七年級數(shù)學上冊專題3.2 行程問題（壓軸題專項講練）（人教版）（解析版）

/專題3.2行程問題【典例1】甲、乙兩地相距72km，一輛工程車和一輛灑水車上午6時同時從甲地出發(fā)，分別以v1km/h、（1）v1=______，（2）求出發(fā)多長時間后，兩車相遇？（3）求出發(fā)多長時間后，兩車相距30km？【思路點撥】（1）根據(jù)路程除以時間即可求得速度；（2）根據(jù)兩車的路程和為甲、乙兩地距離的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；（3）設出發(fā)t小時后兩車相距30km，分情況討論：①在工程車還未到達乙地,即當0＜t＜2時,②在工程車在乙地停留，即當2≤t≤4時，③在工程車返回甲地的途中，即當4＜t≤6時，分相遇前后相距30km，根據(jù)題意建立一元一次方程，解方程求解即可．【解題過程】解：（1）由題意得：vv故答案為：36,12；（2）設出發(fā)x小時后兩車相遇，根據(jù)題意得：36(x－2)＋12x＝72×2,解得x=答：出發(fā)92（3）設出發(fā)t小時后兩車相距30km，①在工程車還未到達乙地，即當0＜t＜2時，36t-12t=30,解得t=54②在工程車在乙地停留，即當2≤t≤4時，12t＋30＝72,解得t＝72③在工程車返回甲地的途中,即當4＜t≤6時，相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，解得t=31相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，解得t=答：出發(fā)541．（2022·全國·七年級）橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．【思路點撥】設火車車身長為xm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【解題過程】解：設火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：1200+x50解得：x＝300，所以1200+x50答：火車的長度是300m，車速是30m/s．2．（2022·全國·七年級專題練習）數(shù)學課上，小明和小穎對一道應用題進行了合作探究：一列火車勻速行駛，經過一條長為1000米的隧道需要50秒，整列火車完全在隧道里的時間是30秒，求火車的長度．（1）請補全小明的探究過程：設火車的長度為x米，則從車頭進入隧道到車尾離開隧道所走的路程為（1000+x）米，所以這段時間內火車的平均速度為1000+x50米/秒；由題意，火車的平均速度還可以表示為米/秒．再根據(jù)火車的平均速度不變，可列方程，解方程后可得火車的長度為（2）小穎認為：也可以通過設火車的平均速度為v米/秒，列出方程解決問題．請按小穎的思路完成探究過程．【思路點撥】（1）根據(jù)速度＝路程÷時間，火車穿過隧道，走過的路程＝隧道長度+火車長度建立方程即可求解；（2）設火車的平均速度為v米/秒，根據(jù)隧道的長度不變列出方程．【解題過程】解：（1）由題意，得：火車的平均速度＝1000?x30由題意，得：1000+x50＝解得x＝250．故答案是：1000?x30；1000+x50＝（2）根據(jù)題意列方程得：50v﹣1000＝1000﹣3v解得：v＝25．火車長度：50v﹣1000＝250（米）答：火車的長度為250米．3．（2022·全國·七年級專題練習）在一條河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時從A順流而下，乙船到B地時接到通知要立即返回到C地執(zhí)行任務，甲船繼續(xù)順流而行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是7.5千米/小時，水流速度是2.5千米/小時，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A經B再到C共用4小時，問乙船從B到C時，甲船駛離B地多遠？【思路點撥】由題意可分①當C地在BA的延長線上時，則設AB=x千米，則有x7.5+2.5+x+107.5?2.5=4；②當C地在A、B兩地之間時，則設BC【解題過程】解：當C地在BA的延長線上時，則設AB=x千米，由題意得：x7.5+2.5解得：x=20∴此時甲駛離B地203當C地在A、B兩地之間時，則設BC=x千米，由題意得：x+107.5+2.5解得：x=10，∴此時甲駛離B地：107.5?2.5答：甲駛離B地10034．（2022·遼寧撫順·七年級期末）A、B兩地相距360km，一輛小轎車和一輛貨車分別沿同一條路線從A地出發(fā)駛往B地，已知貨車的速度為60km/h，小轎車的速度為90km/h，貨車先出發(fā)1h后小轎車再出發(fā)，小轎車到達B地后在原地等貨車．（1）求小轎車出發(fā)多長時間追上貨車？（2）當兩車相距50km時，求小轎車行駛的時間？【思路點撥】（1）乙車追上甲車則兩車的路程相等，設時間為未知數(shù)列方程求解即可；（2）乙車出發(fā)后與甲車相距50km，在整個運動過程中存在三種情況：乙車在追上甲車之前；乙車超過甲車且未到B地之前；乙車到達B地而甲車未到B地．根據(jù)三種情況利用兩車路程之間的關系列方程即可求得．【解題過程】解：（1）設小轎車出發(fā)x小時追上貨車．根據(jù)題意得：60+60x=90x解得：x=2答：小轎車出發(fā)2小時追上貨車．（2）設小轎車出發(fā)y小時與貨車相距50km．①當小轎車出發(fā)后在追上貨車之前，兩車相距50km．則有：60+60y=90y+50解得：y=②當小轎車超過貨車且未到B地之前，兩車相距50km．則有：60+60y+50=90y解得：y=③當小轎車到達B地而貨車未到B地，兩車相距50km．則有：60+60y+50=360解得：y=25綜上得：當小轎車出發(fā)13小時、113小時或5．（2022·河北·平山縣教育局教研室七年級期末）某中學學生步行到郊外旅行．七年級（1）班學生組成前隊，步行速度為4千米/時，七（2）班的學生組成后隊，速度為6千米/時；前隊出發(fā)1小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯(lián)絡，他騎車的速度為10千米/時．（1）后隊追上前隊需要多長時間？（2）后隊追上前隊時間內，聯(lián)絡員走的路程是多少？（3）兩隊何時相距2千米？【思路點撥】（1）設后隊追上前隊需要x小時，根據(jù)后隊比前隊快的速度×時間=前隊比后隊先走的路程可列出方程，解出即可得出時間；（2）先計算出聯(lián)絡員所走的時間，再由路程=速度×時間即可得出聯(lián)絡員走的路程．（3）要分三種情況討論：①當（1）班出發(fā)半小時后，相距2千米；②當（2）班還沒有超過（1）班時，相距2千米；③當（2）班超過（1）班后，（1）班與（2）班再次相距2千米，分別列出方程，求解即可．【解題過程】解：（1）設后隊追上前隊需要x小時，由題意得：（6﹣4）x=4×1，解得：x=2．故后隊追上前隊需要2小時；（2）后隊追上前隊時間內，聯(lián)絡員走的路程就是在這2小時內所走的路，所以10×2=20（千米）．答：后隊追上前隊時間內，聯(lián)絡員走的路程是20千米；（3）要分三種情況討論：①當七年級（1）班出發(fā)半小時后，兩隊相距4×12②當七年級（2）班還沒有超過（1）班時，相距2千米，設七年級（2）班需y小時與七年級（1）相距2千米，由題意得：（6﹣4）y=2，解得：y=1；所以當七年級（2）班出發(fā)1小時后兩隊相距2千米；③當七年級（2）班超過七年級（1）班后，七年級（1）班與七年級（2）班再次相距2千米時（6﹣4）y=4+2，解得：y=3．答：當七年級（1）班出發(fā)0.5小時或當七年級（2）班出發(fā)1小時后或3小時后，兩隊相距2千米．6．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校七年級階段練習）某學校組織學生去香爐山春游，某班學生分別乘大、小兩輛車去看爐山，早晨6點鐘從學校出發(fā)，計劃2小時到達．(1)若大車速度為80km/h，正好可以在規(guī)定時間到達，而小車速度為100km/h，如果兩車同時到達，那么小車可以晚出發(fā)多少分鐘？(2)若小車每小時能比大車多行30千米，且大車在規(guī)定時間到達，小車要提前30分鐘到達，求大小車速度．(3)若小車與大車同時以相同速度出發(fā)，但走了20分鐘以后，發(fā)現(xiàn)有物品遺忘，小車準備提速返回取物品并按此速度直到到達，若小車仍想與大車同時在規(guī)定時間到達，應提速到原來的多少倍？【思路點撥】（1）設小車可以晚x分鐘到達，根據(jù)等量關系：大車的速度×2=小車的速度×（2?（2）設大車速度為xkm/h，則小車速度為（x+30）km/h；根據(jù)等量關系：大車的速度×2=小車的速度×（2?（3）設應提速到原來的a倍，令小車原來速度為m，根據(jù)等量關系：原來的速度×2+原來的速度×2060=提速后的速度×（2?【解題過程】（1）解：設小車可以晚x分鐘到達；80×2=100×（解得：x=24答：小車可以晚24分鐘出發(fā)．（2）解：設大車速度為xkm/h，則小車速度為（x+30）km/h；x×2=（x+30）×（解得：x=90∴x+30=120，答：設大車速度為90km/h，則小車速度為120km/h；（3）解：設應提速到原來的a倍，令小車原來速度為m，m×2+m×2060=am×（2?解得：a=1.4答：應提速到原來的1.4倍．7．（2022·山東省棗莊市第四十一中學七年級階段練習）數(shù)軸是我們進入七年級后研究的一個很重要的數(shù)學工具，它讓數(shù)變得形象，也讓數(shù)軸上的點變得具體，借助數(shù)軸可以輕松的解決一些實際問題：已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應的數(shù)字為a、b，且a，b滿足4b(1)直接寫出a、b的值；(2)P從B出發(fā)，以每秒3個長度的速度沿數(shù)軸正方向運動5秒，求此時P點表示的數(shù)及P點與A點之間的距離；(3)應用：小華家，小明家，學校在一條東西的大街上，小華家在學校的東面距學校500米，小明家在學校的西面距學校300米．①以學校為原點，向東的方向為正方向，用1個單位長度表示100米，小華家為A點，小明家為B點，在數(shù)軸上表示出小華家和小明家的位置；②周末小明自西向東，小華自東向西出去玩，他們每分鐘都走50米，問__________分鐘后兩人相距100米？此時小明在數(shù)軸上的位置對應的數(shù)為____________．【思路點撥】(1)根據(jù)絕對值的非負性質即可求解；(2)首先根據(jù)B點對應的數(shù)字及P點運動時間可得P點表示的數(shù)，再根據(jù)A點對應的數(shù)字即可得P點與A點之間的距離；(3)①利用數(shù)軸結合實際意義可得答案；②設x分鐘后兩人相遇100米，根據(jù)題意分兩種情況，利用等量關系列出方程，再解即可．【解題過程】（1）解：∵4b∴4b+12=0，a-5=0，解得a=5，b=-3；（2）解：由(1)知：點A表示的數(shù)為5，點B表示的數(shù)為-3，根據(jù)題意得：P點表示的數(shù)為：-3+3×5=12，P點與A點之間的距離為：12-5=7，答：此時P點表示的數(shù)為12，P點與A點之間的距離為7；（3）解：①在數(shù)軸上表示如下：②設x分鐘后兩人相遇100米，由題意得：相遇前：50x+50x=300+500?100，解得：x=7，相遇后：50x+50x=300+500+100，解得：x=9，∴7或9分鐘后兩人相距100米；此時小明在數(shù)軸上的位置對應的數(shù)為：?3+0.5×7=0.5或?3+0.5×9=1.5，故答案為：7或9；0.5或1.5．8．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，AO∥BC得到一條“折線數(shù)軸”，圖中點A表示－20，點B表示20，點C表示36，動點M從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢復原速；同時，動點N從點C出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負方向運動從點B運動到點O期間的速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮笠擦⒖袒謴驮伲O運動的時間為(1)填空：點A和點C在數(shù)軸上相距個單位長度；(2)當t為何值時，點M與點N相遇？(3)當t為何值時，M、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與N、B兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【思路點撥】（1）由點A表示－20，點C表示36，即可求出點A和點C在數(shù)軸上相距56個單位長度；（2）首先根據(jù)題意計算出點N從C到B用時16s，M從A到O用時10秒，進而判斷出點M、N在OB段相遇，然后列方程求解即可；（3）根據(jù)題意分4種情況討論，分別列出方程求解即可．【解題過程】解：（1）∵點A表示－20，點C表示36，∴36-(-20)=56，故答案為：56；（2）由題意可得N從C到B用時16s，M從A到O用時10秒，即M、N在OB段相遇．∴20+∴t=202∴當t為2023秒時，點M與點（3）根據(jù)題意，有4種情況：①當點M在AO上，點N在CB上時，OM=20?2t，BN=16?t∵OM=BN．∴20?2t=16?t，解得t=4；②當點M在OB上時，點N在CB上時，OM=t?10，BN=16?t，∵OM=BN，∴t?10=16?t，解得t=13；③當點M在OB上時，點N在OB上時，OM=t?10，BN=2∵OM=BN，∴t?10=2解得t=22；④當點M在BC上時，點N在OA上時，得：20+2t?30解得t=34；綜上所述：t的值為4，13，22，34．9．（2022·廣東·江門市第二中學七年級開學考試）如圖，城鄉(xiāng)公交車行駛在筆直的公路上，這條路上有A，B，C三個站點，已知相鄰兩站之間的距離分別為AB=8千米，BC=4千米，且每個站點的?？繒r間為4分鐘．已知甲、乙兩車于上午8：00分別從A站，C站出發(fā)相向而行，兩車的速度均為30千米/小時，設兩車出發(fā)t小時后，問：（1）甲、乙兩車到達B站分別用時多少？（2）求兩車相遇的時刻．（3）當兩車相距4千米時，求t的值．【思路點撥】（1）根據(jù)時間=路程÷速度列式即可求值；（2）根據(jù)題意列出方程30t+30(t?4（3）分三種情況：①兩車相遇前，乙車剛到B站時，兩車相距4千米，②兩車相遇后，乙車經過B站，甲車還沒有到B站時，③兩車相遇后，甲乙兩車都經過B站時，分別列出式子表示即可；【解題過程】解：（1）甲車到B站用時830乙車到B站用時430（2）由題意可列方程30t+30(t?解得：t=14所以兩車在8：14兩車相遇．（3）分三種情況：①兩車相遇前，乙車剛到B站時，兩車相距4千米，此時t=2②兩車相遇后，乙車經過B站，甲車還沒有到B站時，30t+30(t?4解得：t=310>③兩車相遇后，甲乙兩車都經過B站時，30(t?4解得：t=1綜上所述：當t=215小時或10．（2022·全國·七年級專題練習）已知數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別是a、b，點A在原點的左側且到原點的距離是5，點B在原點的右側，且到原點的距離是點A到原點的距離的6倍．(1)a＝，b＝；(2)動點M、N分別從點A、B的位置同時出發(fā)，在數(shù)軸上做無折返的運動．已知動點M的運動速度是2個單位長度/秒，動點N的運動速度是3個單位長度/秒．①若點M和點N相向而行，經過幾秒，點M與點N相遇？②若點M和點N都向左運動，經過幾秒，點N追上點M？③若點M和點N的運動方向不限，經過幾秒，點M、N相距15個單位長度？【思路點撥】（1）根據(jù)題意確定A點坐標，再確定B點坐標；（2）先求出AB的長度，①若M，N相向而行，設x秒相遇，根據(jù)題意列出一元一次方程即可求解；②當點M，N都向左運動，設y秒點N追上點M，根據(jù)題意列出一元一次方程即可求解；③設經過t秒點M，N相距15個單位長度，此時需分類討論，注意N點速度大于M點速度，第一種情況：當點M，N相向運動，且M在N左邊時；第二種情況：當點M，N相向運動，且M在N右邊時；第三種情況：當M，N都向左運動，且M在N左邊時；第四種情況：當M，N都向左運動，且M在N右邊時．四種情況均利用一元一次方程即可求解．【解題過程】解：（1）∵點A在原點的左側且到原點的距離是5，∴點A表示的數(shù)是﹣5．∵點B在原點的右側，且到原點的距離是點A到原點的距離的6倍，∴點B表示的數(shù)是5×6＝30．故答案為：﹣5，30；（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．①若M，N相向而行，設x秒相遇，則2x＋3x＝35，解得x＝7．答：經過7秒，點M與N相遇．②當點M，N都向左運動，設y秒點N追上點M，則3y＝35＋2y，解得y＝35．答：經過35秒，點N追上點M．③設經過t秒點M，N相距15個單位長度．當點M，N相向運動，且M在N左邊時，35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；當點M，N相向運動，且M在N右邊時，2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．當M，N都向左運動，且M在N左邊時，則3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．當M，N都向左運動，且M在N右邊時，3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．綜上所述，經過4，10，20或50秒，點M、N相距15個單位長度．11．（2022·陜西咸陽·七年級期末）列方程解應用題，已知A，B兩地相距60千米，甲騎自行車，乙騎摩托車都沿一條筆直的公路由A地勻速行駛到B地，乙每小時比甲多行30千米.甲比乙早出發(fā)3小時，乙出發(fā)1小時后剛好追上甲.（1）求甲的速度；（2）問乙出發(fā)之后，到達B地之前，何時甲乙兩人相距6千米；（3）若丙騎自行車與甲同時出發(fā)，沿著這條筆直的公路由B地勻速行駛到A地.經過185【思路點撥】（1）設甲的速度為x，根據(jù)甲行駛的路程與乙行駛的路程相等，列出方程求解即可；（2）根據(jù)甲行駛的路程與乙行駛的路程相差6千米(分追上前和追上后兩種情況討論)，列出方程求解即可；（3）根據(jù)題意，乙行駛的時間為(185【解題過程】解：（1）設甲的速度為x，依題意得：1+3解得：x=10∴甲的速度為每小時10千米；（2）設乙出發(fā)之后t小時，甲乙兩人相距6千米，由（1）的結論：甲的速度為每小時10千米，乙的速度為每小時40千米；未追上前：依題意得：10解得：t=0.8追上并超過后：依題意得：40t?10解得：t=1.2此時：1.2×40=48<60，乙未到達B地，t=1.2符合題意；∴乙出發(fā)0.8小時或1.2小時，甲乙兩人相距6千米；（3）丙騎自行車與甲同時出發(fā)，則乙行駛的時間為(185設丙的速度為y，依題意得：40×解得：y=10∴甲、丙兩人之間距離為：60?∴此時甲、丙兩人之間距離為12千米.12．（2022·安徽·合肥壽春中學七年級期末）已知：甲、乙兩輛車在一條公路上勻速行駛．為了確定汽車的位置，我們用OX表示這條公路，原點O為零千米路標．并作如下約定：位置為正，表示汽車位于零千米的右側；位置為負，表示汽車位于零千米的左側；位置為零，表示汽車位于零千米處．下表給出了部分時刻以及甲、乙兩車在該時刻的對應位置：(1)根據(jù)題意．補全表格：時間（時）035t甲車位置（km）150①-150②乙車位置（km）③70150④(2)甲、乙兩車能否相遇．如果相遇．求相遇時的時刻及在公路上的位置；如果不能相遇．請說明理由(3)若忽略車的形狀和大小．可將其看做一點．則是否存在這樣的t．使得甲、乙、原點O三點中的一個點是以其余兩點為端點的線段的中點如果存在．請求出t的值；如果不存在．請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)速度＝路程÷時間，可求出甲乙兩車的速度，從而可填寫表格；（2）相遇，則兩車的位置相等，得出方程，求解即可；（3）分甲在中點、乙在中點、O在中點三種情況討論即可.【解題過程】(1)解：填表如下：時間（時）035t甲車位置（km）150-30-150150-60t乙車位置（km）-5070150-50+40t故答案為：①-30；②150-60t；③-50；④-50+40t(2)解：由題意得：150?60x＝?50＋40x，解得：x＝2，150?60×2＝30．答：相遇時刻為2小時，且位于零千米右側30km處；(3)①當甲在中點時：?50+40t2=150?60t，解得②當乙在中點時：150?60t2=?50+40t，解得③當O在中點時：150?60t?50+40t2=0，解得故t的值為：3516，或2513．（2022·全國·七年級專題練習）小明有一套火車玩具，有兩列火車、一副軌道、一個隧道模型及一個站牌．特別之處：隧道模型也可以像火車一樣移動，當火車頭進入隧道一瞬間會響起音樂，當火車完全穿過隧道的一瞬間音樂會結束．已知甲火車長20厘米，甲乙兩列火車的速度均為5厘米/秒，軌道長3米．（1）將軌道圍成一個圓圈，將甲、乙兩列火車緊挨站牌放置，車頭方向相反，同時啟動，到兩車相撞用時24秒，求乙火車的長度？（2）在（1）的條件下，乙火車穿過靜止的隧道音樂響起了14秒，求隧道的長度；（3）在（1）（2）的條件下，軌道鋪成一條直線，把隧道模型、甲火車依次放在站牌的右側，站牌靜止不動，甲火車頭與隧道相距10cm(即AD=10cm)．當甲火車向左運動，隧道模型以不變的速度運動，音樂卻響了25秒；當音樂結束的一瞬間，甲火車頭A與站牌相距乙火車車身的長度，請同學們思考一下，以站牌所在地為原點建立數(shù)軸，你能確定甲火車、隧道在運動前的位置嗎？如果可以，請畫出數(shù)軸并標出【思路點撥】（1）設乙火車的長度為x厘米，根據(jù)等量關系“甲火車運動的路程+乙火車運動的路程+甲火車的長度+乙火車的長度=軌道長度”列方程求解即可；（2）設隧道的長為y厘米，根據(jù)等量關系“隧道的長度+乙火車的長度=乙穿過隧道行駛的路程”列方程求解即可；（3）根據(jù)隧道以不變的速度運動，音樂卻響了25秒，25秒＞14秒，可知隧道和甲火車一定是同向運動，設隧道移動的速度為z厘米/秒，根據(jù)等量關系“甲火車通過隧道的時間×（甲火車的速度-隧道移動的速度）=甲火車的長度+隧道長度”列方程求出隧道移動的速度；再求出甲火車運動的路程，分音樂結束時甲火車頭在站牌的左、右兩側，分別求出A，B，C，D各點到站牌的距離，進而畫出數(shù)軸即可．【解題過程】解：（1）設乙火車的長度為x厘米，依題意得，2×24×5+20+x=300，解得x=40，答：乙火車的長度為40厘米；（2）設隧道的長為y厘米，依題意得，y+40=14×5，解得y=30，答：隧道的長度為30厘米；（3）能．設隧道移動的速度為z厘米/秒，由25大于14知，隧道和甲火車一定是同向運動，∴255?z∴火車追上隧道的時間為：105?3甲火車運動的距離：5×5+25以站牌為數(shù)軸的原點，分以下兩種情況：①音樂結束時甲火車頭在站牌右側，則運動前，AO=40+150=190(cm)，BO=190+20=210(cm)，DO=190-10=180(cm)，CO=180-30=150(cm)，∴A，B，C，D運動前的位置在數(shù)軸上表示如下：②音樂結束時甲火車頭在站牌左側，則運動前，AO=150-40=110(cm)，BO=110+20=130(cm)，DO=110-10=100(cm)，CO=100-30=70(cm)，∴A，B，C，D運動前的位置在數(shù)軸上表示如下：14．（2022·全國·七年級專題練習）(1)如圖1：正方形ABCD邊長為5，點P、點Q在正方形的邊上．點P從點A以每秒3個單位長度的速度沿A→B→C→D→A折線循環(huán)運動，同時點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿C→D→A→B→C折線循環(huán)運動．設點P運動時間為x秒．①當x為何值時，點P和點Q第一次相遇．②當x為何值時，點P和點Q第二次相遇．(2)如圖2：是長為6，寬為4的長方形ABCD，點E為邊CD的中點，點M從點A以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C→E折線運動，到達點E停止．設點M運動時間為t秒，當三角形AME的面積等于9時，請求出t的值．【思路點撥】（1）①點P和點Q第一次相遇，P比Q多運動10個單位，可得3x?x=5×2，即可解得答案；②點P和點Q第二次相遇，P比Q多運動30個單位，列方程即可解得答案；（2）由已知可得CE=2，分三種情況分別列方程：①當M在AB上，即t?2時，12×2t×6=9，②當M在BC上，即2<t?5時，12×(2+4)×6?12×4×(2t?4)?12【解題過程】解：（1）①根據(jù)題意得：3x?x=5×2，解得x=5，答：當x為5時，點P和點Q第一次相遇，②根據(jù)題意得：3x?x=5×2+4×5，解得x=15，答：當x為15時，點P和點Q第二次相遇；（2）由已知可得CE=2，①當M在AB上，即t?2時，如圖：根據(jù)題意得：12解得t=3②當M在BC上，即2<t?5時，如圖：根據(jù)題意得：12解得t=7③當M在CE上，即5<t?6時，如圖：根據(jù)題意得：12解得t=9綜上所述，當ΔAME的面積等于9時，t的值為32秒或15．（2022·湖北武漢·七年級期末）在武漢市乘坐出租車的收費標準是：路程不超過3千米計費10元；路程超過3千米但不超過10千米時，超出3千米部分按每千米1.5元計費加上10元；路程超過10千米時，超出10千米部分按每千米1元計費，3千米到10千米部分按每千米1.5元計費，再加上10元乘坐滴滴專車的收費標準是：基本費用4元加每千米1.2元．(1)李老師從家到學校的距離是15千米，如果乘坐出租車，費用是______元；如果乘坐滴滴專車，費用是______元；(2)周末外出李老師乘坐出租車和滴滴滴專車各一次，且每次乘車路程大于3千米．①如果李老師兩次乘車路程共計50千米，付費71.3元，那么他乘坐出租車和滴滴專車的路程各是多少千米？②如果李老師乘坐出租車的路程超過10千米，他兩次乘車的費用共36.1元，且兩次乘車的路程都是整數(shù)千米，那么李老師乘坐出租車和滴滴專車的路程各是多少千米？【思路點撥】（1）根據(jù)出租車及滴滴專車的收費標準，可分別求出乘坐15千米所需費用；（2）①設乘坐出租車的路程是x千米，則乘坐滴滴專車的路程是（50﹣x）千米，分3＜x≤10及x＞10兩種情況考慮，根據(jù)兩次乘坐共付費71.3元，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出李老師乘坐出租車的路程，再將其代入（50﹣x）中即可求出李老師乘坐滴滴專車的路程；②設李老師乘坐出租車的路程是m（m＞10）千米，則乘坐滴滴專車的路程是（18﹣56m）千米，根據(jù)兩次乘車的路程都是整數(shù)千米且李老師乘坐出租車的路程超過10千米，即可求出李老師乘坐出租車的路程，再將其代入（18﹣56【解題過程】(1)解：乘坐出租車所需費用為10+1.5×（10﹣3）+1×（15﹣10）＝10+1.5×7+1×5＝10+10.5+5＝25.5（元）；乘坐滴滴專車所需費用為4+1.2×15＝4+18＝22（元）．故答案為：25.5；22．(2)解：①設乘坐出租車的路程是x千米，則乘坐滴滴專車的路程是（50﹣x）千米．當3＜x≤10時，10+1.5（x﹣3）+4+1.2（50﹣x）＝71.3，解得：x＝6，∴50﹣x＝50﹣6＝44；當x＞10時，10+1.5×（10﹣3）+（x﹣10）+4+1.2（50﹣x）＝71.3，解得：x＝16，∴50﹣x＝50﹣16＝34．答：李老師乘坐出租車和滴滴專車的路程各是6千米、44千米或16千米、34千米．②設李老師乘坐出租車的路程是m（m＞10）千米，則乘坐滴滴專車的路程是36.1?10+1.5×(10?3)+(m?10)?41.2＝（18﹣∵m，（18﹣56m）均為正整數(shù)，且m∴m＝12或m＝18，當m＝12時，18﹣56m＝18﹣5當m＝18時，18﹣56m＝18﹣5答：李老師乘坐出租車和滴滴專車的路程各是12千米、8千米．16．（2022·廣東茂名·七年級期末）如圖，A、B兩地相距90千米，從A到B的地形依次為：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲從A地開汽車以120千米/小時的速度前往B地，乙從B地騎摩托車以60千米/小時的速度前往A地，汽車上坡的速度為100千米/小時，摩托車下坡的速度為80千米/小時，甲、乙兩人同時出發(fā)．（1）求甲從A到B地所需要的時間．（2）求兩人出發(fā)后經過多少時間相遇？（3）求甲從A地前往B地的過程中，甲、乙經過多少時間相距10千米？【思路點撥】（1）分段求出所需時間，相加即可得到甲從A到B地所需要的時間；（2）先判斷在哪段相遇，再根據(jù)題意列出正確的方程即可求解；（3）先判定甲從A地前往B地的過程中，甲、乙有兩次相距10千米的機會，分情況求解即可．【解題過程】解：（1）甲在AC段所需時間為：t1甲在CD段所需時間為：t2甲在DB段所需時間為：t3所以甲從A到B地所需要的時間為t1答：甲從A到B地所需要的時間為2330（2）乙在BD段所需時間為：t4乙在DC段所需時間為：t5∵13+18∴甲乙會在AC段相遇，∵同時出發(fā)，則甲走了1124小時，走了11甲乙相遇時間為t=60?55答：兩人出發(fā)后經過3572（3）設甲，乙經過x小時后，兩人相距10千米，①相遇前，相距10千米，甲在AC上，乙在CD上，此時，甲走的路程為：120x，乙走的路程為：20+80(x?1∴120x+10+20+80(x?1解得：x=②相遇后，相距10千米，甲在CD上，乙在AC上，此時，甲的路程為60+100(x?12)∴60+100(x?1解得：x=∴甲從A地前往B地的過程中，甲，乙經過1330或35答：甲從A地前往B地的過程中，甲，乙經過1330或3517．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，甲、乙兩位同學在長方形的場地ABCD上繞著四周跑步，甲沿著A－D－C－B－A方向循環(huán)跑步，同時乙沿著B－C－D－A－B方向循環(huán)跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度為2米/秒，乙速度3米/秒．(1)設經過的時間為t秒，則用含t的代數(shù)式表示甲的路程為米；(2)當甲、乙兩人第一次相遇時，求所經過的時間t為多少秒？(3)若甲改為沿著A－B－C－D－A的方向循環(huán)跑步，而乙仍按原來的方向跑步，兩人的速度不變，求經過多少秒，乙追上甲？(4)小明在探索中發(fā)現(xiàn)一個非常有趣的結論：在（3）的條件下，甲乙繼續(xù)跑步，以后遇的地點每次相遇的地點都和第一次遇的地點一樣，請同學們試以第n次相遇為例幫小明同學進行簡單的論證，并寫出每次相遇時點P的位置．【思路點撥】（1）根據(jù)路程=速度×時間列式即可；（2）設經過t秒甲、乙兩人第一次相遇，根據(jù)速度×時間=路程結合題意，即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出t值，（3）設經過t秒乙追上甲，根據(jù)乙跑的路程-甲跑的路程=BC+CDd+DA=130,列方程求解即可；（4）先求出（3）中乙追上甲的地點在CD上，離C點20米的地方，若乙第n次追上甲的時間為a秒，根據(jù)乙跑的路程-甲跑的路程=160(n-1)，列方程為3a-2a=160(n-1)，又因為2a=320(n-1)，即可得證第n次乙追上甲時，甲又跑了2(n-1)圈．即可得出結論．【解題過程】（1）解：甲的路程=2t米；故答案為：2t；（2）解：設經過t秒甲、乙兩人第一次相遇，根據(jù)題意得3t+2t=50×2+30；t=26答：經過26秒（3）解：設經過t秒乙追上甲，根據(jù)題意得3t-2t=130

解得t=130答：經過130秒，乙追上甲（4）解：130×2=260（米）260-（50+30）×2=100（米）100-30-50=20（米）所以（3）中乙追上甲的地點在CD上，離C點20米的地方；若乙第n次追上甲的時間為a秒,則3a-2a=160(n-1)，解得a=160(n-1)160(n-1)×2=320(n-1)（米）320(n-1)÷160=2(n-1)（圈）第n次乙追上甲時，甲又跑了2(n-1)圈．所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一樣，在CD上，離C點20米的地方；

P點如圖18．（2022·江蘇·南通田家炳中學七年級階段練習）已知，a，b滿足3a?b+(a?3)2=0，分別對應著數(shù)軸上的(1)a=________，b=________；(2)若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度向x軸正半軸運動，求運動時間為多少時，點P到點A的距離是點P到點B距離的2倍；(3)數(shù)軸上還有一點C的坐標為28，若點P和點Q同時從點A和點B出發(fā)，分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度向C點運動，P點到達C點后，再立刻以同樣的速度返回，運動到終點A．求點P和點Q運動多少秒時，P、Q兩點之間的距離為4，并求此時點Q對應的數(shù)．【思路點撥】（1）利用絕對值和偶次方的非負性求出a、b的值即可解決問題；（2）利用PA=2PB構建方程即可解決問題；（3）分四種情形分別構建方程即可解決問題．【解題過程】解：（1）∵a，b滿足|3a-b|+(a-3)2=0，∴3a-b=0；a-3=0∴a=3，b=9，故答案為：3，9，（2）設運動時間為ts．則點P表示的數(shù)為：3t∵PA=2PB，∴3t∴3t=23解得t=8或8∴運動時間為8或83秒時，點P到點A的距離是點P到點B（3）設運動時間為ts．當點P在到達點C前，則點P表示的數(shù)為：3t+3，點Q表示的數(shù)為：①點P還未追上點Q：則t+9?解得：t=1(秒)，點Q表示的數(shù)為10②點P追上點Q后：則3t解得：t=5(秒)，點Q表示的數(shù)為14當點P在到達點C返回時，則點P表示的數(shù)為：28?3t+3?28=53?3t③點P與點Q還未相遇：53?3t解得：t=10(秒)，點Q表示的數(shù)為19④點P與點Q相遇后：t+9?解得：t=12(秒)，點Q表示的數(shù)為21綜上，t=1秒，點Q表示的數(shù)為20；t=5秒，點Q表示的數(shù)為14；t=10秒，點Q表示的數(shù)為19；t=12秒，點Q表示的數(shù)為21，此時19．（2022·江蘇·七年級期中）已知多項式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次數(shù)是b，4a與b互為相反數(shù)，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b．（1）a＝，b＝；（2）若小螞蟻甲從點A處以2個單位長度/秒的速度向右運動，同時小螞蟻乙從點B處以1.8個單位長度/秒的速度向左運動，丙同學觀察兩只小螞蟻運動，在它們剛開始運動時，在原點O處放置一顆飯粒，甲在碰到飯粒后立即背著飯粒以原來的速度向相反的方向運動，乙在碰到飯粒后立即停止運動．設運動的時間為t秒，則t＝時，甲、乙兩只小螞蟻的距離為8個單位長度．（3）若小螞蟻甲和乙約好分別從A，B兩點，分別沿數(shù)軸甲向左，乙向右以相同的速度爬行，經過一段時間原路返回，剛好在16s時一起重新回到原出發(fā)點A和B，設小螞蟻們出發(fā)t（s）時的速度為v（mm/s），v與t之間的關系如下圖．（其中s表示時間單位秒，mm表示路程單位毫米）t（s）0＜t≤22＜t≤55＜t≤16v（mm/s）10168①當2＜t≤5時，你知道小螞蟻甲與乙之間的距離嗎？（用含有t的代數(shù)式表示）；②當t為時，小螞蟻甲乙之間的距離是42mm．（請直接寫出答案）【思路點撥】（1）根據(jù)多項式的次數(shù)的定義可得b值，再由相反數(shù)的定義可得a值；（2）分兩種情況討論：①甲向右，乙向左向左運動，即0≤t≤1時，此時甲表示的數(shù)為-2+2t，乙表示的數(shù)為8-1.8t；②甲乙兩小螞蟻均向左運動，即t＞1時，此時甲表示的數(shù)為2-2t，乙表示的數(shù)為8-1.8t；根據(jù)甲、乙兩只小螞蟻的距離為8個單位長度，列方程即可求解；（3）①先得出小螞蟻甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，則可求得小螞蟻甲與乙之間的距離；②設a秒時小螞蟻甲和乙開始返程，由題意得關于a的方程，解得a的值，再分類求得符合題意的t值即可．【解題過程】解：（1）∵多項式4x6y2-3x2y-x-7，次數(shù)是b，∴b=8；∵4a與b互為相反數(shù)，∴4a+8=0，∴a=-2．故答案為：-2