幾何 -魅力及其應(yīng)用 丘成桐

幾何:魅力及應(yīng)用丘成桐美國哈佛大學(xué)

科學(xué)的興起與個(gè)人修養(yǎng)、團(tuán)體文化有直接的關(guān)系。假如一個(gè)人的一生目標(biāo)以逐利當(dāng)官為大前提，做學(xué)問頂多是一個(gè)過渡手腕，即使小有成就，也難以持久。推動(dòng)科研的熱情和好奇心很快就會(huì)冷淡。傳世之學(xué)，更無足論了。

即使我的學(xué)生中間也有很多年少得志的，不但有名聞全國，也有屢得獎(jiǎng)于海外的。但往往沾沾自喜，以為學(xué)有成就，就爭名逐利、自夸自大。往往急功近利，導(dǎo)致文章錯(cuò)誤百出。又為了做院士，花了很多時(shí)間去巴結(jié)權(quán)貴。在這樣的背景下，何以做高雅的學(xué)問，更遑論傳世之學(xué)了。

做大學(xué)問的學(xué)者，必需有崇高的志向。而立志不易，必需有深厚的文化環(huán)境和朋友老師的激勵(lì)才能形成這個(gè)先決的條件。

在西方，為了培養(yǎng)研究人員的素質(zhì)，特別講究通

才教育。其實(shí)中國深厚的文化提供了做學(xué)問最好的背

景，中國詩詞歌賦意境高超，能夠純化個(gè)人的心志。

屈原天問篇一連問這么多問題，值得我們學(xué)習(xí)。孟子

知言養(yǎng)氣，是培養(yǎng)氣質(zhì)和做學(xué)問的很好的方法。

我年少時(shí)家貧，父親卻勉我以學(xué)問，不以

富貴為志。父親寫了一本西洋哲學(xué)史，引文心

雕龍一小段，使我記憶尤深。

文心雕龍：

嗟呼，身與時(shí)舛，志共道申，

標(biāo)心于萬古之上，而送懷與千

載之下。崇基學(xué)院門前對(duì)聯(lián)

崇高惟博愛本天地立心無間東西溝通學(xué)術(shù)

基礎(chǔ)在育才當(dāng)海山勝境有懷抱與陶鑄人群

丘鎮(zhèn)英

父親很注重我有崇高的志向，所以很早教導(dǎo)我的古文中就有左傳論三不朽的文章。

左傳

叔孫豹論三不朽

太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。

立德立功之道，必以謙讓質(zhì)樸為主﹁會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小﹂輕妄浮誇之言也。

從中國古文中，可以看到做科學(xué)的方法，例如：

王國維論做大學(xué)問三個(gè)過程

晏殊昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。

柳永……衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。

辛棄疾……眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。其實(shí)我想加一首詞：

宋徽宗……天遙地遠(yuǎn)，萬水千山，知他故宮何處，怎不思量，除夢里有時(shí)曾去。

除了中國古代文學(xué)對(duì)我的影響外，我也看翻譯的西方文學(xué)

作品，其中一首詩使我十分感動(dòng)的是：

英國大詩人拜倫

“希臘??！你本是平和時(shí)代的愛嬌，你本是戰(zhàn)爭時(shí)代的天

驕。撒芷波，歌聲高，女詩人，熱情好。更有那德羅士、菲波

士榮光常照。此地是藝文舊壘，技術(shù)中潮，如今在否？算除卻

太陽光線，萬般沒了?！?/p>

“馬拉頓前??！山容縹緲。馬拉頓后??！海門環(huán)繞。如此好山河，也應(yīng)有自由回照。我向那波斯軍墓門憑眺。難道我為奴為隸，今生便了？不信我為奴為隸，今生便了。”

梁啟超翻譯

歐幾里得(公元前350年)《原本》●歐幾里得幾何公設(shè)■任意兩點(diǎn)間可作唯一的直線■任何線段可以無限延長■以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑可作一圓■所有直角彼此相等■對(duì)于一直線L和該直線外的一點(diǎn)P，存在唯一通過P，并和L不相交的直線?！瓗缀喂O(shè)僅是一些定義。—龐加萊畢達(dá)哥拉斯●給出一個(gè)直角三角形●該定理是幾何學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)●三元數(shù)組(3,4,5)在古代文明中是非常著名的。我們稱

(a,b,c)

為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組●

希臘人意識(shí)到，當(dāng)時(shí)，c

不是有理數(shù)，也就是說，c不是兩個(gè)整數(shù)的商。●可以用下面的公式找到整數(shù)的畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組這里

都是正整數(shù)。

（畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，丟番圖……）畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組一個(gè)困難問題：分類所有的有理數(shù)畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，使其對(duì)應(yīng)的直角三角形的面積為整數(shù)。這樣的整數(shù)叫同余數(shù)。同余數(shù)：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。面積為5同余數(shù)1983年，Tunnell用Birch-Swinnerton-Dyer猜想證明了：如果n

是一個(gè)奇的非平方整數(shù)，

n

是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z)

的個(gè)數(shù)是滿足方程

的三元數(shù)組(x,y,z)

的個(gè)數(shù)的兩倍。橢圓曲線如果同余數(shù)n

是由三元數(shù)組(x,y,z)構(gòu)成的直角三角形的面積，這里x,y,z均是有理數(shù)，設(shè)

我們發(fā)現(xiàn)

滿足該方程的曲線叫橢圓曲線，它們構(gòu)成一個(gè)群。

橢圓曲線如果和

是一曲線的兩點(diǎn)，是直線和該曲線的交點(diǎn)，那么稍后我們將看到橢圓曲線在現(xiàn)代幾何和在弦理論中起著非常重要的作用。橢圓曲線–同余數(shù)n

是同余數(shù)

橢圓曲線有無限多個(gè)有理數(shù)解。某些相伴的函數(shù)在處為零。Theta函數(shù)的某些積的系數(shù)為零。柏拉圖多面體正多面體是凸體，每個(gè)面是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)相連著同樣數(shù)目的面。僅有五種：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。柏拉圖多面體這些多面體和復(fù)奇點(diǎn)的現(xiàn)代理論有關(guān)，也和弦理論中非緊致卡拉比—丘成桐流形有關(guān)。各多面體間的對(duì)偶面頂點(diǎn)邊正四面體446立方體6812正八面體8612正十二面體122030正二十面體201230歐拉數(shù)對(duì)于柏拉圖多面體:歐拉注意到如果一個(gè)閉曲面能連續(xù)地形變到一個(gè)閉的多面體。分別記V,E,F,為該多面體的頂點(diǎn)數(shù),邊數(shù)和面數(shù)，那么

這里h是環(huán)柄個(gè)數(shù)對(duì)于球面,h=0,2(1-h)稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)環(huán)柄數(shù)分別為1,2,3對(duì)稱性—正多面形正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對(duì)稱性概念，支配著幾何學(xué)的發(fā)展。晶體按照對(duì)稱群分類高斯—博涅公式對(duì)多面體我們可以指定與某個(gè)頂點(diǎn)v相連的面的曲率為-與v相連的面的內(nèi)夾角所有頂點(diǎn)處曲率之和為高斯-博涅-魏依-艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式高斯—博涅公式這類聯(lián)系幾何信息和拓?fù)淞康墓皆诂F(xiàn)代幾何學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)中有著顯著的重要性。（在物理語言中，這類公式聯(lián)系著拓?fù)浜?，拓?fù)淙毕?。）這類理論建立在陳類基礎(chǔ)上。1960年阿蒂亞-辛格作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。天文測量希臘天文學(xué)家將幾何學(xué)應(yīng)用于天文測量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼(公元前275年-195年))。對(duì)天文測量的愿望反過來又影響著幾何學(xué)和三角學(xué)的發(fā)展?！嘈盼?，如果我可以重新開始學(xué)習(xí)，我將聽從柏拉圖的建議，從數(shù)學(xué)開始。

——伽利略文藝復(fù)興時(shí)期笛卡兒(1596-1650)解析幾何：笛卡兒坐標(biāo)系德薩格(1591-1661)射影幾何費(fèi)馬(1601-1665)變分原理：測地線牛頓(1642-1727)微積分

萊布尼茨(1646-1716)微積分源于少數(shù)原理，…卻結(jié)出累累碩果，這就是幾何的驕傲。——牛頓拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展歐拉(1707-1783)多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學(xué)，極小曲面。高斯(1777-1855)雙曲幾何(和羅巴切夫斯基(1792-1856),波爾約(1802-1829)一起)，高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義。)曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義一張紙的曲率為零?？梢詫⒓垙澇梢粋€(gè)圓柱面。兩個(gè)曲面是相同的：不拖長或撕裂曲面。兩曲面的形狀不同。兩類幾何：內(nèi)蘊(yùn)度量給出高斯曲率外蘊(yùn)形狀給出主曲率懸鏈面–螺旋面(等距形變)。demo高斯(1817)我越來越確信幾何的必然性無法被驗(yàn)證，至少現(xiàn)在無法被人類或?yàn)榱巳祟惗?yàn)證。我們或許能在未來領(lǐng)悟到那無法知曉的空間的本質(zhì)。我們無法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為一類。幾何和力學(xué)卻不可分割。黎曼(1826-1866)在抽象定義的空間上引入黎曼度量在無窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。二階近似由度量的曲率張量來衡量。導(dǎo)致了幾何學(xué)的革命?？死锼雇匈M(fèi)爾，列維-齊維塔，比安基……，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。黎曼面后來人們意識(shí)到對(duì)二維空間，每個(gè)黎曼度量都可以寫成如果引入復(fù)數(shù)度量可寫成黎曼面這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個(gè)全純變換的意義下是唯一的。具有這樣復(fù)坐標(biāo)的抽象二維空間稱為黎曼面。此概念應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。黎曼面●曲面間的全純變換demo高斯曲率黎曼面的高斯曲率為黎曼面給出稱為復(fù)流形的首個(gè)例子。問題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？有一個(gè)黎曼面，即給出一個(gè)復(fù)坐標(biāo)z。有一個(gè)定義在黎曼面上的曲率函數(shù)K。高斯曲率

黎曼度量的曲率在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個(gè)數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個(gè)截面上是如何彎曲的，稱為曲率張量?？梢詫?duì)全部曲率張量縮并，得到一個(gè)小的張量，稱為里奇張量。記為。里奇張量是一個(gè)對(duì)稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。記為。愛因斯坦方程黎曼幾何被愛因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)用來描述廣義相對(duì)論。廣義相對(duì)論融合了狹義相對(duì)論和引力。愛因斯坦方程這里是物質(zhì)張量（引力由度量的全部的曲率張量來描述）。愛因斯坦方程對(duì)幾何學(xué)家們啟發(fā)深刻。這是一個(gè)高度非線性理論。（是引力位勢，是未知量）。時(shí)空

一般地，我們不能期望由愛因斯坦方程定義的時(shí)空有很多的對(duì)稱性。因而，很多經(jīng)典力學(xué)中的守恒量在廣義相對(duì)論無法直接定義。這里包括質(zhì)量、動(dòng)量、角動(dòng)量等。對(duì)于廣義相對(duì)論中的孤立物理系統(tǒng)，時(shí)空在無窮遠(yuǎn)處基本上是平坦地，因而具漸進(jìn)對(duì)稱性。這給出了總質(zhì)量、總動(dòng)量和總角動(dòng)量的定義。正質(zhì)量一個(gè)復(fù)雜的問題是在某些合理的條件下,證明總質(zhì)量是正的。這對(duì)應(yīng)著幾何中，在某些數(shù)量曲率的限制下，研究三維流形的幾何。蕭恩和丘成桐用經(jīng)典的變分方法證明了正質(zhì)量猜想：研究空間中的極小曲面。后來威騰用狄拉克方程和超引力重新證明了正質(zhì)量猜想。求解愛因斯坦方程廣義相對(duì)論中困難的問題是如何求解愛因斯坦方程。物質(zhì)張量為零的情形。黎曼幾何中一個(gè)非常有趣的問題：能否找到一個(gè)閉空間，沒有物質(zhì)卻有引力？當(dāng)空間具超對(duì)稱性時(shí)，該問