設(shè)卬＜%＜生＜%，集合{x|%=4+%/＜，＜/＜4}中至多有6個(gè)數(shù)，確定4+勺中的最小和最大的數(shù)，再確定次小與次大的數(shù)，然后還有兩個(gè)相等為中間的數(shù)，由此可得解.【詳解】不妨設(shè)卬＜。2＜。3＜4，則在集合{x|x=6+Q//中，4+出最小,%+。4最大，即q+%=ll,〃3+。4=49,第二小的數(shù)是4+〃3，第二大的數(shù)是。2+。4，即4+4=21,。2+。4=39,從而有4+%=%+a3=3°，由+tz4=49,4+%=21,4+%=39,4+%=%+q=3。，可解得q=l,%=10,6Z3=20,%=29,故答案為：{1,10,20,29}【點(diǎn)睛】本題考查求集合中的元素，解題時(shí)根據(jù)集合的定義，把《十%排列，再根據(jù)集合的定義得出結(jié)論后可求解.考查了邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力.（2021秋?上海寶山,高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)P為非空實(shí)數(shù)集滿足：對(duì)任意給定的犬、WP（%、y可以相同），都有x+ycP,x-yeP9xy^P,則稱P為幸運(yùn)集.①集合P={-2,-1,0,1,2）為幸運(yùn)集；②集合P={x\x=2〃,neZ）為幸運(yùn)集；③若集合々、尸2為幸運(yùn)集，則片U鳥為幸運(yùn)集；④若集合尸為幸運(yùn)集，則一定有OwP；其中正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】②④【解析】①取x=V=2判斷；②設(shè)％=2《"j=2自"判斷；③舉例6={x|x=2N%￡Z},￡={x|x=3N%￡Z}判斷；④由％、丁可以相同判斷；【詳解】①當(dāng)x=y=2,x+y=4&P,所以集合P不是幸運(yùn)集，故錯(cuò)誤；②設(shè)）=2勺iP,y=2&￡P(guān),則x+y=2（占+&）￡A,x-y=2（勺一％2）￡A,xy=2勺?&￡A,所以集合P是幸運(yùn)集，故正確；③如集合4={尤1工=2左,左￡2},6={工|工=3%,左￡2}為幸運(yùn)集，但《11￡不為幸運(yùn)集，如尤=2,y=3時(shí)，%+y=5@[ug,故錯(cuò)誤；④因?yàn)榧螾為幸運(yùn)集，則x-yeP,當(dāng)x=y時(shí)，x-y=O,一定有?！?，故正確；故答案為：②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：讀懂新定義的含義，結(jié)合“給定的X、”尸（X、y可以相同），者R有x+y￡P(guān),x-y^P,個(gè)￡?！?，靈活運(yùn)用舉例法.（2022秋?上海徐匯,高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合4={蟲<3},B={x\x<2],則40備3=.【答案】[2,3]【分析】根據(jù)集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?={x|x<2},所以6*={X忖22}因此A-6*={小<3}c{小22}=[2,3].故答案為[2,司【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集，交集運(yùn)算，屬于中檔題.（2022秋?上海?高一開學(xué)考試）已知集合〃=卜,2+工_6=0},N={x\nvc-l=0]9若NqM,則實(shí)數(shù)加的取值構(gòu)成的集合為【答案】°14【分析】先化簡(jiǎn)集合M,然后再根據(jù)NUM,求出〃2的值，即可求解.【詳解】?.?集合M=門2+X_6=0,???集合用={2<3},,:NjM,N={x|"ir-l=0},：.N=09或代={2},或4={-3}三種情況,當(dāng)N=0時(shí)，可得m=0；.x=—=2

m當(dāng)入={2}時(shí),VN={x\iwc-}=0}9??.x=—=2

m當(dāng)％={—3}，xm/.實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為0,1,IND故答案為:<0故答案為:<0--

，2'(2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)集合"={1,2,3,L,2024,2025},集合A是A1的子集，且滿足：當(dāng)xeA時(shí)，15xeA,則A中元素最多有個(gè).【答案】1899【分析】分析可知，X與15X只能有一個(gè)是集合A的元素，又根據(jù)2025? 15=1,2025?21：可得當(dāng)A中元素最多時(shí)，一共有2025-135+9=1899個(gè)元素.【詳解】根據(jù)題意，時(shí),15xeA,x與15%只能有一個(gè)是集合A的元素，由于2025? 15=1,故當(dāng)A中元素最多時(shí)，集合A的元素可以是136,137,138,,2025共有2025-135=1890個(gè)，又因?yàn)?35?15=9,故當(dāng)A中元素最多時(shí)，集合A的元素可以是1,2,,3,,9,共有9個(gè)，以上兩種情況加起來(lái)是1890+9=1899.故答案為：1899.(2022秋?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知A={〃/,6/2,Q3,〃},B={a；,al，且〃/<42<43<。4,其中aiElZ(z=l,2,3,4),若Ac5={42,?},幻+。3=0,且的所有元素之和為56,求613+(24=.【答案】8【分析】先通過(AB)=B,判斷得4〉。，分類討論%>。與生=。的情況，得到卬=-1，%=。，%=1,再求AU3的元素，進(jìn)而得到%+=56,解得g=7,故得答案.【詳解】由4+%=0得4=-。3，所以如=3.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）下列命題中正確的是（）A.空集沒有子集B.空集是任何一個(gè)集合的真子集C.任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集D.設(shè)集合8gA,那么，若xeA,則不任3【答案】D【解析】根據(jù)集合的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果【詳解】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若則3中元素都在A中，A中沒有的元素，則3中也沒有；故D正確.故選：D.（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）已知集合人=卜￡用-1<%<5},3={0,1,2,3,4,5},則A、B間的關(guān)系為（）A.A=B B.A C.AeB D.B【答案】D【分析】求出集合A,即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)锳={xcN|—lvxv5}={0,123,4},故故選：D.5.（2022秋?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（）A.0{0} B.{1,2}Z C.{（〃⑼仁{〃，" D.{0,1}o{1,0}【答案】C【分析】對(duì)于A,根據(jù)空集的性質(zhì)判斷，對(duì)于B,直接判斷，對(duì)于C,由集合的特征判斷，對(duì)于D,由子集的性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，所?{0},所以A正確，對(duì)于B,因?yàn)閆表示的是整數(shù)集，所以{1,2}Z,所以B正確，對(duì)于C,因?yàn)閧（。4）}表示此集合中只有一個(gè)元素（。力），而集合{。力}表示集合中有2個(gè)數(shù)〃力，所以兩集又因?yàn)椋?B）^B9即｛%%｝=｛〃；W，硝，所以生之。,（1）若。2>°，因?yàn)椤?￡Z,所以外21,此時(shí)生工外，。3<〃；=〃；，氏<〃：，故片右｛%，/｝,從而｛%〃3｝=｛?！竁｝，Q二q2 ）所以2,則%=W=，：=[；,即。3=?；?，與。3>〃2矛盾；a3-a2所以（2）若。2=。，則%>〃3>%=。，〃；>%，即〃：>〃3〉〃2，所以々3｝，,/A.nu{%，/}={01' }，顯出=0= /=q=43，即％=0 1,而？=。與例>。2矛盾，故。3=1，4=-%=-1，又AB={q,&,Q3，Q,%}，故q+d+%+。4+。；=56,將4=-1,々2=。，。3=1代入，得到。4+4=56,解得。4=7或%=-8（舍去）,所以。3+。4=8.故答案為：8.46.（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）用CG4）表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義A”喟二黑黑；<黑）若A"2｝,小卜2+or）（f+or+2）=0）,且A*B=1,設(shè)實(shí)數(shù)。的所有可能取值構(gòu)成集合S,則。（s）=.【答案】3【分析】由新定義A*3=l得集合5可以是單元素集合，也可以是三元素集合，把問題轉(zhuǎn)化為討論方程（12+辦）（尤2+以+2）=。根的個(gè)數(shù)，即等價(jià)于研究?jī)蓚€(gè)方程/+以=o、/+盯+2=。根的個(gè)數(shù).【詳解】3+or)(x2+ax+2)=。等價(jià)于/+以=0①或f+^+2=0(2).由A二｛1,2｝,且A*8=l,得集合5可以是單元素集合，也可以是三元素集合.若集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根，②無(wú)實(shí)數(shù)根，可得。=0；若集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，即[qw0 _4a2°八，解得a-±2\[2-綜上所述，〃=?；颉?±2&，所以。（S）=3.【點(diǎn)睛】本題以A*3這一新定義為背景，考查集合8中元素個(gè)數(shù)問題，考查分類討論思想的運(yùn)用，對(duì)邏輯思維能力要求較高.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知A={x|￡+p九+1=0/￡可，若AcR+=。，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.【答案】（-2,+00）【詳解】分析：先根據(jù)條件得方程f+px+l=0沒有正實(shí)數(shù)解，再根據(jù)方程無(wú)解與只有非正數(shù)解兩種情況討論，解得實(shí)數(shù)〃的取值范圍詳解：13AcH+=。，團(tuán)方程V+px+1=0沒有正實(shí)數(shù)解，故A集合有兩種情況：①若A=。，則A=一4<。，則一2<〃<2；②若Aw。，則方程有兩個(gè)非正數(shù)解，且。不是其解，則有：\P一4：0,解得pN2.綜上所述，P>-2,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（-2,+s）.點(diǎn)睛：⑴認(rèn)清元素的屬性，解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性（是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形）和化簡(jiǎn)集合是正確求解的兩個(gè)先決條件.⑵注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足〃互異性〃而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.⑶防范空集.在解決有關(guān)= 等集合問題時(shí)，往往忽略空集的情況，一定先考慮。是否成立，以防漏解.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤）=f+2冰+8（?！?）,集合A=[x\f（x）<0}9B=[x\f（f（x））<s\,若A=Bw0,則。的取值范圍為.【答案】[242A【解析】先根據(jù)AN0,利用AZO求得。的范圍，再求出集合AB,利用A=B,即可求解.【詳解】解：；A=3w0,即/(x)W0J(/(x))W8有解,由/(x)?0知：△=(2〃)2—4*8=4/一3220,解得：a4-2母或aN2C，又a>0,a>2^2，令〃%)=%2+2ar+8<0,解得：-Q—，片―8<X<—Q+ —8，故A=1x—a—J/—8<x<—a+da~-8)，〃/(x))W8,令〃=/(x),BP/(m)<8,又/(x)=x?+2辦+8.易知：/⑼=8J(-2〃)=(-2q『+2qx(_2a)+8=8,a>0,故-2a<u<0,!PB={x|-2^</(x)<0),又A=B,故/(x"-2a恒成立，即〃％12a,又/(%)min=/(-。)=(-。)~+2a,(-a)+8=-4+8,即—cr+8N—2a，即cr—2。-840,解得：-2<6Z<4,又aN2加，/.ae2A/2,4.故答案為：[20,41【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用A=B得出/(力而了-2。.(2022秋?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)。={0,123,4,5,6,7,8,9},若BjCjU,則不同的有序集合組(A民。)的總數(shù)是.【答案】510【分析】按。中元素個(gè)數(shù)分類討論，再定良。中元素個(gè)數(shù)，最后由分類、分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)論.【詳解】法一：集合C中有10個(gè)元素時(shí)，不同的有序集合組(AB,C)有C：；.2,0.2皤個(gè)；當(dāng)集合。中有9個(gè)元素時(shí),不同的有序集合組(A,B,C)有G>2。?29個(gè)；???當(dāng)集合。中有0個(gè)元素時(shí),不同的有序集合組(AB,c)有C；)?2°?2°個(gè)；團(tuán)總數(shù)為：￡?210?2,0+品?29.29+...+C>2°?2°=C：；?4%品-49+...+品=(1+4),0=5,0法二：如圖，每個(gè)數(shù)字的位置都有5個(gè)位置可供選擇，所以共有寧。種.故答案為：510(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=Y—?+3,g(x)=znr+5-2根，若對(duì)任意的/?1,4],總存在可<1,4],使/(%)=g(&)成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是【答案】(--3]36,y)【分析】根據(jù)對(duì)任意的百句1,4],總存在％?L4],使得/(%)=抵々)，可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)關(guān)于加的不等式組，解不等式組即可.【詳解】因?yàn)?(x)=_?_4x+3=(x_2)2—1,所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為x=2,對(duì)任意的看河1,4],記1,3].記A=[—1,3].由題意知，當(dāng)機(jī)=0時(shí)不成立，當(dāng)相>0時(shí)，g(x)=mx+5-2加在[1,4]上是增函數(shù)，所以g(x)e[5-m,2m+5],記8=[5-機(jī),2m+5]由題意知，BEA所以-1>所以-1>5-m2m+5>3解得m>6.當(dāng)mvO時(shí)，g(x)=mir+5-2加在[1,4]上是減函數(shù),所以g(x)e[2m+5,5-m],記C=[2zn+5,5—zn],由題意知，CoA2m+5<-1所以Q7，解得“"一3.5-m>3綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(f，-引。[6,y).故答案為：3]36,"o)【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的1目1,4],總存在々<1,4],使得/a)=g(z),可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而分別求兩個(gè)函數(shù)的值域.(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試)用閾表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義IA—3,A2\b\ (. (I/? \/? \ )MB=\B-Ab>|a|，若，={°」"，=卜卜+6)(X+以+3)=。卜A*8=l,則實(shí)數(shù)"的所有可能取值構(gòu)成集合S,則5=.(請(qǐng)用列舉法表示)【答案】卜2點(diǎn)2&0}【分析】根據(jù)A={0,l}, = 可知B要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對(duì)方程

卜2+辦)(尤2+仆+3)=。的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，即可求得，的所有可能取值.【詳解】由于1+國(guó),+依+3)=。，等價(jià)于Y+雙=o①或x2+ax+3=0②又入={04},A*3=l,可知3要么是單元素集合，要么是三元素集合,(1)當(dāng)8是單元素集合，則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根，方程②無(wú)實(shí)根，此時(shí)。=0；(2)當(dāng)8是三元素集合，則方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)根,此時(shí)Q△=/—此時(shí)Q△=/—12=0,解得a=±273實(shí)數(shù)〃的所有可能取值構(gòu)成集合5=卜26,2"。}故答案為：卜2百,26,0}【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查元素與集合的判斷，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查學(xué)生的分析審題能力與分類討論思想，屬于中檔題.四、解答題(2020?上海?高一開學(xué)考試)設(shè)集合A={x|%2+3%+2=0},B={x|x2+(m+l)x+m=0}；(1)用列舉法表示集合A；(2)若xeB是xeA的充分條件，求實(shí)數(shù)加的值.【答案】(1)4={-1,一2}；(2)m=1或，篦=2【分析】(1)解方程求集合A,(2)若xeB是xeA的充分條件，則8=A,然后求解集合根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù).【詳解】(1)f+3x+2=0n(x+l)(x+2)=。即-1或x=-2,A={-1,-2}；(2)若是xeA的充分條件，則BgA,x2+(m+l)%+m=0^>(x+l)(%-i-m)=0解得工二-1或無(wú)=一根，當(dāng)"2=1時(shí)，B= ,滿足當(dāng)m=2時(shí)，B={-l-2},同樣滿足所以"2=1或7?2=2.【點(diǎn)睛】本題考查集合和元素的基本關(guān)系，以及充分條件和子集的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.（2020?上海?高一開學(xué)考試）已知A={x|f—3火+2〃>0,4>0},3={尤|Y—x—620},若xeA是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.3【答案】0<^/<|【解析】先解出B的范圍，根據(jù)B是A的真子集求解范圍即可。【詳解】解出8= ,A=^x\x<a^x>2cua>0}因?yàn)閤eA是xeB的必要不充分條件，所以B是A的真子集.a>-23所以124<3=>0<〃<—。>0 23故答案為：。<。<彳2【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)易邏輯和集合，注意將條件通過充分必要條件翻譯為集合的子集關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目。（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合A={x\kx2-Sx+16=0,keR,xeR}.（1）若人只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合4（2）若八至多有兩個(gè)子集，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）k=0,A={2};k=l,A={4}.（2）{0}J[1,-kx>）.【解析】（1）當(dāng)女=0時(shí)，易知符合題意，當(dāng)左wO時(shí)，利用△=（）即可求出女的值；（2）由A至多有兩個(gè)子集，可知集合A中元素個(gè)數(shù)最多1個(gè)，再分攵=0和兩種情況討論，即可求出實(shí)數(shù)上的取值范圍.【詳解】⑴①當(dāng)攵=0時(shí)，方程化為：-8x+16=0,解得X=2,此時(shí)集合人={2},滿足題意；②當(dāng)攵。0時(shí)，J,方程版2一8-16=0有一個(gè)根，:.A=(―8)2—4^x16=0,解得：k=l,止匕時(shí)方程為d—8x+16=0，解得x=4,，集合A={4},符合題意，綜上所述，2=0時(shí)集合4={2}；左二1時(shí)集合A={4}；A至多有兩個(gè)子集，，集合A中元素個(gè)數(shù)最多1個(gè)，①當(dāng)ZW0H寸，一元二次方程依2一8%+16=0最多有1個(gè)實(shí)數(shù)根，?,*/=(-8>—4kx16,,0,解得k..T,②當(dāng)左=0時(shí)，由(1)可知，集合A={2}符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)攵的取值范圍為：{0}[1,+8).【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.55.(2022秋?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知用為實(shí)數(shù)，A={xf_(m+1卜+m=o},B=^xmx-l=01.⑴當(dāng)肘，求用的取值集合；⑵當(dāng)Au3=A時(shí)，求加的取值集合.【答案】(1){1}⑵{TO4}【分析】(1)分析可知AH0,則〃2。0,根據(jù)可得出關(guān)于用的等式組，由此可解得實(shí)數(shù)〃2的值;(2)分析可知分機(jī)=0、〃2。0兩種情況討論，在機(jī)=。時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在相。0時(shí)，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的等式，即可解得實(shí)數(shù)〃2的值，綜合可得結(jié)果.【詳解】(1)解:因?yàn)锳={x](xT)(x-〃2)=0卜0,且A=則加w0,所以,由題意可知，—=1,m,解得m-\.由題意可知，m-1因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為{1}.(2)解：QAUB=A,則當(dāng)相=0時(shí)，B=合乎題意;若…，則(X(\\ 若…，則(X(\\ mI帆)=。，解得加=±1.綜上所述，〃2的取值集合為卜1。1}.(2020?上海?高一開學(xué)考試)已知全集。=區(qū)，集合A={x|、2—4x—5<。},B={x\2<x<4}.(1)求Ac(Cu5)；(2)若集合C={x|a〈x<4a,a〉0},滿足CUA=A,CB=B,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【答案】(1) 或4<x45}.；(2)pl<a<^j.【分析】(1)求出A以及加8后可得Ac(CuB).(2)根據(jù)集合等式關(guān)系可得5qC1人故可得各集合中范圍的端點(diǎn)的大小關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【詳解】(1)由題A={x|—l<x<5},GB={x|x<2或x>4},Ar>(ClJB)={x\-l<x<2^i4<x<5}.a>-\(2)由CUA=A得CqA,貝ij4。<5,解得。4。>0X.a<2由C/5=B得3= 則解得14q<2,a>0

、團(tuán)實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a"【點(diǎn)睛】本題考查集合的交和補(bǔ)以及在包含的條件下參數(shù)的取值范圍的求法，注意根據(jù)集合的等式關(guān)系判斷出集合之間的包含關(guān)系，本題屬于中檔題.(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考開學(xué)考試)已知S〃={A|4=(4，生必，“)，4=?；?,i=l,2,-/}(〃22),對(duì)于U,V￡S〃，或。")表示U和卜中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù).(團(tuán))令。=(0,0,0,0,0),存在團(tuán)個(gè)丫￡工，使得力〃，/)=2,寫出m的值;(回)令2''若U,VeS〃，求證：d(U,W)+d(KW)2d(UW)；〃個(gè)0(0)令U=(4，%,〃3,…，。3若V ,求所有d(u,v)之和.【答案】（團(tuán)）機(jī)=10； （0）見解析（00）見解析【詳解】試題分析：本題是綜合考查集合推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細(xì)分析，以找出解題的突破點(diǎn)，題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于S”的，其實(shí)S“中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)都是0或者1,也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是?；?,第二個(gè)定義或。，）.第一問，根據(jù)VeSs，且=2及d（U,V）的意義：表示U和V中相應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)，可知m=C；；第二問，根據(jù)q二0或1,，=1,2, 分類討論q=0,2=0時(shí)，同+間=0=|q-bJ；當(dāng)4=0,2=1時(shí)，同+間=1=何.一如當(dāng)4=1,2=0時(shí)，聞+間=1=問-用;當(dāng)4=1,2=1時(shí)，同+例=2習(xí)生.一旬=0；可證，同+同習(xí)生一修，再相加即可證明結(jié)論;第三問，結(jié)合第一問，得出使d（〃,唳）=〃的以共有C：個(gè)，分別計(jì)算出力（"?。┖腿?,匕），再相加即k=l k=l可.試題解析：（回）《=10;（0）證明：令〃=（4,。2，。3……4），U=（4，Z?2也……”）回《=0或1,2=0或1；當(dāng)q=0,4=0時(shí)，同+例=0=舊—4|當(dāng)％=o,2=1時(shí)，同+間=i=k.一片當(dāng)％=1,a=o時(shí),同+間=1=4.一a當(dāng)q=l,々=1時(shí),同+同=22q=。故國(guó)+例小-4回d（〃,w）+d（匕w）=（%+%+〃3++?！ǎ?（4+a+4++b”）二（同+|生|+|%|++|an）+屹|(zhì)+憐2|+|4|++|2）2（4—b、+出一4+々3-4|++_b”）=d（u,v）（0）解:易知S〃中共有2〃個(gè)元素，分別記為以（％=12,2〃）u=（4也也……〃）岫=。的匕共有2〃t個(gè)，4=1的n共有2〃一個(gè).合間不存在包含關(guān)系，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D,{0,1}和{1,0}是兩個(gè)相等的集合，所以{0,1}7{1,0},所以D正確，故選：C（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知匕為實(shí)數(shù),則〃心2且心3〃是〃9之6〃的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義求解作答.【詳解】a,b為實(shí)數(shù),若且人23,則就之勖26,取1=1/=7滿足"26,顯然且不成立，所以〃心2且23〃是〃而26〃的充分非必要條件，A正確，B,C,D都不正確.故選：A（2020?上海?高一開學(xué)考試）已知命題P：Wx￡R,x2—x+i>o,則「pA.HxeR,x2-a:+1<0 B.VxgR,a:2-x+1<0C.R,x2-x+1>0 D.VxeR,x2-a:+1>0【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題〃：心￡勺工2一%+1>0,貝1廣〃：Y_工+1<0,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.（2020?上海?高一開學(xué)考試）已知集合人={回工-％0},若2￡兒則。的取值范圍為（）A.（-co,-2] B.（-00,2] C.[2,+oo） D.[-2,4-oo）【答案】C【分析】首先求出集合A,再根據(jù)元素與集合的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解:因?yàn)榧?={%1%-④。},所以A={xE，G，又因?yàn)?￡4,則。?.2,即〃￡[2,+oo）,故選：C.回H(〃,也)k=\二①|(zhì)q—0|+2〃t|q-1|+21|生_。|+2〃-14-1|++2/4—0|+2〃t|^-1|)二〃.2"t2〃回2"(〃，匕)=〃.2'i.k=\法二：根據(jù)(0)知使dQ,")=?的“共有c：個(gè),2”回23M)=OC)+1C+2C+.?+〃?￡；k=\2〃￡d3,匕)=〃?c：+5—1)?C；「+5-2)?c；＞2++0?C；)A=12n兩式相加得2(u,vk)=n-2M&=1考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.58.(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試)已知命題P：關(guān)于1的不等式〃a-120的解集為A,且2^4；命題，關(guān)于1的方程V—2%+根=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根.(1)若命題〃為真命題，求實(shí)數(shù)小的范圍；(2)若命題〃和命題4中至少有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)加的范圍.【答案】(1)m＞-(2)加＜，或機(jī)2/2 2【分析】(1)根據(jù)不等式的解集且2e4代入即可根據(jù)命題〃為真命題求得數(shù)加的范圍.(2)先求得命題P和命題q都為真命題時(shí)m的范圍，根據(jù)補(bǔ)集思想即可求得命題P和命題q中至少有一個(gè)是假命題時(shí)用的范圍.【詳解】(1)命題P：關(guān)于x的不等式〃吠-120的解集為4且2￡A因?yàn)槊}〃為真命題所以2m-120解得2(2)命題/關(guān)于x的方程f—2x+m=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根△=4-4m＞0當(dāng)命題9為真命題時(shí)J%+々=機(jī)〉。-x2=2＞0解得0＜相＜11m>-當(dāng)命題P和命題9都為真命題, 20<m<1所以,<m<12所以若命題P和命題Q中至少有一個(gè)是假命題則〃2c,或加2/2所以實(shí)數(shù)用的范圍為機(jī)或機(jī)2/【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征，復(fù)合命題真假的關(guān)系,屬于中檔題.59.（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）已知Q,X￡H,A={2,4,f—5x+9},Bj3,Bj3,x2+ax-\-a。=戶(〃+1)%—3,1}.求:（1）使2^3,3&A的Q，x的值；（2）使3的的值.、 7【答案】（1）x=2,a=—或x=3,a=—；（2）x=-l,〃=-6或產(chǎn)3,a=-24【分析】（1）由元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系可得，/+分+q=2,%2_5工+9=3,聯(lián)立方程即可得出結(jié)果.x+or+。=1⑵根據(jù)集合相等，集合中的元素相同，可得八（,+x3=3'解方程即可得出結(jié)果?！驹斀狻浚?）因?yàn)?￡呂，所以％2+以+〃=2又因?yàn)?1，A,所以￡_5x+9=3,解得x=2或x=32當(dāng)x=2時(shí)，4+2q+q=2,解得。=一§當(dāng)x=3時(shí)，9+3q+q=2,解得。=—4一 2、 7所:以，x=2,ci——二回x=3,ci=~3 4Lx2Lx2+OX+Q=1(2)B=C,/J9IjC+(q+l)x—3=3所以，x=-l,q=-6或x=3,a=-2.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)及元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.60.(2022秋?上海?高一開學(xué)考試)已知集合4=卜,2+(1-卜一<0},5=卜卜一2|<1}.(1)當(dāng)，=2時(shí)、求AuB;(2)若BgA,求實(shí)數(shù)方的取值范圍.【答案】(1)[-1,3)(2)[3,+8)【分析】(1)可得出爐{x[l<x<3},U2時(shí)求出集合A,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可；(2)根據(jù)8a4即可得出集合4="|-1眾。},進(jìn)而可得出I的取值范圍.【詳解[(1)A={x\x2+(l-f)%-/<0)={x|(x-Z)(x+1)<0},B={x||^-2|<1)={x|l<x<3},當(dāng)，=2時(shí)，A={x|(x-2)(x+1)<0}=[-1,2],??.AU5=[-1,3)(2),/BcA,3={x[l<x<3}A-{x\-l<x<t},:.t>3,?..實(shí)數(shù)[的取值范圍[3,+8)6L(2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試)定義：若任意相(m,〃可以相等)，都有1+恤。0,則集合5=1%%=?^,根,〃￡4]稱為集合4的生成集；[ 1+mn J⑴求集合A={3,4}的生成集3；(2)若集合A={〃,2},A的生成集為&8的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，求實(shí)數(shù)。的值；⑶若集合A=(—LD,A的生成集為&求證A=B.3X7]【答案】⑴3七萬(wàn)V⑵Q=±1或。=]⑶證明見解析【分析】(1)根據(jù)新定義算出工的值即可求出B；(2)5的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，轉(zhuǎn)化為3中有2個(gè)元素，然后列出等式即可求出。的值；(3)求出B的范圍即可證明出結(jié)論【詳解】(1)由題可知,(1)當(dāng)加=〃=3時(shí),3+33x==—1+3x35(2)當(dāng)〃2=〃=4時(shí),4+4 8x- =—1+4x417(3)當(dāng)m=3,〃=4或m=4,〃=3時(shí),3+4_7l+3x4-13所以3=(2)(1)當(dāng)加=〃=2時(shí),2+2 4x==—1+2x25a+a2a\ 2"1 21+Q-1+Q-(3)當(dāng)機(jī)=2,〃=?；颉?=々,〃=2時(shí),2+4x=1+2。3的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，則3中有2個(gè)元素,1+2。1+2。5解得。=±1或（。=2舍去），所以。=±1或(3)證明：Vm,/ie(-l,l)=A,m^n?(m+l)(n+l)八 +1= >0,14-mn1+mn根+〃i—(m—1)(72—1)1=--<0,+mn1+mn根+〃 口nn/11\—I< <1,即3=(—LI)I+mn：.A,又A=（-l,l）,所以AgB,所以A=B（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知A=|x|X2+4a=01,B= 42+2(a+l)x+〃2-I=o1.⑴若A是5的子集，求實(shí)數(shù)。的值；⑵若B是A的子集，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.【答案】⑴。=1;A>0【分析】（1）由題得B=A={-4,0},解卜4+0=-2（〃+1）即得解；—4x0=/_]（2）由題得BqA,再對(duì)集合8分三種情況討論得解.【詳解】（1）解：由題得A={T,0}.若A是8的子集，則5=A={T0},A>0所以14+0=-2（〃+1）,.??〃=1.-4x0=^2-1V.（2）解：若3是A的子集，則8=4①若3為空集，則A=4（〃+l）2—4（〃—1）=8q+8v0,解得q<—1；②若3為單元素集合,則A=4伍+1）2—4（/-1）=8〃+8=0,解得。=—1.將〃=一1代入方程d+2（Q+l）X+〃2—l=0,得了2=0,即％=0]={0},符合要求；③若3為雙元素集合，B=A={~4,0},則。=1.綜上所述，a,-1或〃=1.（2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)百,馬，014，不，滿足⑴求證：X1,X2,X3,X4,X5中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1；⑵設(shè)再，龍2，工3，尤4，工5這五個(gè)實(shí)數(shù)兩兩不等，集合4={石/2，%3/4，/}，若且記G（3）是8中所有元素之和，對(duì)所有的笈，求g（3）的平均值.【答案】⑴證明見解析;z80(2)—?31【分析】(1)利用反證法求解即可；(2)由于若玉(l〈i(5"￡N)在其中一個(gè)子集8中出現(xiàn)，就必然存在另一個(gè)子集中不出現(xiàn)，分析即得解.【詳解】(1)假設(shè)不々，了3，X4，天全都小于1，則%+%+%3+%+毛<5與題目矛盾，故國(guó),工2，不，%毛中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1.(2)因?yàn)榍壹?=｛4尤2,0尤4，工5｝的所有非空子集數(shù)為25-1=31個(gè)，由于6=0時(shí)，3中的元素和為0,因此計(jì)算所有的3,G(3)的和時(shí)，不妨把3=0也計(jì)上，因?yàn)槿羝?1〈注5,MN)在其中一個(gè)子集3中出現(xiàn)，就必然存在另一個(gè)子集中不出現(xiàn)，所以在32個(gè)子集中一定有16個(gè)包含%(1W注5,i￡N),另外16個(gè)不包含xz(l<z<5,zeN),故G(B)的平均值=16、(％+%+%3+%4+也)=80(2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試)已知集A=｛x|2m+l<x<3根+4｝合，6｛鄧<x<7｝若AuB,求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍；【答案】(7,—3)(X0,1]【分析】根據(jù)題意，對(duì)集合A是否為空集進(jìn)行討論，列不等式組即可解得答案.【詳解】若集合4=0,則2加+1>3/%+4,解得根<—3,止匕時(shí)滿足AuB,2m+l<3m+4若集合Aw0,由Au區(qū)可得<1W2〃z+1解得0工機(jī)41,3m+4<7所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是：(-，-3)0[0』].(2020秋?上海寶山?高一上海交大附中校考開學(xué)考試)給定的正整數(shù)〃(“22),若集合A= …,滿足4+2++%=q?%%，則稱A為集合〃的〃元“好集〃.(1)寫出一個(gè)實(shí)數(shù)集R的2元〃好集〃；(2)證明：不存在自然數(shù)集N的2元〃好集〃；(3)是否在自然數(shù)集N的3元〃好集〃？若存在，請(qǐng)求出所有自然數(shù)集N的3元〃好集〃；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析；（3）存在，且自然數(shù)集N的3元〃好集〃只有一個(gè)，且為｛123｝.【分析】（1）根據(jù)2元〃好集〃的定義可寫出實(shí)數(shù)集/?上的一個(gè)2元〃好集〃；（2）設(shè)八=｛勺/｝是自然數(shù)集N上的一個(gè)2元〃好集〃，設(shè)分4=。與6￡N”兩種情況討論,在4=0時(shí)驗(yàn)證4+。2=。陷2是否成立，在4￡N*時(shí)可得出4-1=",推出矛盾可得出結(jié)論成立；（3）設(shè)4=｛4,外,%｝是自然數(shù)集N上的一個(gè)3元〃好集〃，設(shè)4<〃2<。3，分4=。與qeN*兩種情況討論，在。1=0時(shí)驗(yàn)證4+%+4=4%的是否成立，在4wN*時(shí)推導(dǎo)出的2<3,可求得6、%的值，代入等式4+%+/=4%%可求得%的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）—l+；=-lxg,則4=｛-1,；｝為實(shí)數(shù)集R的一個(gè)2元"好集"；（2）設(shè)4=｛勺%｝是自然數(shù)集N上的一個(gè)2元〃好集〃，不妨設(shè)4<出.①若4=0,則出wN*,則4+g=4%顯然不成立；②若qgN*,由4+。2=4%可得4=a1021al=%（4-1）,：.a1-l=-9Cl-）a. . .axq、出￡N”且4<%,「?°<—<1,N,所以4-1二一不成立.- a.見綜上所述，不存在自然數(shù)集N的2元〃好集〃；（3）設(shè)4=｛4，%,%｝是自然數(shù)集N上的3元〃好集〃，不妨設(shè)①若％=0,則4+%+。3=。1。2。3顯然不成立；②若qwN*,則4%%=4+。2+。3<3。3,可得4%<3,滿足01a2<3的正整數(shù)只能是4=1,4=2,代入=a\+%+a3可解得%=3.因此，自然數(shù)集N上的所有3元〃好集〃為｛123｝.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義〃好集〃的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中校考開學(xué)考試）若集合A具有以下性質(zhì)，則稱集合A是〃好集〃：①OeAleA；②若九、ywA,則x-ywA,且xwO時(shí)，-eA.x⑴分別判斷集合3=｛-1,。4｝,有理數(shù)集Q是否是〃好集〃，并說(shuō)明理由;⑵設(shè)集合A是〃好集〃，求證：若尤、y”,則x+y"；⑶對(duì)任意的一個(gè)〃好集〃A,判斷下面命題的真假，并說(shuō)明理由；命題：若％、yeA,則必有沖$A.【答案】⑴集合3不是〃好集〃，有理數(shù)集。是〃好集〃，理由見解析⑵證明過程見解析⑶真，理由見解析【分析】（1）由定義判斷.（2）由OeA,ylA,可得—ywA,從而可得出（3）x、y中有0,1時(shí)，易得結(jié)論，x、y中沒有0,1時(shí)，可得x—1,—進(jìn)而x（x—1）eA,再由（2）x-1X0 1 1的結(jié)論可得出得dwA,/eA,進(jìn)而得（x+y）-￡A,從而得2盯eA,與eA,進(jìn)而耳^人，即得出沖￡A.【詳解】（1）由一1￡s1￡5便可得出—1—1=—從而得出集合3不是〃好集〃.有理數(shù)集。是“好集〃，理由是：對(duì)任意工￡。,丁￡。，者B有尢一丁￡。，且XW0時(shí)，-eQ.x故：有理數(shù)集。是，，好集〃.（2）因?yàn)榧螦是〃好集〃，所以O(shè)eA,若X、則。―ywA,即—yeA,所以％-（一?。耆思磝+y￡A.故得證.（3）若工、＞中有0,1時(shí)，顯然有沖gA,111114z下設(shè)x、y中不存在0,1,由定義得％—1,---eA,所以「7一：二二-^^24,則%（%—1）6A,由（2）X—1XXTxXyX-IJ得x（x-l）+元=%2eA,同理VeA.若X+y=0或X+y=1時(shí)，顯然（x+?￡A；若x+ywO或x+ywl時(shí)，顯然（x+yp6A,可,得2u=（x+y『-d一/6A,所以eA,由（2）得所以砂xy2xy2xy綜上：取wA.故：若不、y^A,則必有個(gè)wA.（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）已知集合5={加+小囪蘇_3/=",〃wZ}.(1)證明：若qeS,則'eS,—a2+J3(2)證明：若1<〃<夕，則2<p+，K^+L,并由此證明S中的元素〃若滿足1<〃<2+6，則pq匕=2+6；(3)設(shè)cwS,試求滿足2+G<c<(2+百>的所有c的可能值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)c=7+473【分析】⑴若則"…石且療-【分析】⑴若則"…石且療-3口=1‘ ，得到:式方均滿足集合A的性質(zhì),進(jìn)而得到結(jié)論.(2)構(gòu)造函數(shù)"x)=x+3x21),分析其單調(diào)性，進(jìn)而得到A中元素若滿足1<。<2+6,則〃=2+百.X(3)設(shè)ciA,結(jié)合(1)(2)中的結(jié)論，可得C值.【詳解】證明：(1)若酒4,貝lj〃=/n+〃G且m2-3層=1,m,〃團(tuán)Z,則工= =3'金=m-n6=m+(一〃)&且〃於-3(-〃)2=1,m,-〃團(tuán)Z,cim+n13m—3〃一故」助，則/TP一⑹a(m+nV3)=(2m-3n)+則/TP一⑹此時(shí)(2m-3n)2-3(2/t-m)2=m2-3n2=l,故會(huì),(2)令于3=x+-(x>l),則/(x)在(l,y)上的單調(diào)遞增，x證明：設(shè)1口大V%，TOC\o"1-5"\h\z則/(%2)一/(%)=%2+ (玉+——)=(X2一%)(1 )X2%團(tuán)1<x1<x2,1 1回々一玉>0,1 >0,中2故/(%)—/a)>o,即，(%2)>ra),〃幻在ae)上的單調(diào)遞增m<p<q9f(1)=2,1102<p+-<q+-；pq令/?=加+〃6且加2-3〃2=1,m,〃回Z,01</?<2+V3,02</7+y-2+班H1=,b 2+V302<2m<4,則帆=2,h=1,則/?=2+6；(3)M4,且2+G〈cK(2+6)2,回裊財(cái)‘且1(康"2+石,由⑵得：鼻二2心0c=(2+6)2=7+46【點(diǎn)睛】本題主要考查集合與元素之間的關(guān)系，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，是集合、函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用,是中檔題.(2022秋?上海?高一開學(xué)考試)已知集合A為非空數(shù)集，定義：S={x[x=Q+"a/￡A},T={x|x=a-b,a,beAj.(1)若集合4={L3},直接寫出集合S、T；(2)若集合入~不知玉,毛}，且T=A,求證：玉+%=々+工3；(3)若集合A屋{x|0WxW2021/￡N},ScT=0,記同為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|川的最大值.【答案】(1)S={2,4,6},T={092}；(2)詳見解析；(3)1348.【分析】(1)根據(jù)題目定義，直接計(jì)算集合S及7；(2)根據(jù)兩集合相等即可找到玉，巧，與，Z的關(guān)系；(3)通過假設(shè)A集合{m，m+\,m+2,…，2021),〃%,2021,meN，求出相應(yīng)的S及7，通過ScT=0建立不等關(guān)系求出相應(yīng)的值.【詳解】解：(1)根據(jù)題意，由集合A=U,3},計(jì)算集合5={2,4,6},7={0,2}；(2)由于集合A={玉，X?,七,%4}，X]<w<工3<“4，且T—A,y所以T中也只包含四個(gè)元素，即7={。，x2-xl,退-%，又-司},剩下的七一工2二14一七二工2一%，所以玉+工4=尤2+%3；(3)設(shè)從={%,%，???%}滿足題意，其中％<。2<…<%，【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9.（2022秋?上海?高一開學(xué)考試）若X是一個(gè)集合，7是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）X屬于7,。屬于一（2）c中任意兩個(gè)元素的并集屬于r；（3）「中任意兩個(gè)元素的交集屬于丁，則稱「是集合X上的一個(gè)拓?fù)?，已知X={a,〃,c},對(duì)于下面給出的四個(gè)集合一①7={0,"c}}；②r={0,{）},{c},{Z?,c},{々也c}}；③了={◎{〃},{a,》},{〃,c}}；④「={0,{凡6，色。},{6，{4也由.其中是集合*上的拓?fù)涞募稀傅男蛱?hào)是（）A.②④ B.②③ C.①②④ D.①③④【答案】A【分析】根據(jù)集合X上的拓?fù)涞募隙〉亩x，逐個(gè)驗(yàn)證即可【詳解】對(duì)于①，一{◎{〃},{。},{6仇書，而{q34={a，c}任小所以①不是集合X上的拓?fù)涞募蠈?duì)于②，匯={0,{印,卜},依凡{々也用,滿足（1）X屬于7，。屬于??；（2）「中任意兩個(gè)元素的并集屬于「；（3）「中任意兩個(gè)元素的交集屬于「，所以②是集合X上的拓?fù)涞募稀?；?duì)于③，7={0,{〃},{〃,〃},{a,。}},而{a,Z?}u{a,c}={a,〃,c}右乙所以③不是集合X上的拓?fù)涞募稀福粚?duì)于④，7={0,{%。},%。},{*{。1,耳},滿足（1）X屬于?0屬于一（2）「中任意兩個(gè)元素的并集屬于J（3）7中任意兩個(gè)元素的交集屬于7,所以④是集合X上的拓?fù)涞募?;故選：A【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生的理解能力，考查集合的有關(guān)新定義，是開放型的問題，屬于基礎(chǔ)題（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考開學(xué)考試）已知集合A=xl--<0,^eZ,%-3JB={y\y=x2+\,xeA},則集合b的子集個(gè)數(shù)為（）A.5個(gè) B.8個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再列舉其子集求解.f—I ]【詳解】因?yàn)?=|幻口<0,x￡Z|={-所以8={yly=f+Lx￡A}={125},貝ij2alvq+a2<ax+q<...<ax+ak<a1+ak<tz3+ak<...<ak_]+4v2ak,.,\S\..2k-\,4一4<a2—aA<a3—a^<...<ak—ax,/.|T\..k,ScT=0,由容斥原理IST|=|S|+|T|..3k一1,ST中最小的元素為0,最大的元素為2%,.,.|ST|?2ak+1,??.3k-1效由4+14043()tgN*),???M1348,實(shí)際上當(dāng)4={674,675,676,…，2021}時(shí)滿足題意，證明如下：設(shè)人={"2,m+1,m+2,…，2021),meN,貝lJS={2〃z,2m4-1,2m+2,…，4042},T={0,1,2,…，2021-m),2依題意有2021—m<2m,即根〉673—,故用的最小值為674,于是當(dāng)根=674時(shí)，A中元素最多，即4={674,675,676,…，2021}時(shí)滿足題意，綜上所述，集合A中元素的個(gè)數(shù)的最大值是1348.(2022春?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知實(shí)數(shù)。力,Gd不全為0,給定函數(shù)f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d.記方程/(幻=。的解集為A,方程g(/(%))=。的解集為5,若滿足A=5w0,則稱/(x),g(x)為一對(duì)〃太極函數(shù)〃.問:⑴當(dāng)a=c=d=l,〃=()時(shí)，驗(yàn)證/(x),g(x)是否為一對(duì)〃太極函救〃；⑵若/(x)，g(x)為一對(duì)“太極函數(shù)〃，求d的值；⑶已知/(%),g(x)為一對(duì)〃太極函數(shù)〃，若。=1,c>0,方程知x)=0存在正根加,求。的取值范圍(用含有用的代數(shù)式表示).【答案】(1)不是一對(duì)''太極函救〃⑵4=0⑶加￡(0,夜]時(shí)，ce(0,—應(yīng)方)，m￡(血,+00)時(shí)，cg(0,4m?).4-/n【分析】(1)根據(jù)新定義檢驗(yàn);(2)利用新定義計(jì)算求解；(3)設(shè)=-￡/+”，由新定義得關(guān)于，的方程/—￡/+c=o無(wú)實(shí)根，記人⑺二^一上才+?由二次函數(shù)m m m性質(zhì)求得，的范圍，由可得。的范圍.【詳解】(1)若"Rg(x)是否為一對(duì)〃太極函救〃，由/(x)=x+l=O,得％=-1,所以g(/(-1))=g(0)=1,戶—1不是g(/(x))的零點(diǎn)，所以/(x)，g(x)不是一對(duì)太極函救；(2)設(shè)廠為方程的一個(gè)根，即，⑺=0,由題設(shè)g(/⑺)=0,所以g(0)=g(/Q))=d=。;(3)因?yàn)閐=O,由Q=l,/(〃2)=。得。=一二，所以/(%)=區(qū)2+5=一_￡,工2+5,m mg(/(%))=f(x)[f2(x)-—/(x)+c],m由/(x)=0得％=0或加,易得g(/(%))=。，據(jù)題意，g(/。))的零點(diǎn)均為/(x)的零點(diǎn)，故尸(x)-9/(x)+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根，mTOC\o"1-5"\h\z設(shè)，=—￡d+s,則產(chǎn)一￡，+c=0無(wú)實(shí)不艮，t己人(，)=〃一91+。m m m2八一czm、？meme 9c c7<rc>0時(shí)，t=(x)h<—，h(t)=r/+c=Q)~+。 ？，m2 4 4 m 2m4m2mec刖八 /-n.,/、 ,mcxm2c2c1八々刀”日八 16~~r-~-，即Ov/n〈虛時(shí)，力(%)min=〃(-^)=~-+c>0,斛得0<c<^ -,42m 4 16 4 4-m"2-->T—?即機(jī)>0時(shí),/z(/)min=/z(——)=c—(—^>0,0<C<4/712.42m 2m4”16綜上，”￡(0,血]時(shí)，cg(O,7),根￡(0,+8)時(shí)，ce(0,4m2).4-m【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新定義并能應(yīng)用，由新定義判斷，求值等，難點(diǎn)是第(3)小問的范圍問題，解題關(guān)鍵是引入變量仁-利用新定義確定關(guān)于，的方程/—￡/+c=。無(wú)m m實(shí)根，記/d)=/—4+c,只要/2⑺訕>。即可得結(jié)論.m(2022秋?上海徐匯,高一上海市南洋模范中學(xué)校考開學(xué)考試)設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，且若對(duì)于任意的％都有個(gè)則稱集合A具有性質(zhì)片；若對(duì)于任意的都有*eA,則稱集合A具y有性質(zhì)也.⑴寫出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)<的集合A；⑵若非空實(shí)數(shù)集A具有性質(zhì)外，求證：集合A具有性質(zhì)片；⑶設(shè)全集。={X|xwO,xeR},是否存在具有性質(zhì)々的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合電A具有性質(zhì)6？若存在,寫出這樣的一個(gè)集合A；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】⑴{—1,1}⑵證明見解析⑶不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出A={T1}即可；（2）根據(jù)性質(zhì)鳥可知IwA,分別說(shuō)明集合A中元素為1個(gè)、2個(gè)、大于2個(gè)時(shí)，集合中元素滿足性質(zhì)々即可.（3）由題意可知1￡e人且A/A不是單元素集{1},令，￡人?！臧??！?且CW1，若acsgA,則,這與。eA矛盾；若qceA,則,c^—=ac^^A,這與acsA矛盾，綜上可得到結(jié)論.a a【詳解】（1）由（-l）x（-l）=l,（-l）xl=-l,lxl=l,可得恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)<的集合A={-3}；（2）若集合A具有性質(zhì)g,不妨設(shè)qeA,由非空數(shù)集A具有性質(zhì)尸2,有@=1￡A.a①若A={1},易知此時(shí)集合A具有性質(zhì)兒②若實(shí)數(shù)集A只含有兩個(gè)元素，不妨設(shè)A={1，4},由'=4,且弓。1,解得：4=7,此時(shí)集合A具有性質(zhì)%③若實(shí)數(shù)集A含有兩個(gè)以上的元素，不妨設(shè)不為1的元素4外￡A，則有^eA,由于集合A具有性質(zhì)1.一所以有的+—=4%￡兒這說(shuō)明集合a具有性質(zhì)片；q（3）不存在具有性質(zhì)耳的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合丹A具有性質(zhì)鳥，由于非空實(shí)數(shù)集A具有性質(zhì);，令集合3=依題意不妨設(shè)》W8, A,因?yàn)榧?具有性質(zhì)所以9=163,b若八{(lán)1},貝-eA,a因?yàn)榉强諏?shí)數(shù)集A具有性質(zhì)4,故qx」=1￡A,這與8={1}矛盾，a故集合3不是單元素集{1},令cwB,且cwl,①若雙￡兒可得絲eB,即，這與3=矛盾；C②若由于qeA,IcA,所以因此c+」=qc￡3,這與qceA矛盾,a a綜上可得：不存在具有性質(zhì)々的非空實(shí)數(shù)集4使得集合孰A具有性質(zhì)8.【點(diǎn)睛】集合新定義問題，命題新穎，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，邏輯推理，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來(lái)進(jìn)行解決.所以集合5的子集有0,{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},共8個(gè),故選：B（2022秋?上海楊浦?高一復(fù)旦附中校考開學(xué)考試）已知1.R,使代數(shù)式的值為有理數(shù)的x的集合是（）A.RB.Q C.使肝公￡Q的集合D.使x+ 的集合A.R【答案】B【分析】根據(jù)分母有理化化簡(jiǎn)后的結(jié)果判斷可得.【詳解】X+VZ+1r-x+a/x+1故選：B.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)。所示有理數(shù)集，集合x=[xx=Q+/?五,4,0￡Q,xwo},在下列集合中：①{2x|x￡X}｛x2|xe%｝:與x相同的集合有（）A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【詳解】對(duì)于①：集合｛2x|xeX｝,則2（〃+b五）=p+4血,解得"=2〃應(yīng)=2"即。=日"=3,是一一對(duì)于，所以與X集合相同.對(duì)于②：集合｛言|xgX，，則黃薩也是一一對(duì)應(yīng)，所以與X集合相同.對(duì)于③：集合｛2臼，懸石=力+（一七］日一對(duì)應(yīng),，所以與