第二十講直線與平面、平面與平面垂直解析版

第二十講：直線與平面、平面與平面垂直【考點梳理】1.直線與平面垂直判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝α,l⊥α))?l⊥α【典型題型講解】考點一：直線與平面垂直的判定定理及性質【典例例題】例1.（2022·廣東珠?！じ呷谀┤鐖D，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，P在平面的投影為邊的中點O，，，，．求證：平面.【解析】在中，由余弦定理可得：，，∴，，由題易知平面，平面，∴，∵，∴C平面，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴平面．例2．（2022·廣東東莞·高三期末）如圖，在正四棱錐中，點，分別是，中點，點是上的一點.證明：；【解析】如圖，連接SO和OE，因為是正四棱錐，所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以因為ABCD是正方形，所以，又因為點O，E分別是BD，BC中點，所以∥，所以又因為，OE、平面SOE，所以平面SOE，因為平面SOE，所以.【方法技巧與總結】（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形、正方形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質（）；④平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質（）．【變式訓練】1.如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于的點，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，．證明：平面；【解析】∵為圓臺下底面圓的直徑，是圓上異于的點，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面2.如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面．證明：平面【解析】證明：由題設，，又面面，面面，面，所以面，而面，則，由得：，又，則平面．3.如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點，且．（1）若E為AC的中點，求三棱錐與三棱錐的體積之比；（2）若，，證明：平面ABD．【解析】（1）由題意有．∵為的中點，∴．又，∴點到平面的距離為．∴．∴．∴三棱錐與三棱錐的體積之比為．（2）證明：∵平面，平面，∴．∵，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴．在中，由，，得．又，得．∴．∵，∴．又，∴．∴，即．又，平面ABD，∴平面．4.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點是棱上靠近點的三等分點，點是的中點．（1）證明：平面；（2）點為線段上一點，設，若平面，試確定的值．【解析】（1）證明：取的中點，記，連接，，，在中，，分別是，的中點，所以，同理可得，又因為，，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）因為底面是菱形，所以，因為，，所以，則，又因為是的中點，所以，因為，所以平面，又平面，所以，即因為，，所以，則，則，所以，即又因為，所以平面，若平面，則與重合．故．5．（2022·廣東深圳·高三期末）如下圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為等邊三角形．證明：；【解析】證明：如下圖所示，取的中點，連接，，為等邊三角形，，又，平面，平面，.6.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．證明：【解析】證明：過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面7.如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點，為線段上的動點，，．若，試證；【解析】在中，∵為中點且，∴．∵平面平面交線為，∴平面，∴．∵，分別為，的中點，∴．∴．在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴．∴平面，平面，∴．考點二：面面垂直的判定定理和性質【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·高三期末）如圖，直三棱柱（即側棱與底面垂直的棱柱）內接于一個等邊圓柱（軸截面為正方形），AB是圓柱底面圓O的直徑，點D在上，且．若AC=BC，求證：平面平面.【解析】證明：在中，，且是圓柱底面圓的直徑，即，，又底面，平面，，且，平面，又平面，所以平面⊥平面；例2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.【方法技巧與總結】1.面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．2.面面垂直的性質關鍵找兩個平面的交線并且和交線垂直的直線.【變式訓練】1．（2022·廣東清遠·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點．證明：平面平面．【解析】在正△中，D為的中點，則．因為面面，則．而，所以面，又平面，∴．在△中，連接，∴，即，又，∴平面，再由平面，∴平面平面．2．（2022·廣東汕尾·高三期末）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，求證：平面ADE平面ABCD；【解析】證明：∵四邊形為矩形，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面3.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，．在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由．【解析】當點為的中點，即時，平面平面．證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為，M為棱的中點，故，又因為平面ABC，平面ABC，故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．4.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，．在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由．【解析】當點為的中點，即時，平面平面．證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為，M為棱的中點，故，又因為平面ABC，平面ABC，故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．5.如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．將△ABD沿對角線BD折起，記折起后A的位置為點P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．證明：(1)∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC．∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面PBD．(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP．又BP⊥PD，PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC．又BP?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC．6.如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．【證明】(1)圖1連接AC交BD于O，連接OF，如圖1.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)當P為AE中點時，有PM⊥BE.證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點，H為BE的中點，圖2∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.【鞏固練習】一、單選題1．棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點，下列命題中錯誤的是（

）A． B．EF∥平面C．EF⊥平面 D．四面體的體積等于【答案】C【解析】，A正確；如圖，取的中點，連接，，易知，所以四邊形是平行四邊形，所以//，又平面，平面，所以//平面，B正確；若平面，因為平面，則，因為平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，得，顯然不成立，C不正確；因為E為BC中點，所以，D正確．故選：C．2．為正方體對角線上的一點，且，下面結論不正確的是（

）A． B．若平面PAC，則C．若為鈍角三角形，則 D．若，則為銳角三角形【答案】C【解析】如圖（1）所示：對于A中，正方體中，連接，因為平面，且平面，所以，又由且，所以平面，因為，所以平面，所以，所以A正確；對于B中，正方體中，連接，可得，且，所以平面，若平面，可得點在平面中，可得，又由，所以，所以B正確；對于C中，設正方體的棱長為，當為的中點時，即時，可得，，由余弦定理可得，可得，所以若為鈍角三角形，則是不正確的，故C不正確；對于D中，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖（2）所示不妨設正方體的棱長為1，則，可得，，由，令，解得或（舍去），又由，所以，即當時，，即為銳角，又因為中，，所以為銳角三角形，所以D正確．故選：C．二、多選題3．如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個等腰直角三角形ABC和一個有一內角為30的直角三角形ACD拼接而成，將△ACD繞AC邊旋轉的過程中，下列結論中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD【答案】ACD【解析】當將△ACD繞AC邊旋轉到CD⊥BC時，因為CD⊥AC，，此時CD⊥平面ABC，而平面ABC，則CD⊥AB，CD⊥BC，AD正確；此時AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DB，C正確；若，而AB⊥BC，，故必有BC⊥平面ABD，由圖形可知，D點在B點正上方，而，所以顯然不可能；故選：ACD4．如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，，E為線段的中點，F(xiàn)為與的交點，．則下列結論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長度等于線段長度【答案】ABC【解析】因為是正方形，所以．又因所以平面平面，，所以平面，因此A正確；而平面，所以平面平面，因此C正確；因為F是的中點，而E為線段的中點，所以平面，平面，所以平面，因此B正確；對于D，因為是邊長為1的正三角形，是正方形，所以．又由平面，有，所以．在中，，，又分別是等腰三角形的底邊和腰上的中線，所以線段與的長度不相等（否則，是正三角形），因此D不正確；故選：ABC．三、填空題5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，寫出以之間的部分位置關系為條件（除外），為結論的一個真命題：_____________．【答案】若，則．（答案不唯一）【解析】若，則．故答案為：若，則．6．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點，點在線段上，當_______時，平面．【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴．若平面，則．設，則，，∴，解得或．7．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC與BD交于點O，將△ACD沿直線AC翻折，形成三棱錐D-ABC，若在翻折過程中存在某個位置，使得OB⊥AD，則x的取值范圍是___________．【答案】【解析】過作于點，連接，因為，，所以平面，因為平面，所以，因為，所以是中點，，，因為，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題8．在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面．證明：平面；【解析】連接BD交AC于O，如圖，四邊形為菱形，所以，平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，，故，又平面，所以平面．9．如圖所示，在四棱錐中，平面底面，，，，，，．設平面與平面的交線為，為的中點．（1）求證：平面；（2）若在棱上存在一點，使得平面，當四棱錐的體積最大時，求的值．【解析】（1）在中，因為，，，所以，所以．在中，因為，，所以為等邊三角形，所以，，所以，又，所以．如圖，延長和交于點，連接，因為，平面，所以平面，同理可得平面．所以所在直線即為直線．因為，所以為的中點，所以在中，．因為平面，平面，所以平面；（2）過向作垂線，垂足為，因為平面底面，平面平面，平面，所以，底面，因為梯形的面積和的長為定值，所以當點與重合，即底面時，四棱錐的體積最大．因為平面，平面，所以，所以經(jīng)過的中點，所以，所以，故．10．如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【解析】（1）取中點，連，因為，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，，因為面面，面面，面，所以平面，又平面，所以．（2）取中點，連，則，且，因為