相互獨立事件為背景的概率模型（解析版）

相互獨立事件為背景的概率模型思路引導思路引導求以相互獨立事件為背景的概率模型的解題思路：母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】（2022·江蘇省連云港市錦屏高級中學高三期中）某射擊小組有甲、乙、丙三名射手，已知甲擊中目標的概率是，甲、丙二人都沒有擊中目標的概率是，乙、丙二人都擊中目標的概率是.甲乙丙是否擊中目標相互獨立.（1）求乙、丙二人各自擊中目標的概率；（2）設乙、丙二人中擊中目標的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.【解題指導】（1）求出→且與→求乙、丙二人各自擊中目標的概率．

（2）寫出X的可能取值→求出相應的概率→求出X的分布列→E（X）．【解析】（1）設甲、乙、丙擊中目標分別記為事件A、B、C，則，且有即解得，，所以乙、丙二人各自擊中目標的概率分別為，；（2）由題意，X的可能取值為0，1，2，；，.所以隨機變量X的分布列為X012P，所以X的數(shù)學期望為.方法總結方法總結考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力．模擬訓練模擬訓練1．【跨學科融合】現(xiàn)有三種基本電子模塊，電流能通過的概率都是p,電流能否通過各模塊相互獨立.已知中至少有一個能通過電流的概率為0.999.現(xiàn)由該電子模塊組裝成某預警系統(tǒng)M(如圖所示），針對系統(tǒng)M而言，只要有電流通過該系統(tǒng)就能正常工作.(Ⅰ)求p(II)求預警系統(tǒng)M正常工作的概率【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）0.891.【分析】（Ⅰ）根據(jù)獨立事件與對立事件的概率公式列方程求解即可；（Ⅱ）直接利用獨立事件與對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知，解得.（Ⅱ）設模塊能正常工作為事件，電流能否通過各模塊相互獨立，所以預警系統(tǒng)M正常工作的概率.預警系統(tǒng)M正常工作的概率為0.891.2．【與互斥事件結合】計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.（1）假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.【答案】（1）丙；（2）【解析】（1）分別計算三者獲得合格證書的概率，比較大小即可（2）根據(jù)互斥事件的和,列出三人考試后恰有兩人獲得合格證書事件，由概率公式計算即可求解.【詳解】（1）設“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則，，.因為，所以丙獲得合格證書的可能性最大.（2）設“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則.【點睛】本題主要考查了相互獨立事件，互斥事件，及其概率公式的應用，屬于中檔題.2．【與五育融合】冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率；(2)設甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由兩人同時得0分、1分、2分、3分計算概率并相加即可；（2）由題意X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，分別計算出概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，所以甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率為．（2）X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，則，，，，，，，所以，隨機變量X的分布列為：X0123456P所以．3．【跨方差結合】成都市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱.為調查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了成都市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示（單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾5005050可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率：（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（3）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中，.當數(shù)據(jù)a，b，c的方差最大時，寫出a，b，c的值(結論不要求證明），并求此時的值.注：，其中為數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù).【答案】（1）；（2）0.2；（3），；.【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)知共廚余垃圾600噸，投放正確的500噸，即可計算；（2）根據(jù)對立事件，先計算生活垃圾投放正確的概率即可求解；（3）根據(jù)且a，b，c的方差最大可知其中有兩個為量為0時最大，計算即可.【詳解】（1）廚余垃圾投放正確的概率約為.（2）設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確.事件得概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量總和除以生活垃圾總量，即，所以.（3）當，時，取取得最大值.因為，所以.4．【與對立事件結合】為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”．每次租車收費的標準由兩部分組成：①里程計費：1元/公里；②時間計費：元/分．已知陳先生的家離上班公司公里，每天上、下班租用該款汽車各一次．一次路上開車所用的時間記為（分），現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車所用時間，在各時間段內頻數(shù)分布情況如下表所示將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為分．（1）估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于分鐘的概率；（2）若公司每月發(fā)放元的交通補助費用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車（每月按天計算），并說明理由.（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）【答案】（1）；（2）見解析【詳解】分析：（1）利用對立事件的概率公式求陳先生一次租用新能源租賃汽車的時間不低于30分鐘的概率.(2)比較每個月的費用和元的大小，即得解.詳解：（1）設“陳先生一次租用新能源租賃汽車的時間不低于30分鐘”的事件為則所求的概率為所以陳先生一次租用新能源租賃汽車的時間不低于30分鐘的概率為.（2）每次開車所用的平均時間為每次租用新能源租賃汽車的平均費用為每個月的費用為，因此公車補貼夠上下班租用新能源分時租賃汽車.【點睛】本題主要考查對立事件的概率，考查平均值的計算等知識，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力及分析能力.6．【決策問題】甲?乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.已知每場比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.（1）設每場比賽甲贏的概率為，若比賽進行了5場，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得獎金的分布列；（2）規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發(fā)生，否則認為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽，且在已進行的3場比賽中甲贏2場?乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由.【答案】（1）分布列答案見解析；（2）乙不可能贏得全部獎金，理由見解析.【分析】（1）由甲乙輸贏情況確定得獎金的情況，然后計算概率得分布列；（2）比賽繼續(xù)進行場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏，分類求得或的概率，得出乙贏得全部獎金的概率，利用導數(shù)求得最大值，可得結論．【詳解】解：（1）因為進行了5場比賽，所以甲?乙之間的輸贏情況有以下四種情況：甲贏4場，乙嬴1場；甲贏3場，乙贏2場；甲贏2場，乙贏3場；甲贏1場，乙贏4場.5場比賽不同的輸贏情況有種，即28種.①若甲贏4場，乙贏1場；甲獲得全部獎金8000元；②若甲贏3場，乙贏2場；當比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎金的概率為，所以甲分得6000元獎金；③若甲贏2場，乙贏3場；當比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎金的概率為，所以甲分得2000元獎金；④甲贏1場，乙贏4場.甲沒有獲得獎金.設甲可能獲得的獎金為x元，則甲獲得獎金的所有可能取值為8000，6000，2000，0，；；；.∴甲獲得獎金數(shù)的分布列：8000600020000（2）設比賽繼續(xù)進行場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏當時，乙以贏，；當時，乙以贏，；所以，乙贏得全部獎金的概率為設因為所以所以在上單調遞減，于是.故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.所以認為比賽繼續(xù)進行乙不可能贏得全部獎金.【點睛】思路點睛：本題考查概率的應用，在求概率分布列時，解題關鍵是確定甲所得獎金的情況，種種情況下甲乙輸贏場次，從而可求得概率．同樣乙贏得全部獎金，可得或，分別求出概率，相加得乙得獎金的概率，然后求得此概率的最大值，比較可得．7．【與分布列結合】雙敗淘汰制是一種競賽形式，與普通的單敗淘汰制輸?shù)粢粓黾幢惶蕴煌瑓①愓咧挥性谳數(shù)魞蓤霰荣惡蟛艈适帄Z冠軍的可能.在雙敗淘汰制的比賽中，參賽者的數(shù)量一般是2的次方數(shù)，以保證每一輪都有偶數(shù)名參賽者.第一輪通過抽簽，兩人一組進行對陣，勝者進入勝者組，敗者進入負者組.之后的每一輪直到最后一輪之前，勝者組的選手兩人一組相互對陣，勝者進入下一輪，敗者則降到負者組參加本輪負者組的第二階段對陣；負者組的第一階段，由之前負者組的選手（不包括本輪勝者組落敗的選手）兩人一組相互對陣，敗者被淘汰（已經(jīng)敗兩場），勝者進入第二階段，分別對陣在本輪由勝者組中降組下來的選手，勝者進入下一輪，敗者被淘汰.最后一輪，由勝者組最終獲勝的選手（此前從未敗過，記為）對陣負者組最終獲勝的選手（敗過一場，記為），若勝則獲得冠軍，若勝則雙方再次對陣，勝者獲得冠軍.某圍棋賽事采用雙敗淘汰制，共有甲、乙、丙等8名選手參賽.第一輪對陣雙方由隨機抽簽產生，之后每一場對陣根據(jù)賽事規(guī)程自動產生對陣雙方，每場對陣沒有平局.（1）設“在第一輪對陣中，甲、乙、丙都不互為對手”為事件，求的概率；（2）已知甲對陣其余7名選手獲勝的概率均為，解決以下問題：①求甲恰在對陣三場后被淘汰的概率；②若甲在第一輪獲勝，設甲在該項賽事的總對陣場次為隨機變量，求的分布列.【答案】（1）；（2）①；②答案見解析.【分析】（1）先求出8人平均分成四組的方法數(shù)，再求出甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)，從而可求得答案；（2）①甲恰在對陣三場后淘汰，有兩種情況：“勝，敗，敗”和“敗，勝，敗”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由題意可得，然后求出各自對應的概率，從而可得的分布列【詳解】（1）8人平均分成四組，共有種方法，其中甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)為，所以①甲恰在對陣三場后淘汰，這三場的結果依次是“勝，敗，敗”或“敗，勝，敗”，故所求的概率為②若甲在第一輪獲勝，.當時，表示甲在接下來的兩場對陣都敗，即.當時，有兩種情況：（i）甲在接下來的3場比賽都勝，其概率為；（ii）甲4場對陣后被淘汰，表示甲在接下來的3場對陣1勝1敗，且第4場敗，概率為，所以當時，有兩種情況：（i）甲在接下來的2場對陣都勝，第4場敗，概率為；（ii）甲在接下來的2場對陣1勝1敗，第4場勝，第5場敗，概率為；所以.當時，有兩種情況：（i）甲第2場勝，在接下來的3場對陣為“敗，勝，勝”，其概率為；（ii）甲第2場敗，在接下來的4場對陣為“勝，勝，勝，敗”，其概率為；所以.當時，甲在接下來的5場對陣為“敗，勝，勝，勝，勝”，即.所以的分布列為：34567【點睛】關鍵點點睛：此題考查互斥事件概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，解題的關鍵是正確理解題意，求出對應的概率，考查分析問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題8．【與莖葉圖結合】某市對創(chuàng)“市級示范性學?！钡募住⒁覂伤鶎W校進行復查驗收，對辦學的社會滿意度一項評價隨機訪問了20為市民，這20位市民對這兩所學校的評分（評分越高表明市民的評價越好）的數(shù)據(jù)如下：甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.檢查組將成績分成了四個等級：成績在區(qū)間的為等，在區(qū)間的為等，在區(qū)間的為等，在區(qū)間為等.（Ⅰ）請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù)，并通過觀察莖葉圖，對兩所學校辦學的社會滿意度進行比較，寫出兩個統(tǒng)計結論；（Ⅱ）估計哪所學校的市民的評分等級為級或級的概率大，說明理由.【答案】（1）見解析（2）市民對乙校的評分等級為級或級的概率大.【詳解】試題分析：(1)利用題意結合平均數(shù)，眾數(shù)，方差等討論所給的數(shù)據(jù)即可；(2)結合互斥事件的結論可得乙校得分的等級高于甲校得分的等級的概率為0.6.【解析】（1）①甲校得分的中位數(shù)為71.5，眾數(shù)為58,59,67,72,86，乙校得分的中位數(shù)為83.5，眾數(shù)為69和86，甲校得分的中位數(shù)小于乙校得分的中位數(shù)，甲校得分的眾數(shù)大多數(shù)不大于乙校得分的眾數(shù)；②甲校得分的平均數(shù)小于乙校得分的平均數(shù)；③甲校得分有居于內，而乙校得分全部居于內，對乙校的評分要高于甲校；④甲校得分的方差大于乙校的方差，說明對乙校的評分較集中，滿意度較高，對甲校的評分較分散，滿意度較低.（2）記事件為：乙校等，甲校等或等或等；事件為：乙校等，甲校等或等；事件為：乙校等，甲校等三種情況，則事件“乙校得分的等級高于甲校得分的等級”為，又因為事件兩兩互斥，故，即乙校得分的等級高于甲校得分的等級的概率為0.6.9．【與頻率分布直方圖結合】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)（1）作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）【答案】（1）直方圖見解析；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長方形的面積表示的就是落在相應區(qū)間上的頻率，從而確定出對應矩形的高，從而得到直方圖；（2）結合直方圖，算出日用水量小于的矩形的面積總和，即為所求的頻率；（3）根據(jù)組中值乘以相應的頻率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能節(jié)約用水多少，從而求得結果.【詳解】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后天日用水量小于的頻率為；因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于的概率的估計值為；（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭天日用水量的平均數(shù)為．該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為．估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水．【點睛】該題考查的是有關統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計算變量落在相應區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結果.10．【與函數(shù)結合】在某地區(qū)，某項職業(yè)的從業(yè)者共約