北京市航空航天大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題含解析

北京市航空航天大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)2．已知函數(shù)則A. B.C. D.3．若函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）為R上的偶函數(shù)，則φ的值可以是（）A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.5．已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l（）A.異面 B.相交C.平行 D.垂直6．已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.7．設(shè)集合，則（）A.（1，2] B.[3，＋∞）C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）8．如圖所示，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動，當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1）時，點Р的坐標為（）A. B.C D.9．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.10．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）.A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的終邊過點，則__________12．若，則的終邊所在的象限為______13．若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________14．已知半徑為的扇形的面積為，周長為，則________15．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________；（2）若的值域是，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．滿足的集合的個數(shù)是______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐P－ABCD的體積為，其三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖是直角梯形．(1)求正視圖的面積；(2)求四棱錐P－ABCD的側(cè)面積．18．(1)一個半徑為的扇形，若它的周長等于，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形面積是多少？(2)角的終邊經(jīng)過點P(，4)且cos=,則的值19．若實數(shù)，，滿足，則稱比遠離.（1）若比遠離，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，試問：與哪一個更遠離，并說明理由.20．在平行四邊形中，過點作的垂線交的延長線于點，.連結(jié)交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置.如圖2.證明：直線平面若為的中點，為的中點，且平面平面求三棱錐的體積.21．已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為.（1）若，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長是一定值，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.2、A【解題分析】，.3、C【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，即可得出φ的值【題目詳解】函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）為R上的偶函數(shù)，則φ=+kπ，k∈Z；所以φ的值可以是.故選C.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題4、D【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項，再利用特殊值判斷.【題目詳解】因為，所以是奇函數(shù)，排除BC，又因為，排除A，故選：D5、D【解題分析】若直線l∥α，α內(nèi)至少有一條直線與l垂直，當(dāng)l與α相交時，α內(nèi)至少有一條直線與l垂直當(dāng)l?α，α內(nèi)至少有一條直線與l垂直故選D6、D【解題分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)求得，利用偶函數(shù)的性質(zhì)化不等式中自變量到上，然后由單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解【題目詳解】解：由題意，，的定義域，時，遞減，又是偶函數(shù)，因此不等式轉(zhuǎn)化為，，，解得故選：D7、C【解題分析】由題意分別計算出集合的補集和集合，然后計算出結(jié)果.【題目詳解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），故選：C8、D【解題分析】如圖，根據(jù)題意可得，利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求出，進而得出結(jié)果.【題目詳解】如圖，由題意知，，因為圓的半徑，所以，所以，所以，即點.故選：D9、A【解題分析】首先由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【題目詳解】解：因為，所以因為在上單調(diào)遞增，所以即故選：A10、B【解題分析】令f（x）＝，由題意得f（x）在上單調(diào)遞增，且f（﹣1），由此能求出a的取值范圍【題目詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，令f（x）＝，∴f（x）＝在上單調(diào)遞增，且f（﹣1）∴，解得a≤8故選B．【題目點撥】本題考查實數(shù)值的求法，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵角的終邊過點（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=故答案為12、第一或第三象限【解題分析】將表達式化簡，，二者相等，只需滿足與同號即可，從而判斷角所在的象限.【題目詳解】由，，若，只需滿足，即與同號，因此的終邊在第一或第三象限.故答案為：第一或第三象限.13、【解題分析】根據(jù)題意，只要即可，再根據(jù)基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.【題目詳解】根據(jù)題意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案為：14、【解題分析】根據(jù)扇形面積與周長公式代入列式，聯(lián)立可求解半徑.【題目詳解】根據(jù)扇形面積公式得，周長公式得，聯(lián)立可得.故答案為：15、①.②.【解題分析】（1）分析可知內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且對任意的，恒成立，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（2）分析可知為二次函數(shù)值域的子集，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）令，.當(dāng)時，，該函數(shù)為常值函數(shù)，不合乎題意.所以，，內(nèi)層函數(shù)的對稱軸為直線，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)為增函數(shù)，故內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且對任意的，恒成立，所以，，解得；（2）因為函數(shù)的值域是，則為二次函數(shù)值域的子集.當(dāng)時，內(nèi)層函數(shù)為，不合乎題意；當(dāng)時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：（1）；（2）.16、4【解題分析】利用集合的子集個數(shù)公式求解即可.【題目詳解】∵,∴集合是集合的子集，∴集合的個數(shù)為，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)四棱錐的體積得PA=，進而得正視圖的面積；（2）過A作AE∥CD交BC于E，連接PE，確定四個側(cè)面積面積S△PAB，S△PAD，S△PCD，S△PBC求和即可.試題解析：(1)如圖所示四棱錐P－ABCD的高為PA，底面積為S＝·CD＝×1＝∴四棱錐P－ABCD的體積V四棱錐P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=∴正視圖的面積為S＝×2×＝.(2)如圖所示，過A作AE∥CD交BC于E，連接PE.根據(jù)三視圖可知，E是BC的中點，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.∴四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為S＝S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.18、(1),(2)【解題分析】(1)設(shè)弧長為，所對圓心角為，則=，即=因為所以的弧度數(shù)是，從而(2)角的終邊經(jīng)過點P(，4)，所以，所以.所以原式=19、（1）；（2）比更遠離，理由見解析.【解題分析】（1）由絕對值的幾何意義可得，即可求的取值范圍；（2）只需比較大小，討論、分別判斷代數(shù)式的大小關(guān)系，即知與哪一個更遠離.【小問1詳解】由比遠離，則，即.∴或，得：或.∴的取值范圍是.【小問2詳解】因為，有，因為，所以從而，①當(dāng)時，，即；②當(dāng)時，，又，則∴，即綜上，，即比更遠離20、（1）見解析；（2）【解題分析】（1）在平面圖形內(nèi)找到，則在立體圖形中，可證面.（2）解法一：根據(jù)平面平面，得到平面，得到到平面的距離，根據(jù)平面圖形求出底面平的面積，求得三棱錐的體積.解法二：找到三棱錐的體積與四棱錐的體積之間的關(guān)系比值關(guān)系，先求四棱錐的體積，從而得到三棱錐的體積.【題目詳解】證明：如圖1，中，所以.所以也是直角三角形，，如圖題2，所以平面.解法一：平面平面，且平面平面，平面，平面.取的中點為，連結(jié)則平面，即為三棱錐的高..解法二：平面平面，且平面平面，平面，平面.為的中點，三棱錐的高等于.為的中點，的面積是四邊形的面積的，三棱錐的體積是四棱錐的體積的三棱錐的體積為.【題目點撥】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，以及三棱錐體積的計算，都是對基礎(chǔ)內(nèi)容的考查，屬于簡單題.21、（1）；（2）見解析【解題分析】（1）根據(jù)弧長的公式和扇形的面積公式即可求扇形的