醫(yī)藥統(tǒng)計學(xué) 第六章 參數(shù)估計

第六章參數(shù)估計參數(shù)的點估計

正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計二項分布和泊松分布參數(shù)的區(qū)間估計學(xué)習(xí)目的和要求

掌握點估計和區(qū)間估計的概念和基本思想；正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計；

熟悉二項分布總體率的區(qū)間估計；了解泊松分布的區(qū)間估計等。

1、數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本原理和方法：

統(tǒng)計描述：定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)的描述性指標(biāo)、常用統(tǒng)計圖表；

常見的理論分布及其應(yīng)用：正態(tài)分布、u、t、F、二項分布、Poisson分布等；

統(tǒng)計推斷：包括總體參數(shù)的估計（總體均數(shù)、總體率和總體平均數(shù)等的估計）、假設(shè)檢驗（t、u、χ2、秩和檢驗、方差分析等）、回歸與相關(guān)、多元線性回歸與logistic回歸；統(tǒng)計設(shè)計的原理與方法：試驗設(shè)計調(diào)查設(shè)計2、參數(shù)估計（parameterestimation）：用樣本觀測值估計總體中的未知參數(shù)θ，即用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)。估計量（estimator）：用來估計總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計量。3、參數(shù)估計方法：

點估計（pointestimation）：用某統(tǒng)計量的觀測值直接作為總體未知參數(shù)θ的估計值；區(qū)間估計（intervalestimation）：按一定的概率（可信度

1-α），用兩個統(tǒng)計量的觀測值來估計未知總體參數(shù)θ的

可能所在范圍（或稱可信區(qū)間）的估計方法。第一節(jié)參數(shù)的點估計1、定義：設(shè)是來自總體X的樣本，（）是相應(yīng)的一組樣本觀測值，是總體的未知參數(shù)，現(xiàn)構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，用它的觀測值（）直接來估計未知參數(shù)，則稱為參數(shù)的估計量；稱（）為參數(shù)的估計值。這種估計稱為點估計。

（估計量是一隨機(jī)變量，將估計量與估計值均稱為

的估計，簡記為：）

2、優(yōu)點：簡單易行；缺點：未考慮抽樣誤差，而抽樣誤差在抽樣研究中是客觀存在的、不可避免的，會隨不同的樣本對總體參數(shù)作出不同的點估計。同一估計量，可得不同的估計值

eg:

用隨機(jī)抽取的100名7歲健康男孩的身高值，計算的樣本均值作為浙江省2006年所有7歲健康男孩的平均身高值，即總體均值。第二節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計的概念

（一）抽樣誤差（samplingerror）：在實際工作中，由于總體中各觀察對象之間存在著個體變異，且隨機(jī)抽取的樣本又只是總體中的一部分，因此計算的樣本統(tǒng)計量，不一定恰好等于相應(yīng)的總體參數(shù)；這種誤差也反映在樣本統(tǒng)計量之間的差異。1．概念：由于個體變異的存在，在抽樣研究中產(chǎn)生的樣本統(tǒng)計量與相應(yīng)的總體參數(shù)間的差異，以及來自同一總體的若干樣本的統(tǒng)計量之間存在的差別。

2．種類：在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的，根據(jù)資料的性質(zhì)和指標(biāo)種類的不同，抽樣誤差有多種。均數(shù)的抽樣誤差：樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差別、樣本均數(shù)與樣本均數(shù)之間的差別，、

eg:

從某地7歲男童中隨機(jī)抽取110名，測得平均身高為119.95cm，該樣本均數(shù)不一定等于該地7歲男童身高的總體均數(shù)。

率的抽樣誤差：樣本率與總體率之間的差別，樣本率與與樣本率之間的差別，、

eg:

某縣為血吸蟲病流行區(qū)，從該縣人群中隨機(jī)抽取400人，測得的血吸蟲感染人數(shù)為60人，感染率為15%，該樣本率不一定等于該地人群的總體感染率。③方差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)的抽樣誤差等。（二）區(qū)間估計的基本思想：在一定可信度（概率/可靠程度）的前提下，估計總體的未知參數(shù)可能的所在范圍。1、雙側(cè)區(qū)間估計的定義：設(shè)θ為總體的未知參數(shù)，若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量和，且＜，對于預(yù)先給定的α（），若滿足P{

＜θ＜

}=1-α

則稱：隨機(jī)區(qū)間（，）為θ的雙側(cè)（）

的置信區(qū)間（confidenceinterval,CI）或稱可信區(qū)間，即估計量，是一統(tǒng)計量；、是由樣本構(gòu)造的函數(shù)，不含有未知參數(shù)；

（）或100（）%為置信度（confidencelevel）、可信度、置信水平；置信下限/左端點置信上限/右端點

一旦樣本有觀察值，則稱相應(yīng)的

為置信區(qū)間的觀察值。2、單側(cè)區(qū)間估計的定義：（1）若有統(tǒng)計量，使得則稱：為的單側(cè)（）%置信區(qū)間；為的單側(cè)置信上限。（2）若有統(tǒng)計量，使得則稱：為的單側(cè)置信區(qū)間；為的單側(cè)置信下限。2、優(yōu)點：在隨機(jī)抽取樣本后，考慮抽樣誤差存在的情況下，估計未知總體參數(shù)θ的可能范圍，較為準(zhǔn)確可靠。3、意義：統(tǒng)計學(xué)上通常用95%（或99%）置信區(qū)間（可信區(qū)間）表示總體參數(shù)有95%（或99%）的概率在某一范圍內(nèi)。

eg:μ的95%置信區(qū)間，表示該區(qū)間包括μ的概率為95%，即μ在該范圍內(nèi)的可能性是95%，估計正確的可能性為95%，錯誤的風(fēng)險率為5%，為小概率事件，故在一次估計中，幾乎不可能發(fā)生錯誤。

即從總體中作隨機(jī)抽樣，每個樣本可以算得一個可信區(qū)間。

95%可信區(qū)間意味著：如果進(jìn)行100次抽樣，則可算得100個可信區(qū)間，其中，平均有95次估計正確，即包含總體參數(shù)，而只有5次不包含總體參數(shù)，即估計錯誤的只有5次。由于5%是小概率事件，實際發(fā)生的可能性很小，當(dāng)然這種估計方法會有5%犯錯誤的風(fēng)險。4、兩大要素：準(zhǔn)確度（accuracy）——反映在置信度的大小，即包含μ

的概率大小。愈接近1，愈好。精密度（precision）——反映在區(qū)間的長度，愈小愈好。

在樣本含量確定的情況下，二者是矛盾的，若只管提高置信度，會把區(qū)間變得很長，故不宜認(rèn)為99%可信區(qū)間比95%可信區(qū)間好，需要兼顧準(zhǔn)確度和精密度。一般來說95%可信區(qū)間更為常用。

已證明，以雙側(cè)對稱區(qū)間估計方法所估計的區(qū)間長度最短，即在相同的條件（）下，以雙側(cè)各估計的區(qū)間的精度最高。在可信度確定的情況下，增加樣本容量，可減少區(qū)間長度（減少和），提高精密度。

[精密度↑→可信區(qū)間窄→抽樣誤差↓；可信度↑→

u或

t↑→區(qū)間寬→精密度↓]二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計

大數(shù)定律：當(dāng)樣本容量較大時，多數(shù)隨機(jī)現(xiàn)象的分布均服從正態(tài)分布。設(shè)（）為來自正態(tài)總體N（，σ2）的一個樣本，、S2分別是樣本均值和樣本方差，是總體的未知參數(shù)。（一）單正態(tài)總體的的置信區(qū)間的估計：1、已知：（1）公式：按正態(tài)分布原理計算，

~N（0，1）由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可知，正態(tài)曲線下有（）的u值在之間，即：

P{≤}=P（≤u

≤）=P（≤≤）=

移項后整理得，總體均數(shù)μ的（）可信區(qū)間為：

查附表（2）舉例：

設(shè)（）為來自正態(tài)總體N（

，σ2）的一個樣本，是樣本均值，σ2已知。求的95%的置信區(qū)間。解：因為：

~N（0，1）則：

P（-1.96≤u≤+1.96）=0.95

P（-1.96≤≤+1.96）=0.95

移項后整理得，總體均數(shù)μ的95%可信區(qū)間為（）

2、未知：1）未知，但n足夠大（n≥30）時：按u分布的近似原理計算，因為自由度越大，t分布越逼近u分布，

~N（0，1）由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可知，正態(tài)曲線下有（）的u值在之間，即：

P{≤}=P（≤u

≤）=P（≤≤）=移項后整理得，總體均數(shù)μ的（）可信區(qū)間為：

舉例：

eg1：總體均數(shù)μ的95%可信區(qū)間為（總體方差未知且大樣本）：

（，）

2）未知且n小時：按t分布的原理計算，因為對樣本均值的u轉(zhuǎn)換變?yōu)閠轉(zhuǎn)換～t（n-1）由t分布可知，某自由度的t曲線下有（）的t值在±之間，即：

P{≤}=P（≤t

≤）=P（≤≤）=

移項后整理得，總體均數(shù)μ的（）可信區(qū)間為：

舉例：

eg1：總體均數(shù)μ的90%可信區(qū)間為（總體方差未知且小樣本）：（，）

eg2：對某種材料的強度只有下限的要求?，F(xiàn)已知該材料的強度X～N（，σ2），但、σ2均未知。今進(jìn)行5次測試，得樣本均值和樣本方差為

=1160kg/cm2，S=99.75kg/cm2?，F(xiàn)求的0.99的單側(cè)置信區(qū)間（）。解：由

～t（n-1）P（t

＞）=查表，得

=3.7469

所以，

==992.8kg/cm2

則：

的0.99的單側(cè)置信區(qū)間（）kg/cm2。課堂練習(xí)1、對某人群隨機(jī)抽取20人，用某批號的結(jié)核菌素作皮試，平均浸潤直徑為10.9cm，標(biāo)準(zhǔn)差為3.86cm。問：這批結(jié)核菌素在該人群中使用時，皮試的平均浸潤直徑的95%可信區(qū)間是多少？[參考答案：(9.1，12.7)cm）]

2、某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個，量得直徑如下（單位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.90雙側(cè)置信區(qū)間和0.99雙側(cè)置信區(qū)間。

[參考答案：

]三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

設(shè)（）為來自正態(tài)總體N（，σ2）的一個樣本，、σ2是總體的未知參數(shù)，S2是樣本方差，求總體方差σ2

的置信區(qū)間：（一）若未知：求方差σ2的置信區(qū)間，一般與無關(guān)，故通常未知按分布的原理計算，因為在未知時：