2022-2023學年北京南梨園中學高三數學文期末試題含解析

2022-2023學年北京南梨園中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點F2（c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為M，延長F2M交拋物線y2=﹣4cx于點P，其中O為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】圓錐曲線的綜合；雙曲線的簡單性質．【分析】說明M是F2P的中點．設拋物線的焦點為F1，則F1為（﹣c，0），也是雙曲線的焦點．畫出圖形，連接PF1，OM，說明OM為△PF2F1的中位線．通過PF2⊥PF1，可得|PF2|=，設P（x，y），推出c﹣x=2a，利用雙曲線定義結合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解離心率即可．【解答】解：如圖9，∵，∴M是F2P的中點．設拋物線的焦點為F1，則F1為（﹣c，0），也是雙曲線的焦點．連接PF1，OM．∵O、M分別是F1F2和PF2的中點，∴OM為△PF2F1的中位線．∵OM=a，∴|PF1|=2a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，設P（x，y），則c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2a），過點F2作x軸的垂線，點P到該垂線的距離為2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4a2=4（c2﹣a2），變形可得c2﹣a2=ac，兩邊同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，負值已經舍去．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，向量以及圓與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．2.（

）A． B． C． D．參考答案：B.故選：B

3.下列結論錯誤的是(

)A．命題“若p，則q”與命題“若?q，則?p”互為逆否命題B．命題p：?x∈，ex≥1，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則p∨q為真C．若p∨q為假命題，則p、q均為假命題D．“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真命題參考答案：D【考點】特稱命題；四種命題．【專題】計算題．【分析】寫出A命題的逆否命題，即可判斷A的正誤；對于B，判斷兩個命題的真假即可判斷正誤；對于C直接判斷即可；對于D命題的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”然后判斷即可；【解答】解：對于A：因為命題“若p，則q”的逆否命題是命題“若?q，則?p”，所以）．命題“若p，則q”與命題“若?q，則?p”互為逆否命題；故正確．對于B：命題p：?x∈，ex≥1，為真命題，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，為假命題，則p∨q為真，故命題B為真命題．對于C：若p∨q為假命題，則p、q均為假命題，正確；對于D：“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為：“若a＜b，則am2＜bm2”，而當m2=0時，由a＜b，得am2=bm2，所以“am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為假，故命題D不正確．故選D．【點評】本題考查了命題的真假判斷與應用，訓練了特稱命題的否定的格式，同時訓練了復合命題真假的判斷，有時利用反例判斷．4.二項式的展開式中常數項是(

)

A．-28

B．-7

C．7

D．-28參考答案：C5.若函數與的圖象關于直線對稱，則(A).

(B).(C).

(D).參考答案：A略6.（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為（）A．2 B． C． D．4參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；空間位置關系與距離；立體幾何．【分析】結合題意及圖形，可知幾何體為一個底面邊長為2的正方形且有一條長為2的側棱垂直于底面的四棱錐，還原幾何體，求解即可．【解答】解：由三視圖可知，此多面體是一個底面邊長為2的正方形，且有一條長為2的側棱垂直于底面的四棱錐，所以最長棱長為=2．故選：C【點評】本題考查了三視圖視角下多面體棱長的最值問題，考查了同學們的識圖能力以及由三視圖還原物體的能力．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】根據已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計算并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：第1次執(zhí)行循環(huán)后，S=2016，i=2，不滿足退出循環(huán)的條件；第2次執(zhí)行循環(huán)后，S=1008，i=3，不滿足退出循環(huán)的條件；第3次執(zhí)行循環(huán)后，S=336，i=4，不滿足退出循環(huán)的條件；第4次執(zhí)行循環(huán)后，S=84，i=5，不滿足退出循環(huán)的條件；第5次執(zhí)行循環(huán)后，S=16.8，i=6，不滿足退出循環(huán)的條件；第6次執(zhí)行循環(huán)后，S=2.8，i=7，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的i值為7，故選：D．9.已知函數，若存在正實數，使得方程在區(qū)間（1，+）上有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.若展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為（

）A．10

B．20

C．30

D．120參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，，,則的長度為________.參考答案：1或212.用數學歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數式為

．參考答案：2（2k+1）略13.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0），其右焦點為F（c，0），O為坐標原點，以OF為直徑的圓交曲線C于A、B兩點，若S四邊形OAFB＝bc，則雙曲線C的離心率e＝___________．參考答案：可設A（m，n），（m＞0，n＞0），S四邊形OAFB＝bc，由雙曲線和圓的對稱性可得，cn=bc，即n=b，將A的坐標代入雙曲線的方程可得，，解得:又OA⊥AF，可得，即，由b2=c2﹣a2，化為3a2﹣2ac+c2=0，可得c=a，e==．故答案為：．

14.（幾何證明選講選做題）如右圖，從圓O外一點P引圓O的割線PAB和PCD，PCD過圓心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，則圓O的半徑等于＿＿＿＿參考答案：試題分析：設半徑為，則,.根據割線定理可得，即，所以，所以.考點：切割線定理.15.記等比數列{an}的前n項和為Sn，若S6＝，則{an}的公比為

參考答案：-116.某學校想要調查全校同學是否知道迄今為止獲得過諾貝爾物理獎的6位華人的姓名，為此出了一份考卷。該卷共有6個單選題，每題答對得20分，答錯、不答得零分，滿分120分。閱卷完畢后，校方公布每題答對率如下：則此次調查全體同學的平均分數是

分。參考答案：略17.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，若點D、E都在邊BC上，且∠BAD=∠CAE=15°，則=．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】根據條件便可由正弦定理分別得到=①=②=③=④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，從而得：的值．【解答】解：如圖，由正弦定理得，=①=②=③=④∴得：=．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）如圖，在ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又點O是△ADF的外心．證明：D，E，F，O四點共圓．參考答案：∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．因此∠A是銳角，從而的外心與頂點A在DF的同側，∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F，O四點共圓．

……………10分19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，，，，，是的中點．（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值．參考答案：（1）證明：底面，又，，故面面，故………… 4分又，是的中點，故從而面，故易知，故面……………… 6分（2）如圖建立空間直角坐標系，設，則、、、，，從而，，…9分設為平面的法向量，則可以取

……11分又為平面的法向量，若二面角的平面角為則

……11分因此?！?2分略20.已知函數f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1）（I）時，求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的方程（II）設函數f（x）單調遞增區(qū)間為（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）利用導數的幾何意義求出切線的斜率f′（1），再計算f（1），代入點斜式方程化簡即可；（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根據二次函數的性質及根與系數的關系可得s=0，t=，再利用函數單調性和a的范圍得出t﹣s的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，又，∴y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為y+=﹣（x﹣1），即．（Ⅱ），令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有兩根x1，x2（x1＜x2），又，∴（s，t）=（0，x2），則，而在（0，1]上單調遞增，∴a=1時，取得最大值1，∴a=1時t﹣s取得最大值1．21.某車間20名工人年齡數據如下表：.（1）

求這20名工人年齡的眾數與極差；（2）

以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）

求這20名工人年齡的方差．參考答案：解析：（1）年齡30的的工人數為5，頻率最高，故這20名工人年齡的眾數為30，極差為最大值與最小值的差，即40-19=21.（2）莖葉圖如下:(3)這20名工人年齡的平均數為所以這20名工人年齡的方差點評：類似于本題的題目其實學生已經不小，所以學生對這種題型不會有陌生感.但是我覺得學生會遇到幾個問題，一是計算容易出錯，二是在畫莖葉圖可能不是很規(guī)范。另外關于極差，很可能大部分學生都忘記了.22.（2017?涼山州模擬）設橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，E上一點P到右焦點距離的最小值為1．（1）求橢圓E的方程；（2）過點（0，2）的直線交橢圓E于不同的兩點A，B，求?的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由題意，a﹣c=1，解出a，c及b的值即可；（2）先討論當k不存在時，的值，當當k存在時，可設直線方程為y=kx+2，聯(lián)立方程組，由△＞0求出k的范圍，由根與系數關系用k表示x1+x2，x1x2，由向量的坐標運算用k表示，即可求出的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得，即a=2c，且a﹣c=1，∴a=2，c=1，故