量子力學(xué)講義4

第二章波函數(shù)和薛定諤方程§2-1波函數(shù)（WaveFunction）的統(tǒng)計解釋一、微觀粒子的波粒二象性1．經(jīng)典物理學(xué)對波粒二象性解釋的失敗德布洛意的物質(zhì)波假設(shè)的實質(zhì)是：所有運動的實物粒子都既具有粒子的性質(zhì)又表現(xiàn)出波動的性質(zhì)，就是所謂的實物粒子的波粒兩象性?？上У氖?，當時人們的思想還是深受經(jīng)典物理學(xué)的影響，在其非此即彼思想的束縛下，曾經(jīng)出現(xiàn)如下兩種對波粒兩象性的解釋，它們均以失敗而告終。第一種觀點認為：運動電子是某種物質(zhì)波形成的波包，即由許多不同頻率的波構(gòu)成的一個復(fù)波，它可以局限在電子大小的空間（2.8x10-wm）中。計算表明，該波包的壽命大約只有1.6X10-26S，也就是說在非常短的時間內(nèi)電子就變成非定域的了，此即所謂波包發(fā)散的困難。這種觀點只片面地強調(diào)了電子波動性，而忽略了它的粒子性。另一種觀點認為：運動電子的波動性對應(yīng)于由大量電子分布于空間而形成的疏密波，它類似于空氣振動出現(xiàn)的縱波，即分子的疏密相間而形成的一種分布。這種看法也與實驗矛盾。實際上，在電子的衍射實驗中，不但讓多個電子同時通過儀器可以得到衍射圖案，即使讓電子一個一個地通過儀器，只要實驗的時間足夠長，仍然可以在底片上得到電子的衍射圖案。這說明運動電子的波動性并不一定是在許多電子同時存在于空間中才會出現(xiàn)，更確切地說，單個電子就具有波動性。2．波粒二象性的正確解釋首先，讓我們來回顧一下經(jīng)典物理學(xué)是如何理解粒子的概念的：（1） 經(jīng)典粒子具有確定的大小、質(zhì)量和電荷，在空間中占據(jù)某個確定的位置。它們在與其它物體相互作用時，是整體地發(fā)生作用。（2） 經(jīng)典粒子運動時，服從牛頓力學(xué)定律，具有一條確定的軌道。（3） 經(jīng)典粒子的狀態(tài)用相應(yīng)物理量（能量、動量等）的值來表征，這些物理量可以連續(xù)取值。其次，再來看看經(jīng)典物理學(xué)中波動的概念：（1） 經(jīng)典的波動是可以在整個空間中傳播的周期性擾動。（2） 表征經(jīng)典波動的物理量是頻率v和波矢k。運動的規(guī)律服從相應(yīng)的波動方程，例如，電磁波遵循麥克斯韋方程。（3） 經(jīng)典波動滿足疊加原理，可以得到干涉和衍射花樣。最后，讓我們來回答運動粒子（例如，電子）到底是什么？著名物理學(xué)家費曼（Feynman）指出，電子既不是粒子，也不是波。更確切地說，運動電子既不是經(jīng)典意義下的粒子，也不是經(jīng)典意義下的波，但是，它既具有經(jīng)典粒子的第一條屬性，又具有經(jīng)典波動的第三條屬性，并且，擯棄了經(jīng)典粒子與波動的其它屬性。粒子與波只是電子的兩種不同的屬性，是粒子與波動這一對矛盾的綜合體。為了加深對電子波粒兩象的理解，作一個不恰當?shù)谋扔鳎阂粋€社會中的人（運動的電子）同時具有好（波動）與壞（粒子）兩種屬性。經(jīng)典理論認為，只存在絕對的好人與絕對的壞人，根本不存在既具有好的屬性又具有壞的屬性的正常的人。量子力學(xué)認為，并不存在絕對的好人和絕對的壞人，正常的人總是既有好的屬性又具有壞的屬性。對于不同的人來說，只不過所具有的好與壞的兩種屬性的比例不同而已。在認識論上，經(jīng)典物理學(xué)犯了兩個錯誤，一是把事物的屬性當作事物本身，二是非此即彼的觀點將事物絕對化。二、玻恩（Born）對波函數(shù)物理意義的統(tǒng)計解釋波粒二象性是對立的，又如何統(tǒng)一？波函數(shù)的意義是什么？1926年，薛定諤建立了一個非相對論的波動方程，即著名的薛定諤方程。它是一個波函數(shù)關(guān)于時間的一階微分方程。但當時只知道方程中的波函數(shù)屮(r,t)是坐標r和時間t的一個復(fù)函數(shù)，至于它的物理內(nèi)涵到底是什么，并沒有給出一個恰當?shù)慕忉?。不久，玻?Born)通過對散射過程的研究提出了概率波的概念，才使人們的思想徹底從經(jīng)典理論的束縛下解放出來。玻恩認為：不論是德布洛意的物質(zhì)波，還是薛定諤的波函數(shù)都不是什么實在的物理量的波動，只不過是描述粒子在空間的概率分布的概率波而已。此即玻恩對波函數(shù)的概率波解釋。為了容易抓住概率波概念的要害，下面的討論暫不顧及波函數(shù)中的時間變量，用一組簡單的實驗來說明概率波的概念。我們分別用四種不同的入射對象(子彈、水面波、光波和電子)來研究一個假想的雙縫實驗。實驗的裝置可以簡化為：有兩條狹縫的屏及其后面的靶。每次實驗都進行多次入射。每種入射對象的實驗都分三步進行，首先，關(guān)閉狹縫2只留狹縫1，在靶上得到彈著點的分布P(x)或光強分布I(x)，其次，關(guān)閉狹縫1只留狹縫2,在靶上得到彈著點的分布P(x)112或光強分布12(x)，最后，兩個狹縫全部開放，在靶上得到彈著點的分布P(x)或光強分布I(x)。實驗的結(jié)果是：使用子彈時，有P(x)=P(x)+p(x)；而用水面波或光波入射時，12I(x)豐I(x)+1(x)，這是由于水面波或光波的干涉現(xiàn)象造成的;在電子的雙縫衍射實驗中，12隨著入射電子數(shù)目的增多，感光底片上就出現(xiàn)有規(guī)律的圖案，其強度分布與光波的結(jié)果是相似的，而與宏觀子彈的結(jié)果完全不同。下面具體分析光和粒子的實驗現(xiàn)象。1.光的波、粒二象性的統(tǒng)一一方面光是電磁波，光的傳播由E(r,t)和H(r,t)來描寫，光的強度與E2、H2成正比，如引用電磁波的波函數(shù)屮(r,t)代替E或H，則光的強度與屮2(r,t)成正比，由于屮(r,t)隨r、t連續(xù)變化，因而光波的能量在空間的分布是連續(xù)的。光經(jīng)雙縫到屏上呈現(xiàn)明暗相間的條紋。從波的觀點看，衍射紋的“明亮”程度代表到那里的光的強度忖2的大小，明紋是光波干涉加強處，屮的振幅加大，單位時間內(nèi)到達的光能最多；而暗紋處是光波干涉相消處，屮的振幅小或零，到此處的光能少或沒有。按粒子性的觀點(即光量子論)，光是光子流，光子能量是E=hv，光的強度決定于光子流密度。衍射圖象中最亮處，單位時間內(nèi)到達單位面積的光子數(shù)最多，對應(yīng)的光子流密度最大，較暗處對應(yīng)光束的光子流密度較小，全暗處對應(yīng)光束中光子流密度為零。可見，光波的強度與光子流密度成正比。因為實驗中涉及大量光子，不能確定一個光子穿過孔后究竟到屏何處。只能說出每個光子到達最亮處的概率最大，到達較暗處的概率較小，到達全暗處的概率等于零。(光強*光子流密度*一個光子出現(xiàn)在此處單位體積的概率)2．微粒的波、粒二象性的統(tǒng)一仿照對光的分析可得：用屮(r,t)描述實物粒子的波動性。電子經(jīng)雙縫到達屏上呈現(xiàn)明暗相間的條紋。條紋最明處，單位時間內(nèi)到達該處電子數(shù)密度最大；條紋較暗處，單位時間內(nèi)到達該處電子數(shù)密度較?。粭l紋最暗處，沒有電子出現(xiàn)。電子流密度正比于”|2。如果讓電子一個個發(fā)射，最初屏上呈現(xiàn)一個個電子到達后形成的亮點，當屏上電子數(shù)目不夠多時看不出什么規(guī)律。但隨著電子數(shù)目的不斷增加，當這些亮點連成片時，卻出現(xiàn)和大量電子同時發(fā)射時一樣的衍射條紋。這說明，單個電子就具有波動性。電子發(fā)射后經(jīng)過雙縫到達屏上哪一點事先是無法確定的，但最終仍能形成衍射條紋。這說明，雖然我們不能判定電子究竟會落到何處，但可以確定它落到最明處的概率最大，落到

較暗處的概率較小，落到最暗處的概率為零。于是，1926年玻恩指出，波函數(shù)屮(r,t)代表概率波。M|2與微粒在空間各點的單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率成正比，即在r周圍的小體元dt內(nèi)找到粒子的概率亠dW(r,t)= (r,t)|2dT概率密度為w(r,t)=d^dT=”(r,t)|2上式中左邊是粒子性表示，右邊是波動性表示，該式是實物粒子波粒二象性的又一種表示(德布羅意關(guān)系是一種表示)。總之，實物粒子是一顆一顆的粒子，具有單粒子特性，但它們的運動不遵從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，而遵從某種波動規(guī)律，即遵從將要建立的波動力學(xué)一量子力學(xué)的規(guī)律。波函數(shù)在空間某點的強度2|2與在該點的單位體積內(nèi)找到粒子的概率成正比,這就是玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋。它是量子力學(xué)的第一個基本原理。由于玻恩在量子力學(xué)所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，而與博特共享了1954年的Noble物理學(xué)獎。三、波函數(shù)的歸一化由于I2為概率密度，在整個空間找到粒子的總概率應(yīng)為J212dT=1上式稱為歸一化條件(NormalizingCondition)，滿足上式的波函數(shù)稱為歸一化的波函數(shù)。若2，=c2沒有歸一化，則J2，|2dT=c|2f2I2dT=|c|可取所以，歸一化后波函數(shù)為式中的1/可取所以，歸一化后波函數(shù)為式中的1/c=1/2’2dT稱為歸一化因子。2’對應(yīng)的概率密度w=212=21w=212=f212dTg四、波函數(shù)的性質(zhì)1?波函數(shù)2(r,t)一般是復(fù)數(shù)(以后證明)，不表示任何真實物理量。2I2表示t時刻粒子出現(xiàn)在r處的概率密度。2.2(r,t)=A2(r,t)(A是常數(shù))與2(r,t)描寫同一狀態(tài)。2」11如果2(r,t)和2(r,t)都沒有歸一化，則|A,221(r,t)2|A|2J21(r,t)2dT_12w(r,t)= 2 =2 2(rw(r,t)= 2 =2 2(r，t)2|dT顯然，兩者給出的坐標r的取值概率密度是完全相同的。這就是說，兩個相差一個復(fù)常數(shù)的波函數(shù)描述的是同一個狀態(tài)。這是波函數(shù)特有的一個性質(zhì)，它可以使我們有可能選擇一個恰當?shù)某?shù)因子，將計算公式簡化。=J屮*e—必屮e/5dT=J”2dT=13=J屮*e—必屮e/5dT=J”2dT=1即歸一化的波函數(shù)可以含有一任意的相因子。另外，有的波函數(shù)不能像J屮2dT=1歸一，如平面波屮(r,t)=Aei(P-r-Et)m，如何歸p一以后再講。例1?作一維運動的粒子被束縛在0<x<a的范圍內(nèi)，已矢知其波函數(shù)為屮(x)=AsinKxa求：(1)歸一化常數(shù)A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率；(3)粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？解：(1)由歸一化條件，有sin2空dx=10aJ^”|2dx=sin2空dx=10a—8解得故可取歸一化常數(shù)ap2ra。2)粒子的概率密度為w=”|2=—sin2竺aa于是粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率為Ja/2dx=—Ja/2sin2巴dx=-

0 a0 a2dw(3)令丁=0,dxdxd”|2=竺sin匹=0dxdx a2a2kx 2kx =nKn=0,±1,±2,aax=n2n=0,±1,±2,:：:而0<x<a，于是而d2 而d2 |2dx2a所以x=2時，粒子出現(xiàn)的概率最大。x=a/2小結(jié)一、微觀粒子的波粒二象性所有運動的實物粒子都既具有粒子的性質(zhì)又表現(xiàn)出波動的性質(zhì)，就是所謂的實物粒子的波粒兩象