帶通采樣定理證明

推薦精選推薦精選帶通信號的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論基礎(chǔ)基帶采樣左理只討論了其頻譜分布在（0,/〃）的基帶信號的采樣問題。作為接收機的模數(shù)轉(zhuǎn)換來說：接收信號大多為已調(diào)制的射頻信號。射頻信號相應(yīng)的頻率上限遠(yuǎn)高于基帶信號的頻率上限。這時如果想采用基帶采樣就需要非常髙的采樣速率！這是現(xiàn)實中的A/D難以實現(xiàn)的。這時，低通采樣能理已經(jīng)不能滿足實際中的使用要求。帶通采樣立理是適用于這樣的帶通信號的采樣理論基礎(chǔ)，下面給出左理。帶通采樣立理：設(shè)一個頻率帶限信號兀⑴其頻帶限制在（厶,幾）內(nèi)，如果其采樣速率人滿足式：「迭屮 （2-1）式中，〃取能滿足fx>2（fH-fL）的最大整數(shù)（0,1,2…），則用￡進(jìn)行等間隔釆樣所得到的信號采樣值雙川7；）能準(zhǔn)確的確左原信號x（/）o帶通采樣左理使用的前提條件是：只允許在苴中一個頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶同時存在信號，否則將會引起信號混疊⑴。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的辦法來解決，即在采樣前先進(jìn)行濾波⑴，也就是當(dāng)需要對位于某一個中心頻率的帶通信號進(jìn)行采樣時，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對應(yīng)的中心頻率幾上，濾出所感興趣的帶通信號俎（/）,然后再進(jìn)行采樣，以防止信號混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。?X(t)X(n)F0=(2n-l)B/2Fs=2B?X(t)X(n)F0=(2n-l)B/2Fs=2B圖2.3帶通信號采樣式（2J）用帶通信號的中心頻率九和頻帶寬度B也可用式（2-2）表示:f.=^fx （2-2）式中，九=（￡+九）/2，"取能滿足fs>2B（B為頻帶寬度）的最大正整數(shù)。當(dāng)頻帶寬帯B一立時，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度的采樣速率（fs=2B）,帶通信號的中心頻率必須滿足f嚴(yán)。也即信號的最髙或最低頻率是信號的整數(shù)倍。2帶通采樣理論的應(yīng)用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后而的實時處理奠左了基礎(chǔ)。但是從軟件無線電的要求來看，帶通采樣的帶寬應(yīng)是越寬越好，這樣對不同基帶帶寬的信號會有更好的適應(yīng)性，在相同的工作頻率范囤內(nèi)所需要的“盲區(qū)”采樣頻率數(shù)量減少，有利于簡化系統(tǒng)設(shè)訃。另外，當(dāng)對于一個頻率很高的射頻信號采樣時，如果采樣頻率設(shè)的太低，對提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應(yīng)該盡可能選的髙一些，使瞬時采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提髙帶來的一個問題是采樣后的數(shù)據(jù)流速率很髙。因此一個實際的無線電通信帶寬一般為幾千赫茲到幾百赫茲。實際對單信號采樣時采樣率是不高的。所以對這種窄帶信號的采樣數(shù)據(jù)流降速是完全可能的。多速率信號處理技術(shù)為這種降速處理實現(xiàn)提供了理論依拯。二、帶通采樣過程待采樣信號為中頻是100MHz,帶寬為2MHz的帶通信號:fc0=100e6;//中頻頻率fcl=99e6;//信號-的頻率fc2=101e6;//信號二的頻率fsl=3e6;//欠采樣的采樣頻率fs2=4e6;//臨界采樣采樣頻率fs3=6e6;//大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6//用以模擬連續(xù)信號的離散信號采樣速率（遠(yuǎn)人于nyquist率)t=0:l/f0:le-6;xt0=2*cos(2*pi*fcl*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號的波形和頻譜如圖所示：待采樣信號波形待采樣信號頻譜圖1原信號波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對待采樣信號進(jìn)行采樣，得到的三個信號及其幅度譜如圖所示:1）欠采樣條件下得到的釆樣信號：欠采樣信號波形欠采樣信號頻譜圖2欠采樣信號的波形及幅度譜2）臨界釆樣:臨界采樣信號波形x10*4臨界采樣信號頻譜150010005000.513.5大于臨界采樣信號波形圖34x10-%1.5 2 2.6數(shù)字頻率臨界采樣信號的波形及幅度譜3）滿足釆樣條件的采樣信號大于臨界采祥信號頻譜0數(shù)字頻率響1000遞豐500x1016000 2 4 6 8 10 12 14Frequency(Hz) x100 2 4 6 8 10 12 14Frequency(Hz) x1070>pn三dll<圖4正常采樣信號的波形及幅度譜三、信號重建1)設(shè)訃通帶為99?101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來作為信號恢復(fù)的模擬濾波器，濾波器的設(shè)計過程及幅頻響應(yīng)特性如圖所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn=[0.7920.808];[b,a]=butter(N,Wnz*bandpass*);[h,w]=freqz(b,a)；plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;title(*AmplitudeResponse1);xlabel('Frequency(Hz)1);ylabel('Amplitude*);AmplitudeResponse141210.80.60.40.20圖1濾波器的幅度響應(yīng)2)將三種采樣信號的到的數(shù)據(jù)流通過信號恢復(fù)濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結(jié)果如下：0.108

nW06040200204006080■06

o08o■020040060-040.108

nW06040200204006080■06

o08o■020040060-04002o欠采樣恢復(fù)60 80 100 120 140 160圖2欠采樣恢復(fù)臨界采樣恢復(fù)100 150t200250圖3臨界采樣恢復(fù)正常采樣恢復(fù)圖3正常采樣恢復(fù)四、結(jié)果分析從結(jié)果可見：欠采樣信號進(jìn)行恢復(fù)時，從信號完整角度進(jìn)行觀察便可以發(fā)現(xiàn)信號的不同,缺少了原信號的部分信息。而臨界采樣信號的恢復(fù).在信號周期上有一上的變化，比原信號的信息有所丟失。正常采樣下的信號可以恢復(fù)岀原信號一個完整周期的頻譜。但由于所選取信號長度的問題，沒能恢復(fù)全部信號，但這已經(jīng)能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號沒有丟失原信號的信息。附：%z0l"-ENuSI'AipANedn%%z0l'O99A5；|xAEiafc=100MHz,9A%EpAEIafl=59MHz°ff2=101MHz%%-ENuEUAE?O±6Ia3MHz;<?4MHz;$6MHz%%%%%B=2MHz,AiAUEIp±2ENu5；pAE'工卩込雯Q士貿(mào)z0^iE±￡o9A°ApA.Ep^x：??a?ip^j￡%%%%clearall;clc;closeall;fc0=100e6;fcl=99e6;%9A°Al)iA5；pAEfc2=101e6;%BA°A2pA3：pAEfsl=3e6;%pf6uSt>±5'o^ipA-ENu^pAEfs2=4e6;%AU^c-ENuZpAEfs3=6e6;%z66u5t>±5zu^2.pAcENuZpAEf0=250e6;%±iE^O-DA°ApA-ENuSpAE±倉逛玄：總舖1臣泊菱色>B0?,oEyA^M^I%%%pII"-ENu5'A￡pA2ENux^iao-A乞鳥飭人。航沁t=0:l/f0:le-6;N=le-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fcl*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2z1z1);plot(t,xtO);title('zy-ENu9A°A-DI1);xlabml(1x1);ylabml('xt1);yjwO=fft(xtOzN);absyO=abs(yjwO);f=(0:N-l)*fO/N;subplot(2,1,2);plot(f,absyO);title(1'y-ENuDA%E^x?)xlabel('EyxO.EyxAE');ylabel「?u^E^x1)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%z0l■■-ENuSI'AiIApA^?-ENu-t=0:l/fsl:5e-5;N=5e-5*fsi;xtsl=2*cos(2*pi*fcl*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1z1);plot(tzxtsl);title(‘g?-ENuQA°A-DI1);xlabel('x1);ylabel(1xt1);yjwsl=fft(xtslzN);absysl=abs(yjwsl);f=(O:N-l)*fsl/N;subplot(2,1,2);plot(f,absysl);xlabel('EyxO.EyxAE');ylabel「?u^E^x1)title('9?-ENu9A%2p5；x?)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%z0l'-ENu^I'AilAAU^9-ENu)iA-t=0:l/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fcl*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title(1AU^9￡ENuDA°A-DI');xlabel('x1);ylabel(1xt1);yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-l)*fs2/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel('EyxO^pAE');ylabel「?u^lE.Ex')title(1AU^92ENu9A%E^Ex?);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%zoOUAU^92ENu^pAEpAz0l'2ENuyiA-'91^°疋p臣x%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fcl*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2z1z1);plot(t,xts3);title('zo6uAU^9cENuDAoA-DI1);xlabel(?x1);ylabel('xt1);yjws3=fft(xts3zN);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-l)*fs3/N;subplot(2,1,2);plot(fzabsys3);xlabel(1EyxO^yxAE');ylabel(1?uSlEaEx?)title(1zoOUAU^9-ENu9A%Ep5；x1);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fs=250e6;N=4;figure(6);Wn=[0.7920.808];[b,a]=butter(N,Wn,1bandpass*);[h,w]=freqz(b,a)；plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;title(*AmplitudeResponse*);xlabel(*Frequency(Hz)*);ylabel(*Amplitude*);%%%9?-ENuDA°ApA?d/%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(7);yretsl=filter(b,azxtsl);plot(yretsl);title('g?￡ENu?0>'')%%%%%AU^9-ENuBA°ApA?0z%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(8);yrets2=filter(