中考數學復習之考點題型全歸納與分層精練（全國通用）：專題08 一元二次方程(原卷版)

專題08一元二次方程【專題目錄】技巧1：一元二次方程的解法歸類技巧2：根的判別式的六種常見應用技巧3：根與系數的關系的四種應用類型【題型】一、一元二次方程的概念【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法【題型】三、解一元二次方程：配方法【題型】四、解一元二次方程：公式法【題型】五、解一元二次方程：因式分解法【考綱要求】1、理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法．2、會判斷一元二次方程根的情況；了解一元二次方程根與系數的關系并能簡單應用．3、會列一元二次方程解決實際問題.【考點總結】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一個未知數，未知數的最高次數是二次，且系數不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數項，a是二次項的系數，b是一次項的系數，注意a≠0.解法（降次）①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當b2-4ac≥0時，用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數根;

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數根;

（3）當b2-4ac<0時,方程無實數根.【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關于未知數的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數的最高次數是．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟一化：化二次項系數化為1：方程兩邊都除以二次項系數；二移：移項，使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；3、三配：①配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，方程化為的形式；②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式，右邊合并為一個常數；4、四解：①用直接開平方法解變形后的方程，此時需保證方程右邊是非負數。②分別解這兩個一元二次方程，求出兩根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當b=0時，首選直接開平法（2）當c=0時，首選因式分解法或配方法（3）當a=1,b≠0,c≠0時，首選配方法或因式分解法（4）當a≠1,b≠0,c≠0時，首選公式法或因式分解法一元二次方程根與系數關系的兩類應用（1）求含有兩根的代數式的值：設法將所求代數式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數關系得到的值，求出結果（2）構造以兩數為根的一元二次方程：:由已知兩數x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程【技巧歸納】技巧1：一元二次方程的解法歸類【類型】一、限定方法解一元二次方程題型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法求解1．方程4x2－25＝0的解為()A．x＝eq\f(2,5)B．x＝eq\f(5,2)C．x＝±eq\f(5,2)D．x＝±eq\f(2,5)2．用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為()A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0題型2：當二次項系數為1，且一次項系數為偶數時，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程變?yōu)?)A．(x－2)2＝7B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1D．(x＋2)2＝24．解方程：x2＋4x－2＝0.5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq\f(x,y)的值．題型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．0C．1和2D．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.題型4：如果一個一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－eq\f(1,4)＝2x，方程的解應是()A．x＝eq\f(－2±\r(5),2)B．x＝eq\f(2±\r(5),2)C．x＝eq\f(1±\r(5),2)D．x＝eq\f(1±\r(3),2)9．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解為()A．x＝eq\f(2,7)B．x＝eq\f(7,2)C．x1＝eq\f(7,2)，x2＝－eq\f(7,2)D．x1＝eq\f(2,7)，x2＝－eq\f(2,7)11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝－4C．x1＝3和x2＝－4D．x1＝3和x2＝412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.【類型】三、用特殊方法解一元二次方程題型1：構造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p滿足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．題型2：換元法a．整體換元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.17．x2＋eq\f(1,x2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－1＝0.b．降次換元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒數換元19．解方程：eq\f(x－2,x)－eq\f(3x,x－2)＝2.題型3：特殊值法20．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016.技巧2：根的判別式的六種常見應用【類型】一、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1．已知方程x2－2x－m＝0沒有實數根，其中m是實數，試判斷方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有無實數根．2．已知關于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判別方程根的情況；(2)若方程有一個根為3，求m的值．【類型】二、利用根的判別式求字母的值或取值范圍3．已知關于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)證明：不論m為何值，方程總有實數根；(2)m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．【類型】三、利用根的判別式求代數式的值4．已知關于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有兩個相等的實數根，求eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)的值．【類型】四、利用根的判別式解與函數綜合問題5．y＝eq\r(k－1)x＋1是關于x的一次函數，則一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情況為()A．沒有實數根B．有一個實數根C．有兩個不相等的實數根D．有兩個相等的實數根【類型】五、利用根的判別式確定三角形的形狀6．已知a，b，c是三角形的三邊長，且關于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋eq\f(a－c,4)＝0有兩個相等的實數根，試判斷此三角形的形狀．【類型】六、利用根的判別式探求菱形條件7．已知?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的兩個根．(1)m為何值時，?ABCD是菱形？并求出菱形的邊長．(2)若AB的長為2，求?ABCD的周長是多少？技巧3：根與系數的關系的四種應用類型【類型】一、利用根與系數的關系求代數式的值1．設方程4x2－7x－3＝0的兩根為x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)eq\f(x2,x1＋1)＋eq\f(x1,x2＋1)；(3)x1－x2.【類型】二、利用根與系數的關系構造一元二次方程2．構造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2＋2x－3＝0各根的負倒數．【類型】三、利用根與系數的關系求字母的值或取值范圍3．已知關于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有實數根，求實數m的取值范圍；(2)若方程兩實數根分別為x1，x2，且滿足5x1＋2x2＝2，求實數m的值．【類型】四、巧用根與系數的關系確定字母系數的存在性4．已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數根，是否存在實數k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【題型講解】【題型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．–1【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法例2、解下列方程：（1）；（2）．【題型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程．（1）；（2）．【題型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【題型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）．一元二次方程（達標訓練）一、單選題1．（2022·四川瀘州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝02．（2022·福建省福州第十九中學模擬預測）一元二次方程在用求根公式求解時，a，b，c的值是（

）A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―13．（2022·浙江溫州·一模）用配方法解方程時，配方結果正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）方程的兩個根為（

）A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝15．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）關于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一個根為1．則a的值為（

）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能確定二、填空題6．（2022·江蘇·南京市花園中學模擬預測）設，是關于x的方程的兩個根，，則_____．7．（2022·廣東·樂昌市新時代學校二模）比亞迪汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛，由于該型汽車既環(huán)保，又經濟，銷量快速上升，5月份該公司銷售該型汽車達18輛．設該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長率為x，可列方程為：_________．三、解答題8．（2022·四川南充·一模）已知關于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無論m取何實數，方程總有兩個不相等的實數根．(2)設非0實數m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．一元二次方程（提升測評）一、單選題1．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學校三模）關于的一元二次方程兩個相等的實數根，則關于的一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法判定2．（2022·云南·昆明八中模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（

）A． B． C． D．3．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）若和是關于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．54．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）關于x的方程有兩個解，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k5．（2022·重慶巴蜀中學一模）對于二次三項式（m為常數），下列結論正確的個數有（

）①當時，若，則②無論x取任何實數，等式都恒成立，則③若，，則