2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法的正確的是 A.經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為 B.經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為 C.不經(jīng)過原點的直線的方程都可以表示為 D.經(jīng)過任意兩個不同的點的直線的方程都可以表示為 參考答案：D2.偶函數(shù)在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，，則曲線在點（）處切線的斜率為A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣6x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4） B．（4，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（4，+∞）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分類討論：當a≥0時，容易判斷出不符合題意；當a＜0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f（）＞0，解出即可．【解答】解：當a=0時，f（x）=﹣12x2+1=0，解得x=±，函數(shù)f（x）有兩個零點，不符合題意，應(yīng)舍去；當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，應(yīng)舍去．當a＜0時，f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）（，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，∴極小值f（）=a（）3﹣6（）2+1＞0，化為a2＞32，∵a＜0，∴a＜﹣4．綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）．故選：C．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．4.觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：B略5.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積表示（

）A、落在相應(yīng)各組內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)

B、相應(yīng)各組的頻率C、該樣本所分成的組數(shù)

D、該樣本的容量參考答案：B6.若，則的最小值為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)題意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案?！驹斀狻坑深}意，因為，則當且僅當且即時取得最小值.故選：B．【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理化簡，熟練應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。7.曲線在點(1,－3)處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程?！驹斀狻?，所以曲線在點處的切線方程為，即，故選A?！军c睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及曲線在某點處的切線求法。8.在△ABC中，（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（）A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形參考答案：A因為，由正弦定理當可得，，因為，所以，的形狀為直角三角形，故選A.

9.滴滴公司為了調(diào)查消費者對滴滴打車出行的真實評價，采用系統(tǒng)抽樣方法從2000人中抽取100人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號1，2，…，2000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的100人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,820]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[821,1500]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為（

）A.23 B.24 C.25 D.26參考答案：C【分析】先求出做A,B卷的人數(shù)總和，再求做C卷的人數(shù).【詳解】由題得每一個小組的人數(shù)為，由于，所以做A,B卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為75，所以做C卷調(diào)查人數(shù)為100-75=25.故選：C【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10.橢圓上的點到直線（為參數(shù)）的最大距離是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O為AC中點，拋物線的一部分在矩形內(nèi)，點O為拋物線頂點，點B，D在拋物線上，在矩形內(nèi)隨機投一點，則此點落在陰影部分的概率為________．參考答案：

略12.已知，且向量與的夾角為30o，則=

．參考答案：27【考點】平面向量數(shù)量積的運算；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由條件進行數(shù)量積的計算，便可求出的值．【解答】解：根據(jù)條件，=．故答案為：27．13.不等式的解為

▲

．參考答案：14.某校有教師200人，男生1200人，女生1000人，現(xiàn)用分層抽樣從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知女生抽取的人數(shù)是80人，則

▲

．參考答案：略15.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，定義：若，且方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的對稱中心.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”，請你運用這一發(fā)現(xiàn)處理下列問題：設(shè)，則（1）函數(shù)的對稱中心為

；（2）

．

參考答案：；2014略16.由拋物線y＝x2，直線x＝1，x＝3和x軸所圍成的圖形的面積是______．參考答案：【分析】由題意，作出圖形，確定定積分，即可求解所圍成的圖形的面積．【詳解】解析：如圖所示，S＝x2dx＝1＝(33－13)＝.【點睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，其中根據(jù)題設(shè)條件，作出圖形，確定定積分求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.若直線與直線互相平行，那么的值等于▲

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：此題考察函數(shù)的求導(dǎo)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性．（1）可由公式求導(dǎo)，得出a和b的關(guān)系式．（2）求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．該題又用到二次函數(shù)的知識分類討論．解答： 解：（1）由f′（x）=x2+2ax+b，∴f′（﹣1）=1﹣2a+b=0∴b=2a﹣1（2）f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x，∴f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a①當a＞1時，1﹣2a＜﹣1當x變化時，根據(jù)f′（x）與f（x）的變化情況得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1﹣2a，﹣1）②當a=1時，1﹣2a=﹣1，此時有f′（x）≥0恒成立，且僅在x=﹣1處f′（x）=0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R、③當a＜1時，1﹣2a＞﹣1，同理可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，1﹣2a）綜上：當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1﹣2a，﹣1）；當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；當a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，1﹣2a）點評：此題是常規(guī)題型，難點是通過f′（x）的符號，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間19.在正項等比數(shù)列{an}中，a1=4，a3=64．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）記bn=log4an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；（3）記y=﹣λ2+4λ﹣m，對于（2）中的Sn，不等式y(tǒng)≤Sn對一切正整數(shù)n及任意實數(shù)λ恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1）由a1=4，a3=64可求公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{an}的通項公式；（2）由于bn=log4an=n，所以數(shù)列{bn}是首項b1=1，公差d=1的等差數(shù)列，故可求和；（3）先求得Sn取得最小值Smin=1，要使對一切正整數(shù)n及任意實數(shù)λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1，分離參數(shù)得m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，故可求參數(shù)的范圍．【解答】解：（1）∵，解得q=4或q=﹣4（舍去）∴q=4…∴an=a1qn﹣1=4×4n﹣1=4n…

（q=﹣4沒有舍去的得2分）（2）∵bn=log4an=n，…∴數(shù)列{bn}是首項b1=1，公差d=1的等差數(shù)列∴…（3）由（2）知，，當n=1時，Sn取得最小值Smin=1…要使對一切正整數(shù)n及任意實數(shù)λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1即對任意實數(shù)λ，m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，∵﹣λ2+4λ﹣1=﹣（λ﹣2）2+3≤3，所以m≥3，故m得取值范圍是[3，+∞）．…20.如圖四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點。（1）求證：平面；

（2）當E為PB中點時，求證：//平面PDA;（3）當且E為PB的中點時，求與平面所成的角的大小。參考答案：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又平面AEC

∴平面.（2）∵四邊形ABCD是正方形，，在中，又

//，又//平面PDA，（3）∵，，又所以，可以D為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系D-xyz。設(shè)AB=1.則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），從而，，，設(shè)平面PBC的一個法向量為。由得令z=1，得。設(shè)AE與平面PBC所成的角，則與平面PBC所成的角的正弦值為。21.已知函數(shù)（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求k的值；（2）若函數(shù)在[－1,2]上，恒成立，求k的取值范圍.參考答案：(1);（2）【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義判斷得解；（2）對x分三種情況討論，分離參數(shù)求最值即得實數(shù)k的取值范圍.【詳解】由題得，由于函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以，所以k=2.（2）由題得在上恒成立，當x=0時，不等式顯然成立.當，所以在上恒成立，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以.當時，所以在上恒成立，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增