高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專(zhuān)題49 等差數(shù)列性質(zhì) (含解析)

PAGE微專(zhuān)題49等差數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、定義：數(shù)列SKIPIF1<0若從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為SKIPIF1<0的公差，通常用SKIPIF1<0表示2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0，此通項(xiàng)公式存在以下幾種變形：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0：已知數(shù)列中的某項(xiàng)SKIPIF1<0和公差即可求出通項(xiàng)公式（2）SKIPIF1<0：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)即可求出公差，即項(xiàng)的差除以對(duì)應(yīng)序數(shù)的差（3）SKIPIF1<0：已知首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差即可計(jì)算出項(xiàng)數(shù)3、等差中項(xiàng)：如果SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0稱(chēng)為SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)（1）等差中項(xiàng)的性質(zhì)：若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）如果SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)（3）如果SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0注：①一般情況下，等式左右所參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)可以是多個(gè)，但要求兩邊參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)相等。比如SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不一定成立②利用這個(gè)性質(zhì)可利用序數(shù)和與項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)求出某項(xiàng)。例如：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，這種做法可稱(chēng)為“多項(xiàng)合一”4、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系：SKIPIF1<0，所以該通項(xiàng)公式可看作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，從而可通過(guò)函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減。5、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式：SKIPIF1<0，此公式可有以下變形：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，作用：在求等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和時(shí)，不一定必須已知SKIPIF1<0，只需已知序數(shù)和為SKIPIF1<0的兩項(xiàng)即可（2）由通項(xiàng)公式SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0作用：①這個(gè)公式也是計(jì)算等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的主流公式②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是關(guān)于項(xiàng)數(shù)SKIPIF1<0的二次函數(shù)SKIPIF1<0，且不含常數(shù)項(xiàng)，可記為SKIPIF1<0的形式。從而可將SKIPIF1<0的變化規(guī)律圖像化。（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中間項(xiàng)，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的聯(lián)系當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，即偶數(shù)項(xiàng)和與中間兩項(xiàng)和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的最值問(wèn)題：此類(lèi)問(wèn)題可從兩個(gè)角度分析，一個(gè)角度是從數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)分析，另一個(gè)角度是從前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式入手分析（1）從項(xiàng)的特點(diǎn)看最值產(chǎn)生的條件，以4個(gè)等差數(shù)列為例：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0通過(guò)觀察可得：SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以所有的項(xiàng)均為正數(shù)，前SKIPIF1<0項(xiàng)和只有最小值，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以前SKIPIF1<0項(xiàng)和只有最大值，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0雖然是遞減數(shù)列，但因?yàn)镾KIPIF1<0，所以直到SKIPIF1<0，從而前4項(xiàng)和最大，同理，SKIPIF1<0的前5項(xiàng)和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)首項(xiàng)與公差異號(hào)時(shí)，前SKIPIF1<0項(xiàng)和的最值會(huì)出現(xiàn)在項(xiàng)的符號(hào)分界處。（2）從SKIPIF1<0的角度：通過(guò)配方可得SKIPIF1<0，要注意SKIPIF1<0，則可通過(guò)圖像判斷出SKIPIF1<0的最值7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列（1）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，等間距的抽出一些項(xiàng)所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列例如在SKIPIF1<0，以3為間隔抽出的項(xiàng)SKIPIF1<0仍為等差數(shù)列。如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項(xiàng)之間等間距（2）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則相鄰SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0成等差數(shù)列（3）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則有：①SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常數(shù)②SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常數(shù)③SKIPIF1<0為等差數(shù)列①②③可歸納為SKIPIF1<0也為等差數(shù)列8、等差數(shù)列的判定：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0（1）定義（遞推公式）：SKIPIF1<0（2）通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0（關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)或常值函數(shù)）（3）前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式：SKIPIF1<0注：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0從第二項(xiàng)開(kāi)始呈現(xiàn)等差關(guān)系（4）對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)二、典型例題：例1：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________思路：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，考慮SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：關(guān)于等差數(shù)列錢(qián)前SKIPIF1<0項(xiàng)和還有這樣兩個(gè)結(jié)論：（1）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（本題也可用此結(jié)論：SKIPIF1<0，從而利用奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系可得SKIPIF1<0）（2）若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0例2：已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______思路：條件與所求都是“SKIPIF1<0”的形式，由SKIPIF1<0為等差數(shù)列可得SKIPIF1<0也為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，從而可求出SKIPIF1<0的值解：SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0也為等差數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例3：設(shè)SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：已知等差數(shù)列兩個(gè)條件即可嘗試求通項(xiàng)公式，只需將已知等式寫(xiě)成關(guān)于SKIPIF1<0的方程，解出SKIPIF1<0后即可確定通項(xiàng)公式或者數(shù)列中的項(xiàng)解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡(jiǎn)化運(yùn)算。已知SKIPIF1<0，從而聯(lián)想到SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0，所以等式變?yōu)椋篠KIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0。SKIPIF1<0答案：A小煉有話說(shuō)：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個(gè)等式變形為SKIPIF1<0的二元方程，便可求解。但如果能夠觀察出條件間的聯(lián)系，往往能通過(guò)巧妙的變形簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。在平時(shí)的練習(xí)中建議大家多嘗試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行變形。而思路一可作為“預(yù)備隊(duì)”使用。例4：在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由SKIPIF1<0觀察到SKIPIF1<0的特點(diǎn)，所以考慮數(shù)列SKIPIF1<0的性質(zhì)，由等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和特征SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，從而可判定SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且可得公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：B例5：已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____思路：，所求SKIPIF1<0可發(fā)現(xiàn)分子分母的項(xiàng)序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前SKIPIF1<0項(xiàng)和的比值。考慮利用中間項(xiàng)與前SKIPIF1<0項(xiàng)和的關(guān)系，有：SKIPIF1<0，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入SKIPIF1<0即可求值：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：等差數(shù)列中的項(xiàng)與以該項(xiàng)為中間項(xiàng)的前SKIPIF1<0項(xiàng)和可搭建橋梁：SKIPIF1<0，這個(gè)橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項(xiàng)之間的相互轉(zhuǎn)化。例6：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則此數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求前30項(xiàng)和，聯(lián)想到公式SKIPIF1<0，則只需SKIPIF1<0。由條件可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：D例7：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_(kāi)__________思路：條件為相鄰4項(xiàng)和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，考慮SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說(shuō)：本題在解題過(guò)程中突出一個(gè)“整體”的思想，將每一個(gè)四項(xiàng)和都視為整體，同時(shí)在等差數(shù)列中相鄰SKIPIF1<0項(xiàng)和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達(dá)式的值例8：等差數(shù)列SKIPIF1<0有兩項(xiàng)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則該數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)之和為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：可根據(jù)已知兩項(xiàng)求出公差，進(jìn)而求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例9：在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0的值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：考慮從SKIPIF1<0的項(xiàng)出發(fā)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0最大思路二：也可從SKIPIF1<0的圖像出發(fā)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF