中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題29 點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系（解析版）

專題29點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】第一種點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d）位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r?點(diǎn)P在圓點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r?點(diǎn)P在圓點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r?點(diǎn)P在圓三點(diǎn)定圓的畫(huà)法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時(shí)OA=OB=OC。于是以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過(guò)A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個(gè)。定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。第二種直線與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)d>r?直線l與⊙相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)d=r?直線l與⊙相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線d<r?直線l與⊙切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線長(zhǎng)定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。第三種圓與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離圖1兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．d>R+r?外切圖2兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．d=R+r?相交圖3兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．R?r<d<R+r?內(nèi)切圖4兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．d=R?r?內(nèi)含圖5兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．0≤d<R?r?兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。三角形外接圓的概念：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：1）銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；2）直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3）鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）。三角形內(nèi)切圓的概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形?！緮U(kuò)展】三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心考查題型一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系典例1．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點(diǎn)C在圓A上故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵變式1-1．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時(shí)，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，，即，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1-2．（2021·青海·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最小距離是，最大距離是，則的半徑是______．【答案】或【分析】分點(diǎn)在外和內(nèi)兩種情況分析；設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)的半徑為當(dāng)點(diǎn)在外時(shí)，根據(jù)題意得：∴當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，根據(jù)題意得：∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，從而完成求解．考查題型二直線與圓的位置關(guān)系典例2．（2022·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）如圖是“光盤(pán)行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤(pán)與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤(pán)看成圓形的半徑大于餐盤(pán)的圓心到筷子看成直線的距離為.∴dr，∴直線和圓相交．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離，當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切，當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交．變式2-1．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是：相切故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．變式2-3．（2021·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是______．（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．【答案】

4

①③【分析】(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證明，，進(jìn)而得到，即可求出的周長(zhǎng)；(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，證明，即可判斷；對(duì)于②：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；對(duì)于③：證明A、M、F、D四點(diǎn)共圓，得到∠AFM=∠ADM=45°進(jìn)而求解．【詳解】解：(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，如下圖所示：∵，且∴，在和中：，∴，∴，又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∵ABCD為正方形，∴AD=AB，在和中：，∴，∴∴，∴、、三點(diǎn)共線，∴，∴，故答案為：；(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，如下圖所示：∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，∴∠2=∠4，在和中：,∴，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：，在和中：,∴，∴，∴，故①正確；對(duì)于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，GB=DF=1，CF=1，設(shè)BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中，由勾股定理：，∴，解得，即，∴,故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如下圖所示：∵∠EAF=∠BDC=45°，∴A、M、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFM=∠ADM=45°，∴△AMF為等腰直角三角形，故③正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的證明，四點(diǎn)共圓的判定方法等，屬于綜合題，具有一定難度，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．變式2-4．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段AO長(zhǎng)的取值范圍是____．【答案】＜AO＜．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，證明△AOE∽△ACD即可求出與AD相切時(shí)的AO值；如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，證明△COF∽△CAB即可求出BC相切時(shí)的AO值，最后即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴，∴AO=；如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴，∴，∴OC=，∴AO=，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜．故答案為：＜AO＜．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．考查題型三切線的判定定理典例3．（2022·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)直線與⊙相切嗎？并說(shuō)明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）設(shè)半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．（1）證明：∠=45°，，即在上，為的切線．（2）如圖，連接OD，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，扇形面積的計(jì)算，掌握“切線的判定方法與割補(bǔ)法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．變式3-2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，，直線，，點(diǎn)O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接OA，根據(jù)和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為是解題的關(guān)鍵．變式3-3．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，的頂點(diǎn)、在⊙上，頂點(diǎn)在⊙外，邊與⊙相交于點(diǎn)，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點(diǎn)，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求證；（2）①根據(jù)∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求證；②根據(jù)，可得，即，再由勾股定理，即可求解．(1)證明∶∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB為半徑，∴直線是⊙的切線；(2)解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙的半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-4．（2022·四川南充·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線．(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到，證得OF為△ABC的中位線，求出OF及EF，即可求出的值．【詳解】（1）證明：連接OC，∵為的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是的切線．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∵，∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=，∴=．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式3-5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過(guò)⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，，即，從而得到AD．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段．變式3-6．（2022·山東濰坊·中考真題）筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹簡(jiǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線方向?yàn)a至水渠，水渠所在直線與水面平行；設(shè)筒車為，與直線交于P，Q兩點(diǎn)，與直線交于B，C兩點(diǎn)，恰有，連接．(1)求證：為的切線；(2)筒車的半徑為，．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大深度（精確到，參考值：）．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)為的直徑可以得到，繼而得到，根據(jù)可證，可以得到，利用等量代換即可證明為的切線；（2）根據(jù)，解出，根據(jù)為的直徑得到，進(jìn)而得出，，又根據(jù)得出，故可得到，過(guò)作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出長(zhǎng)，進(jìn)而求出最大深度．（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接BM，為的直徑，，，，，又∵∠D=∠D，，，又，，，為的切線；（2）解：如圖所示，，，，是的直徑，，，，，，，，

，，過(guò)作交于，交PQ于E，為等腰直角三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的判斷，等腰三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握公式定理并且靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考查題型四切線的性質(zhì)定理典例4．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是(

)A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】，∠ABC＝25°，，AB是⊙O的直徑，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式4-1．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項(xiàng)A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項(xiàng)D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項(xiàng)C不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．變式4-2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖取中點(diǎn)O，連接．∵是圓O的直徑．∴．∵與圓O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提．變式4-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若，且，則的長(zhǎng)度是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】連接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一個(gè)外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵是的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵＝tan30°，∴AB＝．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出∠A＝30°是解決此題的關(guān)鍵．變式4-4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點(diǎn)，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因?yàn)镻A、PB分別相切于點(diǎn)A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問(wèn)題．變式4-5．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為⊙外一點(diǎn)，與⊙相切于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OT，根據(jù)切線的性質(zhì)求出求，結(jié)合利用含的直角三角形的性質(zhì)求出OT，再利用勾股定理求得PT的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：連接OT，如下圖．∵與⊙相切于點(diǎn)，∴．∵，，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OT的長(zhǎng)度是解答關(guān)鍵．變式4-6．（2022·寧夏·中考真題）把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長(zhǎng)直角邊重合，移動(dòng)量角器使外圓弧與斜邊相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過(guò)量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，進(jìn)而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進(jìn)而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．【詳解】在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．變式4-7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，、是的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則___________°．【答案】35【分析】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，首先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)為的切線，可得，可得，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．為的直徑，，，為的切線，，，，．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．變式4-8．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】或【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【詳解】解：連接OA，①當(dāng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，∠CAD為90°，設(shè)圓的半徑=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；②當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AO?AC=OC?AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，綜上所述，AD的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．變式4-9．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的在內(nèi)平移（可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)直線AO交于M點(diǎn)（M在O點(diǎn)右邊），當(dāng)與AB、BC相切時(shí)，AM即為點(diǎn)到上的點(diǎn)的最大距離．【詳解】設(shè)直線AO交于M點(diǎn)（M在O點(diǎn)右邊），則點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最大值為AM的長(zhǎng)度當(dāng)與AB、BC相切時(shí)，AM最長(zhǎng)設(shè)切點(diǎn)分別為D、F，連接OB，如圖∵，，∴，∴∵與AB、BC相切∴∵的半徑為1∴∴∴∴∴∴點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、特殊角度三角函數(shù)值、勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)到上的點(diǎn)的最大距離的圖形．變式4-10．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與⊙相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，則⊙的半徑為_(kāi)____．【答案】##【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，連接OB、OA，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r?6）2＋82，求出r即可．【詳解】解：連接OB、OA，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，如圖所示：∵CB與相切于點(diǎn)B，∴，∴，∴四邊形ACBD為矩形，∴，，設(shè)圓的半徑為rcm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可得：，即r2＝（r?6）2＋82，解得：，即的半徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于半徑r的方程，是解題的關(guān)鍵．考查題型五利用切線長(zhǎng)定理求解與證明典例5．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD，由題意，先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)半徑為r，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再利用正方形的面積減去扇形的面積，即可得到答案．【詳解】解：連接OD，如圖：在中，，，，由勾股定理，則，設(shè)半徑為r，則，∴，∴四邊形CEOF是正方形；由切線長(zhǎng)定理，則，，∵，∴，解得：，∴；∴陰影部分的面積為：；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，求扇形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．變式5-1．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段交于點(diǎn)M．給出下列四種說(shuō)法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切線長(zhǎng)定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，是的兩條切線，故①正確，故②正確，是的兩條切線，取的中點(diǎn)，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯(cuò)誤，綜上：正確的說(shuō)法是個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）________．【答案】【分析】利用切線長(zhǎng)定理求得⊙O的半徑，根據(jù)S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，設(shè)⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，∴4-x+3-x=5，解得x=1，∴S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE=×3×4-×1×1=5-．故答案為：5-．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)為⊙外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】連接OB，在中應(yīng)用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解．【詳解】解：連接OB，∵、為的切線，∴，，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，在中，，即，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．變式5-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）（1）課本再現(xiàn)：在中，是所對(duì)的圓心角，是所對(duì)的圓周角，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請(qǐng)你在圖2和圖3中畫(huà)出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點(diǎn)A，B，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時(shí)，作直徑CD，同理可理結(jié)論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB=120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，從而得PA的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；如圖3，連接CO，并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；（2）如圖4，連接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，圓周角定理等知識(shí)，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．變式5-5．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，.求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)圓的切線的判定、切線長(zhǎng)定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半徑∴直線與相切；（2）如圖，連接，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)由圓周角定理得：，是的直徑，，AD、BC都是的切線由切線長(zhǎng)定理得：∵∴在和中，∴∴設(shè)，則在和中，，即解得在中，則．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．考查題型六三角形外接圓的相關(guān)計(jì)算典例6．（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．變式6-1．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，可得不一定等于，故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正確；∵點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，DB為圓O的直徑，∴∠BCD=90°，∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正確；如圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=DC，∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正確；∴正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式6-2．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．變式6-3．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（

）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根據(jù)垂徑定理得到∠COA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式6-4．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．【答案】1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式6-5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫(xiě)出來(lái)__________________________．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點(diǎn)的長(zhǎng)度同為r的點(diǎn)，即可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離均為：，則外接圓半徑，圖中D點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：，圖中E點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：，則可知除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，求出△ABC的外接圓半徑r是解答本題的關(guān)鍵．變式6-6．（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)，，均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)，在上，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】先找到的圓心O，得到∠BOC=45°，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：連接AD，作線段AB、AD的垂直平分線，交點(diǎn)即為的圓心O，從圖中可得：的半徑為OB=5，連接OC，∵∠BAC=22.5°，∴∠BOC=222.5°=45°，的長(zhǎng)為．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，找到的圓心是解題的關(guān)鍵．考查題型七三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計(jì)算典例7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)切線長(zhǎng)定理設(shè)，進(jìn)而結(jié)合已知條件表示出，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵是的內(nèi)心，∴，設(shè)，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．變式7-1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形材料中，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，延長(zhǎng)BA交CD延長(zhǎng)線于E，當(dāng)這個(gè)圓為△BCE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)BA交CD延長(zhǎng)線于E，當(dāng)這個(gè)圓為△BCE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，∵，∠BAD=90°，∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，∴，即，∴，∴EB=32cm，∴，設(shè)這個(gè)圓的圓心為O，與EB，BC，EC分別相切于F，G，H，∴OF=OG=OH，∵，∴，∴，∴，∴此圓的半徑為8cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊的關(guān)系，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式7-2．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來(lái)自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)勾股定理，得出AD=，同時(shí)在Rt△BOD中，OD=，進(jìn)而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出答案．【詳解】解：令內(nèi)切圓與BC交于點(diǎn)D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，∴圓中的黑色部分的面積與的面積之比為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積，等邊三角形的面積以及勾股定理求邊長(zhǎng)，正確地計(jì)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式7-3．（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，可得，故①正確；連接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），從而得到∠CBE+∠BCE=60°，進(jìn)而得到∠BEC=120°，故②正確；，得出，再由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則成立，故③正確；根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心和三角形的外角的性質(zhì)，可得，再由圓周角定理可得，從而得到∠DBE=∠BED，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，故①正確；如圖，連接BE，CE，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，∴∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正確；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∴,∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴線段AD經(jīng)過(guò)圓心O，∴成立，故③正確；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴，∴∠DBE=∠BED，∴，故④正確；∴正確的有4個(gè)．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問(wèn)題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，熟練掌握三角形的內(nèi)心問(wèn)題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式7-4．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=∠EOF=60°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．變式7-5．（2020·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在△ABC中點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．由點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，得∠BDC=120°，則∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面積．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．∵點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，則∠BDH=60°，∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，∴△DBC的面積為CD?BH=×2×2=2.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的相關(guān)計(jì)算，熟練運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式7-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為_(kāi)_____．【答案】289【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長(zhǎng)定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進(jìn)而計(jì)算即即可求解．【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于是解題的關(guān)鍵．變式7-7．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)、、、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，則內(nèi)心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】（2，3）【分析】根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系，計(jì)算出△ABC各邊的長(zhǎng)度，易得該三角形是直角三角形，設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，證出點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內(nèi)心在BD上，設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即G（3,0），∴點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱，射線BD是∠ABC的平分線，設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），故答案為：（2，3）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，把握內(nèi)心是三角形內(nèi)接圓的圓心這個(gè)概念，靈活運(yùn)用各種知識(shí)求解即可．變式7-8．（2020·四川達(dá)州·中考真題）已知的三邊a、b、c滿足，則的內(nèi)切圓半徑=____．【答案】1【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求得a、b、c的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理說(shuō)明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【詳解】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內(nèi)切圓半徑==1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理逆定理的應(yīng)用以及直角三角形內(nèi)切圓的求法，掌握直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關(guān)鍵．變式7-9．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）在中，，，，則的內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________．【答案】1【詳解】如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與各邊相切于D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，設(shè)半徑為r，CD=r，∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴BE=BF=4-r，AF=AD=3-r，∴4-r+3-r=5，∴r=1．∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑為1．變式7-10．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：．(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）(2)如果的周長(zhǎng)為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．【答案】(1)作圖見(jiàn)詳解(2)9.1【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心