2.5.1 三角函數(shù)的應(yīng)用-仰俯角、方向角問題 同步練習(xí)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用第1課時三角函數(shù)的應(yīng)用——仰俯角、方向角問題基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1三角函數(shù)的應(yīng)用——仰角、俯角問題1.(2023山東淄博高青期中)如圖，某景區(qū)的兩個景點A，B處于同一水平地面上，一架無人機(jī)在空中沿MN方向水平飛行進(jìn)行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機(jī)飛行至C處時，測得景點A的俯角為45°，景點B的俯角為30°，此時C到地面的距離CD為100米，則兩景點A，B間的距離為米(結(jié)果保留根號).()

A.2003 B.300(1+3) C.(100+1003) D.(100+3)2.(2022湖北孝感中考)如圖，有甲、乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC的長為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m.(sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù))

3.(2023山東泰安東平期中)如圖，大樓AB的右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°(點B，C，E在同一水平直線上).已知AB=80m，DE=10m，求B，C兩點間的距離.(結(jié)果保留根號)4.(2023江蘇蘇州期末改編)我國艦載無人直升機(jī)試飛成功，標(biāo)志著中國航母將率先配置無人機(jī)，超越美國航母!如圖，無人機(jī)在同一高度沿直線BC由B向C飛行，且飛行路線經(jīng)過觀測目標(biāo)A的正上方.在第一觀測點B處測得目標(biāo)A的俯角為60°，航行1000米后在第二觀測點C處測得目標(biāo)A的俯角為75°，求第二觀測點C與目標(biāo)A之間的距離.5.(2022天津中考)如圖，某座山AB的頂部有一座通訊塔BC，且點A，B，C在同一條直線上.從地面P處測得塔頂C的仰角為42°，測得塔底B的仰角為35°.已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90).[變式1：條件變](2023山東青島萊西期末)圖1是修復(fù)后的某古城門及城門樓的簡圖，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識估測該城門樓頂部到地面的距離.如圖2所示，他們沿坡度i=1∶3的登城階梯從底部的A處前行6米到達(dá)P處(AP=6米)，測得城門樓最高點C的仰角為60°，樓底部B的仰角為35°(測量員的身高忽略不計)，已知城門樓的高BC=10米，求城門樓頂部到地面的距離OC(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70). 圖1 圖2[變式2：圖變](2019湖北恩施州中考)如圖，某地有甲、乙兩棟建筑物，小明于乙樓樓頂A點處看甲樓樓底D點處的俯角為45°，走到乙樓B點處看甲樓樓頂E點處的俯角為30°，已知AB=6m，DE=10m.求乙樓的高度AC.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，結(jié)果精確到0.1m)知識點2三角函數(shù)的應(yīng)用——方向角問題6.(2022湖北荊門中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以502海里/小時的速度航行t小時后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則t=.

7.(2022安徽中考)如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8.(2021山東煙臺萊州期末)為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí).如圖，學(xué)校在點B處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東30°方向，C位于A的南偏西15°方向距離A地(30+303)km處的位置.學(xué)生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)，第一組乘客車，速度是40km/h，第二組乘公交車，速度是30km/h，兩組學(xué)生到達(dá)目的地分別用了多長時間?哪組學(xué)生先到達(dá)目的地?請說明理由(結(jié)果保留根號).9.(2020江蘇南京中考)如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距6km的觀測點B，C.一艘輪船從A處出發(fā)，沿北偏東26°方向航行至D處，在B，C處分別測得∠ABD=45°，∠C=37°.求輪船航行的距離AD.(參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用第1課時三角函數(shù)的應(yīng)用——仰俯角、方向角問題答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C∵M(jìn)N∥AB，CD⊥AB，∴CD⊥MN，∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°.∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=CD·tan∠BCD=1003(米).∴AB=AD+DB=(100+1003)米.故選C.2.16解析如圖，過點D作DE⊥AB于點E，則四邊形BCDE為矩形，∴BE=CD=6m，DE=BC.在Rt△ADE中，∠ADE=α=45°.設(shè)AE=xm，則BC=DE=xm，AB=(6+x)m.在Rt△ABC中，tan∠ACB=tanβ=tan58°=ABBC，∴6+xx≈1.60，解得x≈10，∴3.解析如圖，過點D作DF⊥AB于點F，則BF=DE=10m，DF∥BE，∴∠DCE=∠CDF=30°.在Rt△ADF中，AF=AB-BF=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m.∴BE=DF=70m.在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE=DEtan30°=∴BC=BE-CE=(70-103)m.答：B，C兩點間的距離為(70-103)m.4.解析如圖，過C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°.∵∠B=60°，∴CD=BC·sinB=1000·sin60°=5003(米).∵∠ACB=75°，∠B=60°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=45°.在Rt△ACD中，sinA=CDAC∴AC=5003sin45°答：第二觀測點C與目標(biāo)A之間的距離為5006米.5.解析根據(jù)題意得，BC=32m，∠APC=42°，∠APB=35°.設(shè)PA=xm.在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPA，∴AC≈0.9xm在Rt△PAB中，tan∠APB=ABPA，∴AB≈0.7xm∵AC=AB+BC，∴0.9x=0.7x+32，解得x=160.∴AB=0.7×160=112(m).答：這座山AB的高度約為112m.[變式1]解析如圖，過點P作PD⊥OA，垂足為D.由題意得PE⊥OC，PD=OE，∠CPE=60°，∠BPE=35°.∵斜坡AP的坡度i=1∶3，∴PDAD∴在Rt△APD中，tan∠PAD=PDAD=33，∵AP=6米，∴PD=12AP=3米.∴OE=PD=3米設(shè)PE=x米，在Rt△CPE中，CE=PE·tan60°=3x米.在Rt△BPE中，BE=PE·tan35°=tan35°·x米.∵BC=CE-BE=10米，∴1.73x-0.70x≈10，解得x≈9.7.∴CE=3x≈16.8(米)，∴CO=CE+OE=16.8+3≈20(米).∴城門樓頂部到地面的距離OC約為20米.[變式2]解析如圖，過點E作EF⊥AC于F，則四邊形CDEF為矩形.∴EF=CD，CF=DE=10m.易知∠EBF=60°，∠DAC=45°，設(shè)AC=xm，則CD=EF=xm，BF=(x-16)m，在Rt△BEF中，∠EBF=60°，tan∠EBF=EFBF∴xx?16=3.∴x=24+83≈37答：乙樓的高度AC約為37.8m.6.1+3解析如圖，由題意得，∠PAC=45°，∠PBA=30°，AP=100海里.在Rt△APC中，AC=AP·cos45°=100×22=50PC=AP·sin45°=100×22=50在Rt△BCP中，BC=PCtan30°=∴AB=AC+BC=(502+506∴t=502+506507.解析如圖，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECA=37°.∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°.∴∠ABD=90°.在Rt△BCD中，∠BDC=90°-53°=37°，CD=90米，cos∠BDC=BDCD∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米).在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72米，tanA=BDAB∴AB=BDtan37°≈答：A，B兩點間的距離約為96米.8.解析如圖，過點B作BD⊥AC于D.由題意得，∠BAE=45°，∠ABC=180°-45°-30°=105°.又∠CAE=15°，∴∠BAC=30°，∴∠ACB=45°.設(shè)BD=xkm.在Rt△BCD中，易知∠DCB=45°=∠CBD，∴CD=BD=xkm，BC=2xkm.在Rt△BDA中，∠BAD=30°，∴AD=BDtan∠BAD=xtan30°=3xkm，∵CD+AD=(30+303)km，∴x+3x=30+303