《高等代數(shù)》考研真題詳解

《高等代數(shù)》考研真題詳解1．設(shè)Q是有理數(shù)域，則P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是數(shù)域，其中．（U?）[南京大學(xué)研]【答案】對(duì)查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2為有理數(shù)，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4為有理數(shù)且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有綜上所述的P為數(shù)域．2．設(shè)f（x）是數(shù)域P上的多項(xiàng)式，a∈P，如果a是f（x）的三階導(dǎo)數(shù)f?（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，則a是f（x）的k＋3重根．（??）[南京大學(xué)研]【答案】錯(cuò)查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，這里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k滿足a是f（x）的三階導(dǎo)數(shù)f?（x）的k重根（k≥1）．3．設(shè)f（x）＝x4＋4x－3，則f（x）在有理數(shù)域上不可約．（??）[南京大學(xué)研]【答案】對(duì)查看答案【解析】令x＝y(tǒng)＋1，則f（y）＝y(tǒng)4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判別法知，它在有理數(shù)域上不可約．二、計(jì)算題1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，試確定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清華大學(xué)研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，則（1）當(dāng)p＝4時(shí)，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三種因式，即f（x）（x＋2）3，這時(shí)f（x）的三個(gè)根為－2，－2，－2．（2）若p≠4，則繼續(xù)輾轉(zhuǎn)相除，即當(dāng)p＝－5時(shí)，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）這時(shí)f（x）的三個(gè)根為1，1，－8．2．假設(shè)f1（x）與f2（x）為次數(shù)不超過(guò)3的首項(xiàng)系數(shù)為1的互異多項(xiàng)式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），試求f1（x）與f2（x）的最大公因式．［上海交通大學(xué)研］解：設(shè)6次單位根分別為由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4個(gè)根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分別將ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得從而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．同理，將ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．又因?yàn)閒1（x），f2（x）為次數(shù)不超過(guò)3的首項(xiàng)系數(shù)為1的互異多項(xiàng)式，所以（f（x），g（x））＝x2－1名?？佳姓骖}第6章?線性空間一、選擇題1．下面哪一種變換是線性變換（??）．[西北工業(yè)大學(xué)研]A．?B．C．【答案】C查看答案【解析】不一定是線性變換，比如則也不是線性變換，比如給而不是唯一的．2．在n維向量空間取出兩個(gè)向量組，它們的值（??）．[西北工業(yè)大學(xué)研]A．必相等??B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中選三個(gè)向量組(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若選（I）（II），秩秩（II），從而否定A，若選（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），從而否定C，故選B．二、填空題1．若則V對(duì)于通常的加法和數(shù)乘，在復(fù)數(shù)域C上是______維的，而在實(shí)數(shù)域R上是______維的．[中國(guó)人民大學(xué)研]【答案】2；4．查看答案【解析】在復(fù)數(shù)域上令；則是線性無(wú)關(guān)的．則此即證可由線性表出．在實(shí)數(shù)域上，令若，其中，則此即在R上線性關(guān)．可由線性表出，所以