2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，，，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：A2．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生1000人，高三年級(jí)有學(xué)生800人，現(xiàn)在要用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取m人參加表演，若高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為20，則m＝（

）A．50 B．60 C．64 D．75【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及抽取方法，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，高二年級(jí)有學(xué)生1000人，三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生3000人，因?yàn)橛梅謱与S機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取人參加表演，其中高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為20，可得，解得．故選：B．3．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】利用已知條件直接判斷線面位置關(guān)系，可判斷AC選項(xiàng)；利用已知條件直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則、或與相交（不一定垂直），A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則與平行或異面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則、或與相交（不一定垂直），C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，則，D對(duì).故選：D.4．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數(shù)可得，再由角的變換及兩角差的正弦公式展開即可.【詳解】（為銳角），∴為銳角，，，故選：A．5．中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理求得，再由同角基本關(guān)系式求出.【詳解】由正弦定理，得，因?yàn)锽C>AC，所以．故選：D6．某圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則下列關(guān)于此圓錐的說法正確的是（

）A．圓錐的體積為 B．過圓錐兩條母線的截面面積最大值為C．圓錐的側(cè)面積為 D．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積公式判斷AC，由扇形的圓心角公式判斷D，由圓錐的軸截面頂角為鈍角判斷B.【詳解】圓錐底面半徑，母線長(zhǎng)為，如圖，

設(shè)圓錐高為，則，所以圓錐的體積為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰三角形，頂角的余弦值，所以頂角為鈍角，所以過圓錐兩條母線的截面面積最大值，故B正確；圓錐的側(cè)面積為，故C錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的圓心角為，故D錯(cuò)誤.故選：B7．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（

）A．若，是對(duì)立事件，則B．若，是互斥事件，，則C．若，且，則，是獨(dú)立事件D．若，是獨(dú)立事件，，則【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B，根據(jù)獨(dú)立事件的定義及概率公式判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：若，是對(duì)立事件，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，是互斥事件，且，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，則，，又，所以，是獨(dú)立事件，故C正確；對(duì)于D：若，是獨(dú)立事件，則，是獨(dú)立事件，由，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C8．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列說法中不正確的是（

）A．，則的外接圓半徑是2B．在銳角中，一定有C．若，則一定是等腰直角三角形D．若，則一定是鈍角三角形【答案】C【分析】對(duì)A，利用三角形的正弦定理即可求解；對(duì)B，由銳角三角形可知，得到，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)C，由正弦定理及正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)得，解得或即可判斷；對(duì)D，由化簡(jiǎn)后得，可知為鈍角即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，即，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，由正弦定理，可化為，即，即，因?yàn)椋越獾没?，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，由得：，因?yàn)?，所以，故，即為鈍角，是鈍角三角形.故選項(xiàng)D正確.故選：C二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．的虛部為 B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D．是關(guān)于的方程的一個(gè)根【答案】BD【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A，求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模判斷B，求出方程的解，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部為，故A錯(cuò)誤；，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B正確；由，即，所以，所以，即，，故D正確；故選：BD10．為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，某市教育部門對(duì)全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組．對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．頻率分布直方圖中的B．估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)不少于一個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為400C．估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是55D．估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)為【答案】BC【分析】由頻率之和為1可判斷A；求出學(xué)生每天體育活動(dòng)不少于一個(gè)小時(shí)的概率即可估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)不少于一個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)可判斷B；由眾數(shù)的定義可判斷C；由百分位數(shù)的定義求解可判斷D.【詳解】由頻率之和為1得：，解得，故A錯(cuò)誤；學(xué)生每天體育活動(dòng)不少于一個(gè)小時(shí)的概率為：，則估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)不少于一個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為，故B正確；由頻率分布直方圖可估計(jì)1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是，故C正確；由，，故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，則第25百分位數(shù)為.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲公平的有（

）A．拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝B．同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華獲勝D．小明?小華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝【答案】ACD【分析】在四個(gè)選項(xiàng)中分別列出小明與小華獲勝的情況，由此判斷兩人獲勝是否為等可能事件．【詳解】解：對(duì)于A，拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)是等可能的，所以游戲公平對(duì)于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正兩種情況，而兩枚都正面向上僅有正，正一種情況，所以游戲不公平對(duì)于C，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色和撲克牌是黑色是等可能的，所以游戲公平對(duì)于D，小明?小華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8，一共四種情況：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；兩人寫的數(shù)字相同和兩人寫的數(shù)字不同是等可能的，所以游戲公平．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的判斷，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使得平面C．若，則P點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面周長(zhǎng)為【答案】AC【分析】根據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可判斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項(xiàng)BC，作出過三點(diǎn)的正方體的截面，計(jì)算周長(zhǎng)即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，由等體積法，三棱錐的高等于，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，，若平面，則，，則，，解得，不符合，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，連接PQ并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接QF，延長(zhǎng)QP交DA的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接PE，則五邊形即為經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面，如圖：正方體的棱長(zhǎng)為2，則，則為等腰直角三角形，則，根據(jù)得，，則，則，，同理可得，而，則五邊形的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，001，002，……，699，700．從中抽取70個(gè)樣本，若從下圖提供隨機(jī)數(shù)表中第2行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個(gè)樣本編號(hào)是.3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345【答案】007【分析】直接由隨機(jī)數(shù)表依次讀取數(shù)據(jù)即可.【詳解】從表中第2行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，依次為253，313，457，860（舍去），736（舍去），253（舍去），007，故得到的第4個(gè)樣本編號(hào)是007.故答案為：007四、雙空題14．給定數(shù)6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；方差是.【答案】【分析】利用中位數(shù)，平均數(shù)，方差的計(jì)算方法求解即可.【詳解】由題知，數(shù)據(jù)從小到大排列為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，平均數(shù)為，方差為.故答案為：；五、填空題15．正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該棱臺(tái)的體積是.【答案】【分析】根據(jù)正棱臺(tái)的性質(zhì)，求得正四棱臺(tái)的斜高，結(jié)合題意側(cè)面積等于兩底面面積之和列出關(guān)系式，求得高，然后代入棱臺(tái)體積公式即可求解.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為，高為，可得上、下底面面積為，如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點(diǎn)，分別連接，過點(diǎn)作，在直角中，可得，因?yàn)閭?cè)面積等于兩底面面積之和，可得，可得.代入棱臺(tái)體積公式：，得：故答案為：.16．端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，甲，乙，丙3人端午節(jié)來常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人來常州旅游的概率是，丙來常州旅游的概率是，假定3人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)甲，乙，丙3人中至少有1人來常州旅游的概率為.【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率，即可求解.【詳解】設(shè)甲乙來常州旅游的概率分別為，則，所以，甲，乙，丙3人都不來常州旅游的概率為，所以甲乙丙三人中至少有1人來常州旅游的概率為，故答案為：六、解答題17．已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求解；（2）講條件兩邊平方，解得，然后結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)表示解得，最后將齊次式化簡(jiǎn)，代入求解；【詳解】（1）因?yàn)椋?，即所以；?）因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，所?/p>

.18．如圖，在中，，，，，.

(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算，即可由模長(zhǎng)公式求解長(zhǎng)度，（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】（1），，,，，，.；（2），19．在中，角所對(duì)的邊分別為，．(1)求A的大??；(2)若，求邊上的高．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式即可得解；（2）由余弦定理求出，再由面積等積法求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，因?yàn)?，所以，所?解得，或（舍），設(shè)邊上的高為，因?yàn)椋?20．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求，若不存在，說明理由；(3)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)存在一點(diǎn)滿足時(shí)，使得平面(3)【分析】（1）通過證明平面，證明；（2）點(diǎn)滿足即為的中點(diǎn)，然后證明，從而使得平面；（3）等體積轉(zhuǎn)化，然后求解到平面的距離；【詳解】（1）如圖所示：連接交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)，

由題意可知，四邊形是正方形，∴.

∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，，∴平面，又平面，∴，即.（2）存在一點(diǎn)滿足時(shí)，使得平面，

當(dāng)點(diǎn)滿足，即為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，在中，為中點(diǎn)，∴，∵在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，∴且，∴且，∴四邊形為，∴，又平面，平面，∴平面.（3）連接，設(shè)到平面所成的距離為，∵在長(zhǎng)方體中，平面，∵矩形ABCD，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，

在中，，在中，，平面平面，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴

，又，∴，，∴到平面所成的距離為.21．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.【答案】(1)(2)方案二被選擇的可能性更大，理由見解析【分析】（1）由相互獨(dú)立時(shí)間的概率乘法公式，結(jié)合互斥事件的概率加法公式即可求解，（2）列舉所有基本事件，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由題意可得，選擇方案一，三局兩勝制，記甲獲勝的事件為A甲獲勝事件A包含甲連勝兩局記為；甲第一局負(fù)，第二、三局勝記為；甲第一局勝，第二局負(fù)、第三局勝記為且互斥，且每局比賽相互獨(dú)立.則，，∴所以甲獲勝的概率為.（2）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)為，有36個(gè)樣本點(diǎn)，為，它們是等可能的，故這是個(gè)古典概型.兩點(diǎn)數(shù)之和不大于6的樣本點(diǎn)有15個(gè)：,記事件C為“兩點(diǎn)數(shù)之和不大于6”，所以.記