微積分原理（上） 課件ch01實數(shù)集與初等函數(shù)

實數(shù)集與初等函數(shù)“工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材清華大學(xué)本科優(yōu)秀教材建設(shè)項目資助微積分原理（上）第一章01實數(shù)集1.集合及其運算集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，但很可惜，也是一個無法嚴格定義的基本概念。松散地說，具有某種特定性質(zhì)的對象匯總而成的集體稱為集合。這就是高等數(shù)學(xué)中通常使用的樸素集合論，構(gòu)成集合的對象稱為該集合的元素。通常用大寫英文字母如ABDS等表示集合，用小寫英文字母如a,b,x,y等表示集合中的元素，如果x是集合S中的元素，則稱x屬于集合S，記為xεS;如果x不是集合S中的元素，則稱x不屬于集合S，用符號xeS表示通常假設(shè)集合中兩個元素互異，因為如果相同，則視其為同一元素。含有限個元素的集合稱為有限集，含無限個元素的集合稱為無限集。在本套教材中，我們用:N代表全體自然數(shù)組成的集合，即N={0,1,2,···};N+代表全體正整數(shù)組成的集合，即N+={1,2,···};Z代表全體整數(shù)組成的集合，即Z=NU(-N+)={···,-2,-1,0,1,2,···};Z+代表全體正整數(shù)組成的集合，即等于N+;Q代表全體有理數(shù)組成的集合，即Q=1.集合及其運算R代表全體實數(shù)組成的集合，即由有理數(shù)與無理數(shù)組成的集合;R+表示正實數(shù)組成的集合;C代表全體復(fù)數(shù)組成的集合，即C={a+ib:a,bεR)，其中i=

是虛數(shù)單位.1.集合及其運算1.集合及其運算1.集合及其運算由集合交集和并集的交換律及結(jié)合律，可以給出任意多個集合的交與并，例如在研究某個問題時所考慮的對象的全體稱為全集，記為U，設(shè)4是全集U的一個子集，全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集或余集,記為AC，即AC=U-A(或U\A).集合運算中的兩個重要等式，即“德·摩根律”為設(shè)A與B是兩個集合，定義A和B的直積(或笛卡兒乘積)AXB為2.映射定義1.1.1設(shè)A和B是兩個非空集合若存在對應(yīng)法則Φ，使得對?xεA，按照對應(yīng)法則Φ，有唯一的yεB與之相對應(yīng)，稱Φ是從A到B的映射，記為Φ:A→B，x|→y=Φ(x)，簡記為y=Φ(x)，稱y為x在映射Φ下的像，而x為y在映射Φ下的一個原像，集合A稱為映射的定義域，記為D(Φ);A中所有元素在映射Φ下的像所組成的集合稱為映射Φ的值域，記為R(Φ)，即設(shè)有映射Φ:A→B.若對?x1,x2εA滿足x1≠x2，有Φ(x1)≠(x2)，稱映射Φ是從A到B的單射;若B中的任一元素都是A中某個元素的像，即B=Φ(A)，稱映射Φ是從A到B的滿射，若映射Φ:A→B既是單射又是滿射，稱Φ是從A到B的雙射，或稱其為A與B之間的一一映射。3.可數(shù)集如果集合4只有有限個元素，則定義該集合的基數(shù)為其元素個數(shù)n，記為card(4)=n.但是微積分所涉及的集合基本都是無限集。兩個無限集的元素多少是否可以相互比較?這是微積分的一個根本性問題，也是數(shù)學(xué)家康托爾最初研究的.康托爾認為，如果兩個無限集之間存在一個一一映射，則這兩個無限集的基數(shù)相等，把正整數(shù)集N+={1,2,3,···}的基數(shù)記為3.可數(shù)集而形成與正整數(shù)的一一映射。實際上，可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)的.設(shè)A1,A2,A3,···均為可數(shù)集，3.可數(shù)集3.可數(shù)集3.可數(shù)集4.實數(shù)集的性質(zhì)實數(shù)集最基本的性質(zhì)是關(guān)于加、減、乘、除四則運算封閉，即任意兩個實數(shù)相加、相減、相乘、相除的結(jié)果都是實數(shù)，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，因此加法和乘法是最基本的兩種運算，實數(shù)的加法運算滿足下列規(guī)律，(1)加法結(jié)合律:(2)加法交換律:(3)加法運算有單位元0:(4)加法運算有逆運算減法，等價地，每個實數(shù)x關(guān)于加法運算有逆元-x為x的相反數(shù)):4.實數(shù)集的性質(zhì)乘法運算也滿足類似的規(guī)律:(5)乘法結(jié)合律:(6)乘法交換律:(7)乘法運算有單位元1:(8)乘法運算有逆運算除法，等價地，每個非零實數(shù)x關(guān)于乘法運算有逆元x-1(為x的倒數(shù)):(9)乘法對加法的分配律:一個集合如果至少包含兩個元素，且元素間有兩種運算，滿足規(guī)律(1)~規(guī)律(9)，則稱該集合關(guān)于這兩種運算構(gòu)成一個域.所有實數(shù)關(guān)于加法和乘法運算構(gòu)成一個域，稱之為實數(shù)域.4.實數(shù)集的性質(zhì)實數(shù)的另一個基本性質(zhì)是任意兩個實數(shù)可比較大小，實數(shù)的比較大小關(guān)系有四種:“小于等于≤”、“嚴格小于<”、“大于等于≥”和“嚴格大于>”，這四種關(guān)系可相互定義，所以只需討論其中一種，不妨考慮小于等于關(guān)系“≤”，有下列規(guī)律:(10)自反性:(11)反對稱性:(12)傳遞性:(13)全序性:(14)與加法的相容性:(15)與乘法的相容性:4.實數(shù)集的性質(zhì)一個非空集合，若在它的元素間定義了一種關(guān)系“<”滿足規(guī)律(10)~規(guī)律(12)，則稱該集合關(guān)于這種關(guān)系“<”構(gòu)成一個有序集:如果這種關(guān)系還滿足規(guī)律(13)，則稱之為全序集，如果一個域是一個全序集，且序關(guān)系滿足規(guī)律(14)與規(guī)律(15)，則稱之為有序域.因此實數(shù)域是一個有序域.實數(shù)間可比較大小，正因如此，實數(shù)能夠在現(xiàn)實生活和科學(xué)研究中被廣泛應(yīng)用。在分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域，經(jīng)常需要應(yīng)用實數(shù)的大小比較對一些難以準確掌握其精確值或者不必要準確掌握其精確值的量進行放大或縮小，這樣的過程所得到的數(shù)量關(guān)系就是不等式。所以，不等式的建立在分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有十分重要的作用，下面的平均值不等式是常用的不等式:4.實數(shù)集的性質(zhì)實數(shù)集的子集稱為數(shù)集，微積分中最常見的一類數(shù)集是區(qū)間，給定兩個實數(shù)a.b滿足a<b，則集合分別稱為開區(qū)間、左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間、閉區(qū)間.,b分別稱為這些區(qū)間的端點。左開右閉區(qū)間和左閉右開區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間.4.實數(shù)集的性質(zhì)實數(shù)集的一個重要特性是實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即實數(shù)布滿了整個數(shù)軸，稱這個性質(zhì)是實數(shù)集的連續(xù)性，也稱實數(shù)集的完備性.實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)是通過坐標來實現(xiàn)的，因此我們不區(qū)分實數(shù)與它所對應(yīng)的數(shù)軸上的點的坐標，例如，數(shù)軸上的點的坐標為x，我們說點x或數(shù)x.實數(shù)集的完備性這一重要特性使得能夠在幾何上刻畫如長度、角度、面積、體積等量，在物理上刻畫如時間、溫度、質(zhì)量等各種可連續(xù)變化的量，這使得實數(shù)在人們的實際生活和科學(xué)研究中具有十分廣泛的應(yīng)用。4.實數(shù)集的性質(zhì)而這一重要特性最初是被誤解的，人類對數(shù)的認識有幾次跳躍式的發(fā)展，首先是從自然數(shù)開始的，自然數(shù)對加法、乘法運算封閉，但對減法運算不封閉，這樣就引進了整數(shù)集:后來在解形如2x=3的方程時發(fā)現(xiàn)整數(shù)不夠用了，于是有了有理數(shù);等到畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，認知單位正方形的對角線長度、2不是有理數(shù)4.實數(shù)集的性質(zhì)命題1.1.1任意非空開區(qū)間(a,b)都含有無窮多個有理數(shù)4.實數(shù)集的性質(zhì)命題1.1.2無理數(shù)在實數(shù)集中是密的實數(shù)是從有理數(shù)擴充而來的，它區(qū)別于有理數(shù)的本質(zhì)特性是全體實數(shù)可以填充直線上的所有點，而不會在直線上留有空隙，這就是實數(shù)集的完備性，實數(shù)域的完備性如何用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言來表述，是需要討論的問題。因為只有給出了這一特性的嚴謹數(shù)學(xué)表述，才有可能把它作為正確推理的基礎(chǔ)來應(yīng)用，這個問題曾長期被人們忽視，直到19世紀后半葉才由德國數(shù)學(xué)家戴德金(RichardDedekind，1831-1916)注意到并經(jīng)過多年的苦心研究成功地解決，戴德金認識到，由于實數(shù)是和直線上的點一一對應(yīng)的，因此刻畫實數(shù)域的完備性問題等同于刻畫直線上的點沒有間隙，即直線的連續(xù)性問題。戴德金的方法是把直線分成左右兩部分，進而把“直線上沒有間隙”這一形象的表述轉(zhuǎn)化為“或者左邊的部分有最大的點，或者右邊的部分有最小的點”，即“一定存在一個分點”這樣數(shù)字化的表述.5.戴德金原理定義1.1.2定義1.1.35.戴德金原理例1.1.4戴德金原理設(shè)(A,B)是實數(shù)域的一個戴德金分劃，則要么下類4中有最大數(shù)，要么上類B中有最小數(shù).這個原理可等價地表述為:設(shè)(A,B)是實數(shù)域的一個戴德金分劃，則存在唯一的實數(shù)c使得6.確界原理定義1.1.4實數(shù)域的完備性除可用戴德金原理刻畫外，還有其他等價的刻畫，下面介紹確界原理，它在后面的討論中發(fā)揮著重要的作用.命題1.1.3實數(shù)集S是有界集當且僅當S既有上界又有下界.6.確界原理定義1.1.5設(shè)有非空數(shù)集S，若存在數(shù)aεeR滿足下列性質(zhì):一個非空數(shù)集，若有下界，則一定有無窮多個下界，把最大的下界稱為下確界，即6.確界原理定義1.1.6設(shè)有非空數(shù)集S，若存在數(shù)βεR滿足下列性質(zhì):6.確界原理定理1.1.1(確界原理)若非空數(shù)集ScR有上界，則S存在唯一的上確界;若非空數(shù)集S有下界，則S存在唯一的下確界.數(shù)集是數(shù)軸上的一個點集.在幾何上，一個數(shù)集S的上界具有這樣的性質(zhì):它的右邊沒有數(shù)集S中的點，因此它的右邊都是數(shù)集S的上界，換句話說，S的所有上界的集合是數(shù)軸上的正向射線，該射線的端點就是數(shù)集S的上確界。確界的存在性反映了實數(shù)集的連續(xù)性這一重要特性，即實數(shù)布滿了整個數(shù)軸且實數(shù)集是完備的.02初等函數(shù)1.函數(shù)的概念函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集之間的映射.2.函數(shù)的一些特性下面回顧函數(shù)的幾種簡單特性.2.函數(shù)的一些特性2.函數(shù)的一些特性顯然，如果l是函數(shù)的一個周期，那么nl(nεZ+)也是該函數(shù)的周期，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期，畫周期函數(shù)的圖像時，只要在長度為一個周期的區(qū)間上描繪出函數(shù)的部分圖像，然后將此圖像一個周期一個周期地向左、向右平移，就得到整個函數(shù)的圖像.3.函數(shù)的運算以上兩個函數(shù)的四則運算法則可推廣到任意有限個函數(shù)的情形.再回顧函數(shù)之間的復(fù)合運算，兩個或兩個以上的函數(shù)用“對應(yīng)關(guān)系傳遞”的方法能生成更多的函數(shù)，例如，函數(shù)z=ny與y=x-1構(gòu)成新函數(shù)z=m(x-1)，這里，z是y的數(shù)，y又是x的函數(shù)，于是通過媒介，得到z是x的函數(shù).3.函數(shù)的運算4.基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)?(x)=xa，aεR是常數(shù)4.基本初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)?(x)=ax,1≠a>0，定義域為R4.基本初等函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)?(x)=logax,1≠a>0，定義域為(0,+∞)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)不同，三角函數(shù)是通過幾何圖形即單位圓周上的弧與弦等對象及相關(guān)的三角形來定義的，因此探討三角函數(shù)需要借助幾何圖形.4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)，這六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)·觀察到，最基本的三角函數(shù)是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，其他四個三角函數(shù)都可由這兩個函數(shù)經(jīng)四則運算表示:4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)5.反函數(shù)及其存在條件5.反函數(shù)及其存在條件5.反函數(shù)及其存在條件6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，也是一個多值函數(shù)，因此不能狹義地理解為三角函數(shù)的反函數(shù)，為限制反三角函數(shù)是單值函數(shù)，需要定義反三角函數(shù)的主值，歐拉提出反三角函數(shù)的概念，并首先使用“arc+三角函數(shù)名”的形式表示反三角函數(shù)，反三角函數(shù)包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割六個函數(shù).6.反三角函數(shù)嚴格單調(diào)遞增且是奇函數(shù)，如圖1-2-16所示.6.反三角函數(shù)6.反三角函數(shù)6.反三角函數(shù)由反三角函數(shù)定義容易觀察出下列等式成立:應(yīng)用三角函數(shù)的加法公式(1.2.6)，可得如下等式:6.反三角函數(shù)多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合運算得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)是一類重要的函數(shù)，一方面，初等函數(shù)本身就有很多應(yīng)用:另一方面，對其他函數(shù)的研究也常常要直接或間接地借助初等函數(shù).7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)在工程技術(shù)上是常用的一類初等函數(shù).7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切函數(shù)的反函數(shù)，分別稱為反雙曲正弦、反雙曲余弦、反雙曲正切函數(shù)，依次記為arsinh、arcosh和artanh.與反三角函數(shù)的不同之處