2022年河北省石家莊市趙縣興華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年河北省石家莊市趙縣興華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則（）A．B．C．D．參考答案：A【考點】：向量在幾何中的應(yīng)用；相等向量與相反向量．【專題】：計算題．【分析】：根據(jù)相等向量的定義及向量的運算法則：三角形法則求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解：由題意，∵，∴，即，∴，即故選A．【點評】：本題以三角形為載體，考查向量的加法、減法的運算法則；利用運算法則將未知的向量用已知向量表示，是解題的關(guān)鍵．2.若集合，，則=（

）A.B．C．D．參考答案：C3.已知點M（﹣6，5）在雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，雙曲線C的焦距為12，則它的漸近線方程為（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x參考答案：A考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：通過點M（﹣6，5）在雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）上及雙曲線C的焦距為12，可得、a2+b2=36，計算即得結(jié)論．解答：解：∵點M（﹣6，5）在雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，∴，①又∵雙曲線C的焦距為12，∴12=2，即a2+b2=36，②聯(lián)立①、②，可得a2=16，b2=20，∴漸近線方程為：y=±x=±x，故選：A．點評：本題考查求雙曲線的漸近線，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸出的值為4，則輸入的值可能為A．6

B．-7

C．-8

D．7參考答案：C

5.已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．0

B．1

C． D．2參考答案：C6.數(shù)列中，，是方程的兩個根，則數(shù)列的前項和

A、

B、

C、

D、

參考答案：D7.已知a＞0且a≠1，函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga||x|﹣b|的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】根據(jù)函數(shù)是一個奇函數(shù)，函數(shù)在原點出有定義，得到函數(shù)的圖象一定過原點，求出b的值，根據(jù)函數(shù)是一個增函數(shù)，看出底數(shù)的范圍，得到結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上是奇函數(shù)，∴f（0）=0∴b=1，又∵函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，所以a＞1，所以g（x）=loga||x|﹣1|定義域為x≠±1，且當(dāng)x＞1遞增，當(dāng)0＜x＜1遞減，故選A8.如圖，已知在中，，以為直徑的圓分別交于，與交于點，若，，則的度數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的B等于(

)．

(A)7

(B)15

(C)31

(D)63

參考答案：D10.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5—18歲的男生體重（㎏），得到頻率分布直方圖如右圖可得這100名學(xué)生中體重在（56.5，64.5）的學(xué)生人數(shù)是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某算法的程序框圖如圖所示，若輸入量S=1，a=5，則輸出S=

.（考點：程序框圖）參考答案：2012.在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的個位數(shù)，則a2013的值是________．參考答案：4略13.已知曲線平行，則

。參考答案：2略14.不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則

參考答案：或分兩種情形：1）直角由與形成，則；2）直角由與形成，則.15.在直角三角形△ABC中，C=，，對平面內(nèi)的任意一點M，平面內(nèi)有一點D使得，則=

．參考答案：6【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】據(jù)題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角坐標(biāo)系，得到A（0，3），并設(shè)M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），這樣根據(jù)條件即可得到，即得到，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出的值．【解答】解：根據(jù)題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：A（0，3），設(shè)M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；∴由得：3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；∴；∴；∴．故答案為：6．16.已知數(shù)列{an}滿足an=（n∈N*），若{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（，）【考點】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由已知利用指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與數(shù)列的單調(diào)性可得：，解出即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足an=（n∈N*），{an}是遞減數(shù)列，∴，解得．則實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．17.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，則角A的大小為．參考答案：或【考點】正弦定理．【分析】由條件利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用積化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．【解答】解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C（如果2B=180°﹣（A+C），結(jié)合A+B+C=180°易得B=0°，不合題意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，結(jié)合A+C=120°，易得A=，或A=．故答案為A=，或A=三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若，都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：解：（1），所以的最大值是3．（2），恒成立，等價于，即．當(dāng)時，等價于，解得；當(dāng)時，等價于，化簡得，無解；當(dāng)時，等價于，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣．（I）求函數(shù)y=f（x）的零點的個數(shù)；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．參考答案：考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零點，從而x＞0時，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，利用導(dǎo)數(shù)及零點判定定理可求函數(shù)零點個數(shù)；（Ⅱ）化簡得g（x）=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)得g'（x）=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，則問題轉(zhuǎn)化為h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，從而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根據(jù)零點判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），由（Ⅱ）同時可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，利用導(dǎo)數(shù)可判斷k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從而有k（x）＞k（e），整理可得結(jié)論；解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一個零點，當(dāng)x＞0時，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，故φ（x）在（1，2）內(nèi)有唯一零點，因此y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有2個零點；（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），則g'（x）===，設(shè)h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，則h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，由于h（0）=1，則只需h（）＜0，即+1＜0，解得a＞e+﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x∈（1，x2）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，故y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），即t∈（1，+∞）時，g（t）≥g（x2），又當(dāng)x∈（0，x1）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（x1，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，故y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），即對任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），設(shè)k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，∴k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求比較高．20.設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足,(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:.參考答案：(1)當(dāng)時,

當(dāng)時,

兩式相減得:,整理得

=()

是以1為首項,為公比的等比數(shù)列

∴=()

(2)

①

②①-②得:

∴T=8--=8-

∵在時恒成立即,單調(diào)遞增

的最小值為

21.如圖，橢圓C：經(jīng)過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4．（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由題意將點P（1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，，再求點M的坐標(biāo)，分別表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值；方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，由此表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值【解答】解：（1）橢圓C：經(jīng)過點P（1，），可得

①由離心率e=得=，即a=2c，則b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣1）③代入橢圓方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，

④在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），從而，，=k﹣注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=kAF=kBF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×

⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常數(shù)λ=2符合題意方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），則直線FB的方程為令x=4，求得M（4，）從而直線PM的斜率為k3=，聯(lián)立，得A（，），則直線PA的斜率k1=，直線PB的斜率為k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常數(shù)λ=2符合題意22.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求