第十講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值解析版

第十講：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值【考點(diǎn)梳理】1．極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，就把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值．(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，，而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，就把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．特別提醒：（1），不一定是極值點(diǎn)（2）只有且兩側(cè)單調(diào)性不同，才是極值點(diǎn).(3)求極值點(diǎn)，可以先求的點(diǎn)，再列表判斷單調(diào)性.2.求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程的根（3）用方程的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，并列成表格（4）由在方程的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷在這個(gè)根處取極值的情況若左正右負(fù)，則為極大值；若左負(fù)右正，則為極小值；若左右同號(hào)，則無(wú)極值。3.最大值:一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有;（2）存在，使得那么，稱是函數(shù)的最大值4.最小值:一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有;（2）存在，使得那么，稱是函數(shù)的最小值【典型題型講解】考點(diǎn)一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)【典例例題】例1.（2021·廣東汕頭·高三期末）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，故的極大值為，沒(méi)有極小值.（2）設(shè)直線分別切，的圖象于點(diǎn)，，由可得，得的方程為，即：；由可得，得的方程，即：.比較的方程，得，消去，得.令（），則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；由，得，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切.例2.已知函數(shù)……自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，（i）證明：存在唯一的極值點(diǎn)：（ii）證明：【答案】(1)，構(gòu)建當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（i）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減∴在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為∴存在唯一的極值點(diǎn)（ii）由（i）可知：∵，即，且∵在單調(diào)遞減則構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立則在上單調(diào)遞增，則則，即∴【方法技巧與總結(jié)】1．在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2．原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東汕頭·一模）已知函數(shù)（且為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t.令，則，由，可得，列表如下：減極小值增所以，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，則，由，可得，列表如下：減極小值增且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：（i）當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)函數(shù)只有個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)極值點(diǎn).(2)解：不等式對(duì)任意的恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，所以，，故.2.函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的極值；(2)證明：有兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)極大值，；極小值，；(1)∵，∴，，由，可得，或，∴，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，∴時(shí)，函數(shù)有極大值，時(shí)，函數(shù)有極小值；(2)∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，故存在，，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴時(shí)，函數(shù)，，，故時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，則，又，∴，，即，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由上可知，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．【典型題型講解】考點(diǎn)二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)【典例例題】例1．（2022·廣東廣東·一模）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)樵谔幦O大值，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以在處取極大值，符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，．又因?yàn)閷?duì)，不等式，所以時(shí)，，所以時(shí)，，令，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，且的值域?yàn)?，所以，故?wèn)題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，不妨設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，這與題意不符；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，記，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，即，所?【方法技巧與總結(jié)】極值點(diǎn)是一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化零點(diǎn)問(wèn)題。【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在上無(wú)極值在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，故選D.2.若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，∴在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，∴在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，∴，解得．故選：D.3.函數(shù)在上無(wú)極值，則m＝______．【答案】3【詳解】函數(shù)在上無(wú)極值即導(dǎo)函數(shù)在上無(wú)根．在上恒有①；而，當(dāng)時(shí)，①式解為或；顯然時(shí)，①式不成立；當(dāng)時(shí)，①式解為或；顯然時(shí)，①式不成立；當(dāng)m－1＝2時(shí)，①式解為x＝2，m＝3．故答案為：3．4.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，可得，所以，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；②當(dāng)時(shí)，，又由在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，可得，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典型題型講解】考點(diǎn)三：不等式恒成立與存在性問(wèn)題【典例例題】例1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)極小值是，無(wú)極大值.(2)(1)當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，，則.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取得極小值且為，無(wú)極大值.(2)對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，令，，所以，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，則，則.實(shí)數(shù)a的取值范圍為：.【方法技巧與總結(jié)】在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)定義域?yàn)?，即解得所以在單調(diào)遞增(2)對(duì)任意，不等式恒成立，即恒成立，分離參數(shù)得.令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，即，故a的取值范圍是.2．（2021·廣東佛山·一模）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，2，且在處的切線方程為．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．(1)(2)(1)由可得，則，2是方程的兩根，所以，（*）因?yàn)橛忠驗(yàn)樘幍那芯€方程為故，代入（*）式解得，故(2)由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，即恒成立，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，由即，分離參數(shù)可得：，設(shè)，則，，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，③當(dāng)時(shí)，由分離參數(shù)可得設(shè)，則，由②過(guò)程知在上單調(diào)遞減，故，所以，綜上所述：的取值范圍為.3．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)、，使恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)(1)的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，，所以在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上為減函數(shù).綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)對(duì)，使恒成立，即對(duì)，成立.由（1）知在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，所以，為和中的較大者，∵，，，又∵，得.∴，即.∴在[0，2]上∴，即，解之，得或，∴對(duì)，使恒成立時(shí)，a的取值范圍為.4．（2022·廣東佛山·高三期末）已知函數(shù)，其中且.(1)設(shè)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線（斜率存在），求切線的斜率；(2)證明：當(dāng)或時(shí)，.(1)，，而，即點(diǎn)不在曲線C上，設(shè)切點(diǎn)，則切線AT的斜率為，又，于是得，即，整理得：，即，有，而，因此，，，所以切線的斜率為.(2)當(dāng)時(shí)，，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，于是得當(dāng)且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，令，，由得，則，即在上單調(diào)遞增，又，即當(dāng)時(shí)，，于是得當(dāng)，時(shí)，，而，因此，，從而得當(dāng)，時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】，∴，∴，∴故選：D2．已知，函數(shù)的極小值為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，則．故選：C3．設(shè)，若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，若，是開(kāi)口向下的拋物線，x=m是極小值點(diǎn)，必有，即，若，是開(kāi)口向上的拋物線，x=m是極小值點(diǎn)，必有，即；故選：C.4．函數(shù)，若在上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，函數(shù)，可得，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在沒(méi)有最小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，即，即與的交點(diǎn)，畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在上有最小值，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.5．已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)，，則在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】解：，，，，，，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故選：A．6．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)，可得，且在區(qū)間上存在最小值，即在區(qū)間上存在，使得且，，設(shè)，即滿足，且，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、多選題7．已知．則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)有唯一零點(diǎn)B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C．函數(shù)有極大值D．若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【詳解】由得：，即，故函數(shù)有唯一零點(diǎn)由題可知：設(shè)，，則，由得：；由得；；故在上單調(diào)遞增﹐在上單調(diào)遞減，作出圖象，并將的部分圖象關(guān)于x軸對(duì)稱可得的圖象如下：觀察圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，B錯(cuò)，函數(shù)在時(shí)有極大值，C對(duì)，方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，D對(duì)，故選：ACD.8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．， B．是的極大值點(diǎn)C．是的極小值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)【答案】BD【詳解】對(duì)A.是的極大值點(diǎn)，并不是最小值點(diǎn)，故A不正確；對(duì)B.相當(dāng)于關(guān)于軸的對(duì)稱圖象，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)C.相當(dāng)于關(guān)于軸的對(duì)稱圖象，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)，跟沒(méi)有關(guān)系，故C不正確；對(duì)D.相當(dāng)于先關(guān)于軸的對(duì)稱，再關(guān)于軸的對(duì)稱圖象.故D正確.故選：BD.9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．為的極小值點(diǎn) D．僅有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，解得，故選項(xiàng)A正確；由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；又由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，所以為的極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；由在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以沒(méi)有零點(diǎn)，故選項(xiàng)D不正確．故選：ABC.三、解答題10．已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)【解析】(1)解：∵，∴，∵函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且∴由題意知方程在上有兩不等實(shí)根，設(shè)，其圖像的對(duì)稱軸為直線，故有，解得所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明：由題意知是方程的較大的根，故，由于，∴，∴．設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，∴，即成立．∴不等式成立,證畢.11．設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)(1)定義域?yàn)镽，.由題設(shè)知,即(1-a)e=0,解得：a=1此時(shí)f(1)=3e≠0.所以a的值為1(2)由(1)得.若時(shí),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上單減，在上單增，所以在x=2處取得極小值，不合題意，舍去；若時(shí),則恒成立，所以在R上單增，所以在x=2處不能取得極值，不合題意，舍去；若時(shí),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上單增，在上單減，所以在x=2處取得極大值，符合題意；若時(shí),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上單增，在上單減，所以在x=2處取得極大值，符合題意；若時(shí),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，所以在上單減，在上單增，所以在x=2處取得極大值，符合題意.綜上所述：.即實(shí)數(shù)a的范圍為.12．已知函數(shù)．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若存在，對(duì)與任意的，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)(1)當(dāng)時(shí)，，故，故在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得．(2)由題意知有且只有一個(gè)根且有正有負(fù)．構(gòu)建，則①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有一個(gè)零點(diǎn)，即為的一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無(wú)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，若，則即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,設(shè)，故，故在上為增函數(shù)，故，故，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無(wú)極值點(diǎn)；綜上所述：．(3)由題意知，對(duì)與任意的，使得恒成立，則，又要使取到最小值，則．當(dāng)時(shí)，，故，所以的最小值為e；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)最小值，即無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，由（2）得只有一個(gè)零點(diǎn)，即且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時(shí)，因，所以代入得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時(shí)，所以的最小值為．13．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知函數(shù)，.（1）若的最大值是0，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)于定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】．（1）；（2）.【詳解】（1）的定義域，，若，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最大值；若，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；所以時(shí)取得最大值，所以.，.函數(shù)的圖象在處的切線方程.（2）原式子恒成立，即在恒成立，設(shè)，，設(shè)，，所以在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，，所以有唯一零點(diǎn)，而且，所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，易證明函數(shù)是增函數(shù)，所以得，所以，所以由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是的取值范圍是.14．（2022·廣東潮州·高三期末）已知函數(shù)，在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證:【答案】(1)解：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，所以方程在上有兩個(gè)根，，且，即在上有兩個(gè)不相等的根，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，若或，，，所以函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，若，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是；(2)證明：由（1）知，，是方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，其中，故，令，其中，故（a），令，所以函數(shù)（a）在上單調(diào)遞增，由于，（1），所以存在常數(shù)，，使得，即，，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)（a）在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)（a）在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又，，所以（a），即（a），所以．15．（2022·廣東東莞·高三期末）已知且，函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，則，故，時(shí)，，故切點(diǎn)為，所以在處的切線方程為，即.(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程在上有兩個(gè)根，方程在上有兩個(gè)根，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作圖如下：由圖得，即，設(shè)，則，時(shí)，，時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以的解集為綜上所述.16．（2022·廣東深圳·高三期末）已知定義在上的函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)對(duì)于，若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)解：，

①當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，即無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，則，所以，在上單調(diào)遞增，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.(2)解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故，即