中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題06 老鷹抓小雞模型與雙角平分線模型（三角形）（解析版）

專題06老鷹抓小雞模型、雙角平分線模型（三角形）一、基礎(chǔ)知識回顧角平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。已知OC平分∠AOB，則∠AOC=∠COB=12∠A三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。二、模型的概述：老鷹抓小雞模型一:∠A+∠O=∠1+∠2（結(jié)論）證明:連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠3+∠5①∵∠2是?ACO的外角∴∠2=∠4+∠6②①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC文字概述：腋下兩角之和等于上下兩角之和【變形】將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，∠C與∠1、∠2之間的關(guān)系為：2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2）證明：1）連接CC’，方法同模型一2）在?EFC中，將∠FEC=90°-12∠1，∠EFC=90°-12∠2代入∠FEC+∠EFC+∠老鷹抓小雞模型二：∠A+∠O=∠2-∠1（結(jié)論）證明：連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠BAO+∠AOB①∵∠2是?AOD的外角∴∠2=∠3+BAO+∠AOB+∠BOD②②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1【變形】將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE外部時，∠C與∠1、∠2之間的關(guān)系為：2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠1）雙角平分線模型（三角形）模型一：已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB，則∠D=90°+12證明：∵BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-2∠DBC-2∠DCB①∵在?BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB②①-2×②得∠A-2∠D=180°-2∠DBC-2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB即∠D=90°+12∠A模型二：已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB，則∠D=90°-12證明：∵BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∴∠1=∠2=12∠EBC，∠3=∠4=∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-(180°-∠1-∠2)–(180°-∠3-∠4)化簡得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2+2∠3-180°①∵在?BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2-∠3②①+2×②得∠A+2∠D=180°即∠D=90°-12∠A模型三：已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD，則證明：∵BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=∵∠ACD是?ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1①∵∠4是?EBC的外角∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2②①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=12∠【基礎(chǔ)過關(guān)練】1．如圖，在中，，將沿直線折疊，點C落在點D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，根據(jù)外角性質(zhì)得：，，則，則．故選：B．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進(jìn)而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.4．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【分析】本題問的是關(guān)于角的問題，當(dāng)然與折疊中的角是有關(guān)系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°?∠1)+(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)則2∠A=∠1+∠2，故選擇B項.【點睛】本題考查折疊和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).5．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC的度數(shù)為（

）A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理得∠ABC＋∠ACB＝120°，由角平分線的性質(zhì)得∠CBE＋∠BCD＝60°，再利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)果．【詳解】解：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∵∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA，∴∠CBE＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCA）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，故選：C．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和和角平分線的相關(guān)知識，關(guān)鍵是可以根據(jù)題目中的信息，靈活變化求出相應(yīng)問題的答案．6．如圖，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則∠A等于（）A．36° B．30° C．20° D．18°【答案】A【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分線的性質(zhì)，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠A與∠E的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故選A．7．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設(shè)∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ACB，根據(jù)角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：如圖：，由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內(nèi)角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理，角的和差，角平分線的定義是解題關(guān)鍵．8．如圖，已知△ABC，O是△ABC內(nèi)的一點，連接OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2，則∠1、∠2、∠A、∠O四個角之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】連接AO并延長，交BC于點D，由三角形外角的性質(zhì)可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把兩式相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AO并延長，交BC于點D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故選：D．【點睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．9．如圖：、是、的角平分線，，（

）A．∠BPC=70o B．∠BPC=140oC．∠BPC=110o D．∠BPC=40o【答案】C【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求的度數(shù)，再次在中利用三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：，，又平分，平分，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．10．如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點C落在外的點處．若，則的度數(shù)為_________．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，故答案是：．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．11．如圖，把紙片沿DE折疊，使點A落在圖中的處，若，，則的大小為______．【答案】##32度【分析】利用折疊性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，利用鄰補角得到，則，然后利用進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵紙片沿DE折疊，使點A落在圖中的A'處，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握綜合運用各個知識點是解題關(guān)鍵．12．如圖，△ABC中，分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）若∠A＝60°，則∠P＝°；（2）若∠A＝40°，則∠P＝°；（3）若∠A＝100°，則∠P＝°；（4）請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系．【答案】（1）65；（2）45；（3）40；（4）∠P=90°-∠A【分析】（1）若∠A=50°，則有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根據(jù)角平分線的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠P的度數(shù)；（2）、（3）和（1）的解題步驟類似．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（2）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（3）∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴．故答案為：∠P=90°-∠A．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)．關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義．【提高測試】1．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．2．如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】連接先求解再求解可得再利用角平分線的定義可得：從而可得：再利用三角形的內(nèi)角和定理可得的大小.【詳解】解：連接平分，平分，故選：【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵.3．如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，……以此類推，若，則_______．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°##15度【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進(jìn)行等量代換可得到∠F=∠E．【詳解】解：如圖：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180°．5．如圖，點M是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．【答案】36°【分析】由角平分線的定義得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的關(guān)系可求得∠CMB=108°，再由內(nèi)角平分線及三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．【詳解】由題意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線的定義等知識，由條件得到∠NCM=∠MBN=90°是關(guān)鍵．6．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點D，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）設(shè)．由的內(nèi)角和為，得．①由的內(nèi)角和為，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∴由三角形內(nèi)角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如圖：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．【點睛】此題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)常規(guī)題．7．如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β【分析】（1）由角平分線的定義得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2））根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠E=90°-α；（3）根據(jù)角平分線的定義可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；（3）如圖，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=∠ACB=β．故答案為：β．【點睛】本題主要考查三角形的角平分線，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，四邊形中，和的平分線交于點．（1）如果，，求的度數(shù)；（2）請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）120°；（2）【分析】（1）先由四邊形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分線定義得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【詳解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，∵OB，OC分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠OBC+∠OCB=，∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；（2）證明：在四邊形ABCD中，∴∵OB，OC分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠OBC+∠OCB=∴【點睛】此題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°；一個角的角平分線把這個角分成兩個大小相等的角．9．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)∠A的度數(shù)是或或或【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根據(jù)角平分線的定義得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根據(jù)角平分線的定義得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）根據(jù)角平分線的定義得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可【詳解】（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC