中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題29 點、直線、圓的位置關系（解析版）

專題29點、直線、圓的位置關系【考查題型】【知識要點】第一種點與圓的位置關系（設⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d）位置關系圖形定義性質及判定點在圓外點在圓的外部d>r?點P在圓點在圓上點在圓周上d=r?點P在圓點在圓內點在圓的內部d<r?點P在圓三點定圓的畫法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為O，此時OA=OB=OC。于是以點O為圓心，以OA為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。定理：不在同一直線上的三點確定一個圓。第二種直線與圓的位置關系設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點d>r?直線l與⊙相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點d=r?直線l與⊙相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線d<r?直線l與⊙切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。第三種圓與圓的位置關系設⊙O1、⊙O2的半徑分別為位置關系圖形定義性質及判定外離圖1兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．d>R+r?外切圖2兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．d=R+r?相交圖3兩個圓有兩個公共點．R?r<d<R+r?內切圖4兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內部．d=R?r?內含圖5兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部，兩圓同心是兩圓內含的一種特例．0≤d<R?r?兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。三角形外接圓的概念：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。外接圓圓心和三角形位置關系：1）銳角三角形外接圓的圓心在它的內部（如圖1）；2）直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3）鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）。三角形內切圓的概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形?！緮U展】三角形內心、外心、重心、垂心、旁心考查題型一點與圓的位置關系典例1．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內切，則點與圓A的位置關系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內 B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內 D．點C在圓A內，點D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點D在圓A內在Rt△ABC中，∴點C在圓A上故選：C【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵變式1-1．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點在內且點在外”可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，點在內且點在外，，即，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．變式1-2．（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）點是非圓上一點，若點到上的點的最小距離是，最大距離是，則的半徑是______．【答案】或【分析】分點在外和內兩種情況分析；設的半徑為，根據(jù)圓的性質列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設的半徑為當點在外時，根據(jù)題意得：∴當點在內時，根據(jù)題意得：∴故答案為：或．【點睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓的性質，從而完成求解．考查題型二直線與圓的位置關系典例2．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系的進行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線的距離為.∴dr，∴直線和圓相交．故選：B【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系的應用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當d>r時，直線和圓相離，當d=r時，直線和圓相切，當d<r時，直線和圓相交．變式2-1．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知平面內有和點，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點A在⊙O外．點B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關系為相交或相切，故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．變式2-2．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，，以點為圓心，為半徑作，當時，與的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當時，與的位置關系是：相切故選：B【點睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關鍵．變式2-3．（2021·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點、分別在邊、上，且，交于點，交于點．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是______．（2）下列結論：①；②若是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結論的序號是______（把你認為所有正確的都填上）．【答案】

4

①③【分析】(1)將AF繞點A順時針旋轉90°，F(xiàn)點落在G點處，證明，，進而得到，即可求出的周長；(2)對于①：將AM繞點A逆時針旋轉90°，M點落在H點處，證明，即可判斷；對于②：設正方形邊長為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；對于③：證明A、M、F、D四點共圓，得到∠AFM=∠ADM=45°進而求解．【詳解】解：(1)將AF繞點A順時針旋轉90°，F(xiàn)點落在G點處，如下圖所示：∵，且∴，在和中：，∴，∴，又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∵ABCD為正方形，∴AD=AB，在和中：，∴，∴∴，∴、、三點共線，∴，∴，故答案為：；(2)對于①：將AM繞點A逆時針旋轉90°，M點落在H點處，如下圖所示：∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，∴∠2=∠4，在和中：,∴，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：，在和中：,∴，∴，∴，故①正確；對于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，設正方形邊長為2，當F為CD中點時，GB=DF=1，CF=1，設BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中，由勾股定理：，∴，解得，即，∴,故②錯誤；對于③：如下圖所示：∵∠EAF=∠BDC=45°，∴A、M、F、D四點共圓，∴∠AFM=∠ADM=45°，∴△AMF為等腰直角三角形，故③正確；故答案為：①③．【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，三角形全等的證明，四點共圓的判定方法等，屬于綜合題，具有一定難度，熟練掌握各圖形的性質是解決本題的關鍵．變式2-4．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是____．【答案】＜AO＜．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=10，如圖1，設⊙O與AD邊相切于E，連接OE，證明△AOE∽△ACD即可求出與AD相切時的AO值；如圖2，設⊙O與BC邊相切于F，連接OF，證明△COF∽△CAB即可求出BC相切時的AO值，最后即可得到結論．【詳解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如圖1，設⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴，∴AO=；如圖2，設⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴，∴，∴OC=，∴AO=，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜．故答案為：＜AO＜．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．考查題型三切線的判定定理典例3．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．(1)直線與⊙相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）設半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得【點睛】本題主要考查與圓相關的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握平行線性質、勾股定理及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．變式3-1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．(1)判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質與三角形的內角和定理證明從而可得結論；（2）如圖，連接OD，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．（1）證明：∠=45°，，即在上，為的切線．（2）如圖，連接OD，，，，，，，．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，切線的判定，扇形面積的計算，掌握“切線的判定方法與割補法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關鍵．變式3-2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據(jù)和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得，進而得到，再根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為是解題的關鍵．變式3-3．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，的頂點、在⊙上，頂點在⊙外，邊與⊙相交于點，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長度．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求證；（2）①根據(jù)∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求證；②根據(jù)，可得，即，再由勾股定理，即可求解．(1)證明∶∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB為半徑，∴直線是⊙的切線；(2)解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙的半徑的長為．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．變式3-4．（2022·四川南充·中考真題）如圖，為的直徑，點C是上一點，點D是外一點，，連接交于點E．(1)求證：是的切線．(2)若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結論；（2）過點O作OF⊥BC于F，設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到，證得OF為△ABC的中位線，求出OF及EF，即可求出的值．【詳解】（1）證明：連接OC，∵為的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是的切線．（2）解：過點O作OF⊥BC于F，∵，∴設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=，∴=．【點睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關鍵．變式3-5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求AD的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，，即，從而得到AD．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．【點睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質等知識，解題的關鍵是熟練應用圓的相關性質，轉化圓中的角和線段．變式3-6．（2022·山東濰坊·中考真題）筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，車輪縛以竹簡，旋轉時低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅動筒車按逆時針方向轉動，竹筒把水引至A處，水沿射線方向瀉至水渠，水渠所在直線與水面平行；設筒車為，與直線交于P，Q兩點，與直線交于B，C兩點，恰有，連接．(1)求證：為的切線；(2)筒車的半徑為，．當水面上升，A，O，Q三點恰好共線時，求筒車在水面下的最大深度（精確到，參考值：）．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）連接并延長交于，根據(jù)為的直徑可以得到，繼而得到，根據(jù)可證，可以得到，利用等量代換即可證明為的切線；（2）根據(jù)，解出，根據(jù)為的直徑得到，進而得出，，又根據(jù)得出，故可得到，過作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出長，進而求出最大深度．（1）證明：連接并延長交于，連接BM，為的直徑，，，，，又∵∠D=∠D，，，又，，，為的切線；（2）解：如圖所示，，，，是的直徑，，，，，，，，

，，過作交于，交PQ于E，為等腰直角三角形，，，．【點睛】本題主要考查圓的切線的判斷，等腰三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，掌握公式定理并且靈活應用是解題的關鍵．考查題型四切線的性質定理典例4．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是(

)A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質可得，根據(jù)直角三角形兩個銳角互余即可求解．【詳解】，∠ABC＝25°，，AB是⊙O的直徑，，．故選C．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，掌握圓周角定理與切線的性質是解題的關鍵．變式4-1．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質以及角平分線的性質逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質，角平分線的性質定理，平行線的性質，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．變式4-2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點，則和面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質以及等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定及性質進行計算即可．【詳解】解：如圖取中點O，連接．∵是圓O的直徑．∴．∵與圓O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵點O是的中點．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故選：B．【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質，理解切線的性質，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質是解決問題的前提．變式4-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，B為切點，連接交于點，延長交于點，連接．若，且，則的長度是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】連接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的長度．【詳解】解：連接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一個外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵是的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵＝tan30°，∴AB＝．故選：C【點睛】此題考查了切線的性質定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質等知識，求出∠A＝30°是解決此題的關鍵．變式4-4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因為PA、PB分別相切于點A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點睛】本題考查切線的性質，三角形和四邊形的內角和定理，切線長定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造等腰三角形解決問題．變式4-5．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為⊙外一點，與⊙相切于點，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OT，根據(jù)切線的性質求出求，結合利用含的直角三角形的性質求出OT，再利用勾股定理求得PT的長度即可．【詳解】解：連接OT，如下圖．∵與⊙相切于點，∴．∵，，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質，含的直角三角形的性質，勾股定理，求出OT的長度是解答關鍵．變式4-6．（2022·寧夏·中考真題）把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，進而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．【詳解】在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故選：C．【點睛】此題主要考查了切線的性質，含30°角的直角三角形的性質，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關鍵．變式4-7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則___________°．【答案】35【分析】連接并延長，交于點，連接，首先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)為的切線，可得，可得，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，連接．為的直徑，，，為的切線，，，，．故答案為：35．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，作出輔助線是解決本題的關鍵．變式4-8．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點O在BC上，以OB為半徑的圓與AC相切于點A，D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為___________．【答案】或【分析】根據(jù)切線的性質定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【詳解】解：連接OA，①當D點與O點重合時，∠CAD為90°，設圓的半徑=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；②當∠ADC=90°時，過點A作AD⊥BC于點D，∵AO?AC=OC?AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，綜上所述，AD的長為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質和勾股定理，熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵．變式4-9．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的在內平移（可以與該三角形的邊相切），則點到上的點的距離的最大值為________．【答案】【分析】設直線AO交于M點（M在O點右邊），當與AB、BC相切時，AM即為點到上的點的最大距離．【詳解】設直線AO交于M點（M在O點右邊），則點到上的點的距離的最大值為AM的長度當與AB、BC相切時，AM最長設切點分別為D、F，連接OB，如圖∵，，∴，∴∵與AB、BC相切∴∵的半徑為1∴∴∴∴∴∴點到上的點的距離的最大值為．【點睛】本題考查切線的性質、特殊角度三角函數(shù)值、勾股定理，解題的關鍵是確定點到上的點的最大距離的圖形．變式4-10．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點A，長邊與⊙相切于點B，角尺的直角頂點為C，已知，則⊙的半徑為_____．【答案】##【分析】設圓的半徑為rcm，連接OB、OA，過點A作AD⊥OB，垂足為D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r?6）2＋82，求出r即可．【詳解】解：連接OB、OA，過點A作AD⊥OB，垂足為D，如圖所示：∵CB與相切于點B，∴，∴，∴四邊形ACBD為矩形，∴，，設圓的半徑為rcm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可得：，即r2＝（r?6）2＋82，解得：，即的半徑為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了切線的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理列出關于半徑r的方程，是解題的關鍵．考查題型五利用切線長定理求解與證明典例5．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內切圓與分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD，由題意，先利用勾股定理求出AB的長度，設半徑為r，然后求出內切圓的半徑，再利用正方形的面積減去扇形的面積，即可得到答案．【詳解】解：連接OD，如圖：在中，，，，由勾股定理，則，設半徑為r，則，∴，∴四邊形CEOF是正方形；由切線長定理，則，，∵，∴，解得：，∴；∴陰影部分的面積為：；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內切圓，切線的性質，切線長定理，求扇形的面積，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的進行解題．變式5-1．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點，線段交于點M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切線長定理判斷①，結合等腰三角形的性質判斷②，利用切線的性質與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，是的兩條切線，故①正確，故②正確，是的兩條切線，取的中點，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯誤，綜上：正確的說法是個，故選C．【點睛】本題考查的是切線長定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識是解題的關鍵．變式5-2．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內切圓，則圖中陰影部分的面積為（結果保留π）________．【答案】【分析】利用切線長定理求得⊙O的半徑，根據(jù)S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE列式計算即可求解．【詳解】解：設切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∵⊙O為Rt△ABC的內切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，設⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，∴4-x+3-x=5，解得x=1，∴S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE=×3×4-×1×1=5-．故答案為：5-．【點睛】本題考查了切線長定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．變式5-3．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點為⊙外一點，過點作的切線、，點、為切點．連接并延長交的延長線于點，過點作，交的延長線于點．已知，，則的長為________．【答案】【分析】連接OB，在中應用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對應線段成比例即可求解．【詳解】解：連接OB，∵、為的切線，∴，，∴，∴，設的半徑為r，則，在中，，即，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查切線長定理、相似三角形的性質與判定、勾股定理的應用等內容，作出合適的輔助線是解題的關鍵．變式5-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）（1）課本再現(xiàn)：在中，是所對的圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學課上探索兩者之間的關系時，要根據(jù)圓心O與的位置關系進行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關系中任選一種情況證明；（2）知識應用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點A，B，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）①如圖2，當點O在∠ACB的內部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得結論；②如圖3，當O在∠ACB的外部時，作直徑CD，同理可理結論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結論可得∠AOB=120°，由切線的性質可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，從而得PA的長．【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；（2）如圖4，連接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【點睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關鍵．變式5-5．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點為，為優(yōu)弧上一點，，.求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質得出，再根據(jù)角平分線的性質可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)圓的切線的判定、切線長定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，設，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，從而可得，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】（1）如圖，過點作于點∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半徑∴直線與相切；（2）如圖，連接，延長交延長線于點由圓周角定理得：，是的直徑，，AD、BC都是的切線由切線長定理得：∵∴在和中，∴∴設，則在和中，，即解得在中，則．【點睛】本題考查了圓的切線的判定與性質、圓周角定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質、正切三角函數(shù)等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．考查題型六三角形外接圓的相關計算典例6．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質得到∠B=60°，關鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求解．【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系．變式6-1．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點是弧上一動點（不與，重合），下列結論：①；②；③當最長時，；④，其中一定正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點是上一動點，可得不一定等于，故②錯誤；當最長時，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長DA至點E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正確；∵點是上一動點，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②錯誤；當最長時，DB為圓O的直徑，∴∠BCD=90°，∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正確；如圖，延長DA至點E，使AE=DC，∵四邊形ABCD為圓O的內接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正確；∴正確的有3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內接四邊形的性質，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質等知識，熟練掌握圓周角定理，三角形的外接圓，圓內接四邊形的性質，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．變式6-2．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結合的思想解答．變式6-3．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BCD內接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（

）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根據(jù)垂徑定理得到∠COA，根據(jù)等腰三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：連接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，等腰三角形性質，三角形的內角和定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．變式6-4．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內接三角形．若，，則的半徑是______．【答案】1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．變式6-5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認為外心也是O的三角形都寫出來__________________________．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點的長度同為r的點，即可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點到A、B、C三點的距離均為：，則外接圓半徑，圖中D點到O點距離為：，圖中E點到O點距離為：，則可知除△ABC外把你認為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．【點睛】本題考查了外接圓的性質、勾股定理等知識，求出△ABC的外接圓半徑r是解答本題的關鍵．變式6-6．（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點，，均在小正方形的頂點上，且點，在上，，則的長為__________．【答案】【分析】先找到的圓心O，得到∠BOC=45°，利用弧長公式即可求解．【詳解】解：連接AD，作線段AB、AD的垂直平分線，交點即為的圓心O，從圖中可得：的半徑為OB=5，連接OC，∵∠BAC=22.5°，∴∠BOC=222.5°=45°，的長為．．故答案為：【點睛】本題考查了弧長公式，找到的圓心是解題的關鍵．考查題型七三角形內切圓的相關計算典例7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，過△ABD的內心I作IE⊥BD于點E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過點作，根據(jù)切線長定理設，進而結合已知條件表示出，求得的長，進而即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，∵是的內心，∴，設，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，故選B．【點睛】本題考查了三角形內心的性質，切線長定理，掌握切線長定理是解題的關鍵．變式7-1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形材料中，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，延長BA交CD延長線于E，當這個圓為△BCE的內切圓時，此圓的面積最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長BA交CD延長線于E，當這個圓為△BCE的內切圓時，此圓的面積最大，∵，∠BAD=90°，∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，∴，即，∴，∴EB=32cm，∴，設這個圓的圓心為O，與EB，BC，EC分別相切于F，G，H，∴OF=OG=OH，∵，∴，∴，∴，∴此圓的半徑為8cm，故選B．【點睛】本題主要考查了三角形內切圓半徑與三角形三邊的關系，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．變式7-2．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊內切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊的內心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)勾股定理，得出AD=，同時在Rt△BOD中，OD=，進而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出答案．【詳解】解：令內切圓與BC交于點D，內切圓的圓心為O，連接AD，OB，由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，∴圓中的黑色部分的面積與的面積之比為．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，內切圓的性質和面積，等邊三角形的面積以及勾股定理求邊長，正確地計算能力是解決問題的關鍵．變式7-3．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)點是的內心，可得，故①正確；連接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），從而得到∠CBE+∠BCE=60°，進而得到∠BEC=120°，故②正確；，得出，再由點為的中點，則成立，故③正確；根據(jù)點是的內心和三角形的外角的性質，可得，再由圓周角定理可得，從而得到∠DBE=∠BED，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵點是的內心，∴，故①正確；如圖，連接BE，CE，∵點是的內心，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，∴∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正確；∵點是的內心，∴，∴,∵點為的中點，∴線段AD經(jīng)過圓心O，∴成立，故③正確；∵點是的內心，∴，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴，∴∠DBE=∠BED，∴，故④正確；∴正確的有4個．故選：D【點睛】本題主要考查了三角形的內心問題，圓周角定理，三角形的內角和等知識，熟練掌握三角形的內心問題，圓周角定理，三角形的內角和等知識是解題的關鍵．變式7-4．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的內切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是上一點，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內切圓，E，F(xiàn)是切點，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=∠EOF=60°，故選：B．【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，切線的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．變式7-5．（2020·山東濟寧·中考真題）如圖，在△ABC中點D為△ABC的內心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】過點B作BH⊥CD于點H．由點D為△ABC的內心，∠A=60°，得∠BDC=120°，則∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面積．【詳解】解：過點B作BH⊥CD于點H．∵點D為△ABC的內心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，則∠BDH=60°，∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，∴△DBC的面積為CD?BH=×2×2=2.故選B.【點睛】本題考查了三角形內心的相關計算，熟練運用含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．變式7-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．【答案】289【分析】設直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長定理可得，直角三角形的內切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進而計算即即可求解．【詳解】解：設四個全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內切圓的半徑等于是解題的關鍵．變式7-7．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內心的坐標為______．【答案】（2，3）【分析】根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直角三角形，設BC的關系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內心在BD上，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標．【詳解】解：根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，根據(jù)題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設BC的關系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當y=0時，x=3，即G（3,0），∴點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），故答案為：（2，3）．【點睛】本題考查三角形內心、平面直角坐標系、一次函數(shù)的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質等相關知識點，把握內心是三角形內接圓的圓心這個概念，靈活運用各種知識求解即可．變式7-8．（2020·四川達州·中考真題）已知的三邊a、b、c滿足，則的內切圓半徑=____．【答案】1【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負性的性質求得a、b、c的值，再運用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【詳解】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內切圓半徑==1．故答案為1．【點睛】本題考查了非負數(shù)性質的應用、勾股定理逆定理的應用以及直角三角形內切圓的求法，掌握直角三角形內切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關鍵．變式7-9．（2020·青海·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，則的內切圓的半徑為__________．【答案】1【詳解】如圖，設△ABC的內切圓與各邊相切于D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，設半徑為r，CD=r，∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴BE=BF=4-r，AF=AD=3-r，∴4-r+3-r=5，∴r=1．∴△ABC的內切圓的半徑為1．變式7-10．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：．(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）(2)如果的周長為14，內切圓的半徑為1.3，求的面積．【答案】(1)作圖見詳解(2)9.1【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質可知角平分線的交點為三角形內切圓的圓心