2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第4章三角函數(shù)第3節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 學(xué)案

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考試要求：1．能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．2．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)及正切函數(shù)在-π2，一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，0)，π2，1(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，1)，π2，0，(π，－1)2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRx值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間2k[2kπ－π，2kπ]k遞減區(qū)間2k[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)kk對稱軸方程x＝kπ＋πx＝kπ無1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，若ω<0，則一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)．3．三角函數(shù)的最值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得，直接將兩個端點處的函數(shù)值作為最值是錯誤的．4．正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期；相鄰兩個對稱中心之間的距離也為半個周期．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)y＝sinx在第一、第四象限單調(diào)遞增． (×)(2)由sinπ6+2π3＝sinπ6，知2π3是正弦函數(shù)y＝sin(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1. (×)(4)若sinx>22，則x>π4. (2．對于函數(shù)f(x)＝sin2x，下列選項中正確的是()A．f(x)在π4B．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱C．f(x)的最小正周期為2πD．f(x)的最大值為2B解析：因為函數(shù)y＝sinx在π2所以f(x)＝sin2x在π4因為f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故B正確．f(x)的最小正周期為π，故C錯誤．f(x)的最大值為1，故D錯誤．3．下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝π3A．y＝2sin2x+πB．y＝2sin2xC．y＝2sinxD．y＝2sin2xB解析：函數(shù)y＝2sin2x-π6的最小正周期T＝2所以函數(shù)y＝2sin2x-π6的圖象關(guān)于直線x4．函數(shù)y＝3－2cosx+π4的最大值為______，此時53π4＋2kπ(k∈Z)解析：函數(shù)y＝3－2cos此時x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k5．cos23°，sin68°，cos97°的大小關(guān)系是____________．sin68°>cos23°>cos97°解析：sin68°＝cos22°，又y＝cosx在0°～180°上是減函數(shù)，所以sin68°>cos23°>cos97°.考點1三角函數(shù)的定義域——基礎(chǔ)性1．函數(shù)y＝tanπ4A．xB．xC．xD．xD解析：函數(shù)y＝tanπ4-x令x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠3π4＋kπ，所以函數(shù)的定義域是xx2．函數(shù)y＝2sinA．πB．2kπ+π6，C．2kπ+π6，D．kπ+π6，B解析：由2sinx－1≥0，得sinx≥12所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k3．已知x∈[0，2π]，則y＝tanxA．0，πC．π，3C解析：由題意tanx≥0，-cosx≥0，x所以函數(shù)的定義域為π，4．函數(shù)y＝lg(sinx)＋cosxx2kπ＜x解得2k所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z1．解答T3容易忽視正切函數(shù)的定義域而錯選D.2．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．考點2三角函數(shù)的值域或最值——綜合性(1)函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinπ2-x·cosπ2+x，A．－1 B．－2C．－3 D．0A解析：f(x)＝cos2x－2cosx(－sinx)＝cos2x＋sin2x＝2sin2x+π因為x∈0，π2，可得2x＋π4∈π4所以f(x)＝2sin2x+π4∈[－1，(2)函數(shù)y＝cos2x－sinx的值域是()A．-1，C．[0，2] D．[－1，1]A解析：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝-sinx+由于sinx∈[－1，1]，所以當(dāng)sinx＝1時，y的最小值為－1；當(dāng)sinx＝－12時，y的最大值為54.所以函數(shù)的值域是求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的類型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．(4)一些復(fù)雜的三角函數(shù)，可考慮利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后求最值．1．函數(shù)y＝2sinxπ6A．[1，2) B．(1，2)C．(1，2] D．[1，2]D解析：對于函數(shù)y＝2sinxπ6≤x≤2π3當(dāng)x＝π2時，函數(shù)y取得最大值為2，故函數(shù)y2．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最小值是_________．－1解析：設(shè)sinx－cosx＝t，則t＝2sinx-π4，sinxcosx因為x∈[0，π]，所以x－π4∈-π4，所以y＝t＋1-t22＝－12(t－1)2＋1，當(dāng)考點3三角函數(shù)的單調(diào)性——應(yīng)用性考向1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)(2021·新高考全國Ⅰ卷)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝7sinx-πA．0，πC．π，3A解析：因為函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-π2，對于函數(shù)f(x)＝7sinx-π6，由2kπ－π2<x－π6<2kπ＋π解得2kπ－π3<x<2kπ＋2π3(k取k＝0，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為-π則0，π2取k＝1，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為5ππ，3π2?(2)函數(shù)y＝tanxkπ-π2，kπ，k∈觀察圖象可得，函數(shù)y＝tanx的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π2本例(1)函數(shù)解析式不變，求函數(shù)在[0，3π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．解：令2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋當(dāng)k＝0時，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為2π當(dāng)k＝1時，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為8π所以函數(shù)在[0，3π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為2π已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間的方法(1)整體代換法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察單調(diào)區(qū)間．考向2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(1)若函數(shù)f(x)＝asinx＋cosx在π4，π2A．(－∞，0] B．(－∞，0)C．(－∞，1] D．(－∞，1)(2)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝cosωx-π4在π12，54解析：由π2<x<π，ω>0，得ωπ2+π又y＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+π2，所以ωπ2+π4≥π2+2kπ，ωπ+π4≤3又由4k＋12-2k+54≤0，k∈Z且2k＋54>0，所以－58<k≤38.又k∈已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的2種方法(1)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．(2)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性分離參數(shù)求解．1．若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在0，5πA．35，C．310，D解析：因為函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在0，5π3上單調(diào)遞增，所以ω×5π2．函數(shù)f(x)＝sin-2x+kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)解析：由已知函數(shù)為y＝－sin2x-π3，欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求y＝sin2x-π3的單調(diào)遞增區(qū)間．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π12，考點4三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性——應(yīng)用性考向1三角函數(shù)的周期性和奇偶性(1)(2021·全國乙卷)函數(shù)f(x)＝sinx3＋cosx3A．3π和2 B．3π和2C．6π和2 D．6π和2C解析：f(x)＝2sinx3+π4，所以f(x)的最小正周期為T＝(2)若函數(shù)f(x)＝sinx+π4+φA．0 B．－πC．π2B解析：由題意知，π4＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－π4，k∈Z，當(dāng)k＝0時，φ＝－(多選題)本例(2)條件改為：若函數(shù)f(x)＝sinx+π4+φA．0 B．－3πC．π4BC解析：由題意知，π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ＋π4，k∈Z.當(dāng)k＝－1時，φ＝－3π4；當(dāng)k三角函數(shù)的周期性與奇偶性(其中A，ω≠0，k∈Z)最小正周期奇函數(shù)的充要條件偶函數(shù)的充要條件y＝Asin(ωx＋φ)2φ＝kπφ＝kπ＋πy＝Acos(ωx＋φ)2φ＝kπ＋πφ＝kπy＝Atan(ωx＋φ)πφ＝k考向2三角函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)y＝cos(2x＋φ)φ<π2圖象的一個對稱中心是π3A．－π3 B．－C．π6 B解析：由題意可知2×π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝－π6＋kπ，k∈Z.又|φ|<π2，所以(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期是π，若將f(xA．關(guān)于直線x＝π12B．關(guān)于直線x＝5πC．關(guān)于點π12D．關(guān)于點5πB解析：由題意知2πω＝π，所以ω＝2；又由f(x)的圖象向右平移π3個單位長度后得到y(tǒng)＝sin2x-π3+φ＝sin2x+φ-2π3的圖象，此時所得到的圖象關(guān)于原點對稱，所以－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝2π3＋kπ，k∈Z.又|φ|＜π2當(dāng)x＝π12時，2x－π3＝－π6，所以A、C錯誤．當(dāng)x＝5π12時，2x函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點．1．函數(shù)f(x)＝sinx+πA．x＝－π2B．x＝0C．x＝π4D．xC解析：f(x)＝sinx+π令x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝π4＋kπ，k∈Z，即對稱軸為x＝π4＋kπ，k∈Z.當(dāng)k＝0時，2．(多選題)若函數(shù)f(x)＝tanωx+π6(ω＞0)的圖象相鄰兩支截直線y＝1所得線段長為A．函數(shù)f(x)在區(qū)間-πB．函數(shù)f(x)的最小正周期為πC．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點π4D．函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝π6ABD解析：因為函數(shù)f(x)＝tanωx+π6(ω＞0)的圖象相鄰兩支截直線y＝1所得線段長為πω＝π2，所以ω＝2，f(當(dāng)x∈-π6，π6，2x＋π6∈函數(shù)f(x)的最小正周期為π2當(dāng)x＝π4時，f(x)＝－3令x＝π6，可得f(x)的值不存在，故函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝π課時質(zhì)量評價(二十三)A組全考點鞏固練1．函數(shù)y＝|sinx|的一個增區(qū)間是()A．-π4C．π，3C解析：由y＝|sinx|的圖象知，該函數(shù)在π，2．函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝12A．0 B．1C．2 D．3C解析：由函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的圖象(如圖所示)，可知其與直線y＝123．(多選題)下列不等式中成立的是()A．sin-π8B．cos400°>cos(－50°)C．sin3>sin2D．sin8π7BD解析：y＝sinx在-π2，0上單調(diào)遞增，又－所以sin-π8<sincos400°＝cos40°>cos50°＝cos(－50°)，故B成立．y＝sinx在π2又π2sin8π7＝－sincos7π8＝－cosπ8＝－sinπ因為0<π7<3π8<π2，且y＝sin所以sinπ7<sin3π8，所以sin84．已知f(x)＝sin2x+π3在區(qū)間[－a，a]上的最小值為－12A．π6 C．π3 B解析：結(jié)合f(x)＝sin2x+π當(dāng)sin2x+π3＝－離坐標原點最近的x值為－π4因為區(qū)間[－a，a]關(guān)于原點對稱，所以a的值為π45．(2022·威海三模)已知函數(shù)f(x)＝sinxcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])為偶函數(shù)，則φ＝()A．0 B．πC．π2C解析：因為f(x)的定義域為R，且為偶函數(shù)，所以f-π2＝fπ2?－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)?cosφ＝－cosφ?因為φ∈[0，π]，所以φ＝π2.當(dāng)φ＝π2時，f(x)＝－sinxsin26．函數(shù)y＝1tanxx≠kπ2所以x－π4≠kπ2，k∈Z，所以x≠kπ2所以原函數(shù)的定義域為xx7．已知奇函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋απ)(ω＞0，0＜α＜1)的最小正周期為8π，則logωα的值是_________．12解析：因為f(x)＝cos(ωx＋απ)(ω＞0，0＜α＜1)的最小正周期為8π，所以ω＝2π8又函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋απ)為奇函數(shù)，所以απ＝π2＋kπ，k∈Z，解得α＝12＋k，k∈又因為0＜α＜1，所以α＝12，故logωα＝log1412B組新高考培優(yōu)練8．(2023·福州質(zhì)檢)下列函數(shù)中，周期為π，且在區(qū)間π2A．y＝|sinx| B．y＝tan2xC．y＝cos2x D．y＝sin2xC解析：對于A，y＝|sinx|的周期為π，在π2對于B，y＝tan2x的周期為π2，在π2，對于C，y＝cos2x的周期為π，在π2對于D，y＝sin2x的周期為π，在π29．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos2x+π3的圖象關(guān)于y軸對稱，則符合條件的ω，φA．1，π3 B．1，C．2，π3 D．2，D解析：因為g(x)＝cos2x+π3的圖象與y＝cos-2x+π所以f(x)＝sin(ωx＋φ)＝cos-2x+π3+2kπ，即cosπ2-ωx+φ＝cos-2x+π3所以π2－ωx－φ＝－2x＋π3＋2kπ，k∈Z，即(2－ω)x－φ＝2kπ－π6，k所以ω＝2，φ＝π6－2kπ，k∈Z10．函數(shù)f(x)＝sin|x|－|sinx|的值域是()A．[－2，0] B．(－2，0)C．(0，2) D．[0，2]A解析：函數(shù)f(x)＝sin|x|－|sinx|的定義域為R，且f(－x)＝sin|－x|－|sin(－x)|＝sin|x|－|sinx|，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)x≥0時，f(x)＝sinx－|sinx|＝0，x∈2kπ所以當(dāng)x≥0時，－2≤f(x)≤0；又f(x)為定義域上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的值域是[－2，0].11．(多選題)若函數(shù)f(x)＝sin2x-π3與g(x)