離散數(shù)學(xué)第06 代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及性質(zhì)

人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材第六章

代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及性質(zhì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)同余關(guān)系商代數(shù)積代數(shù)退出高等學(xué)校21世紀(jì)教材6.1

代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例在正式給出代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義之前，先來說明什么是在一個(gè)集合上的運(yùn)算，因?yàn)檫\(yùn)算這個(gè)概念是代數(shù)結(jié)構(gòu)中不可缺少的基本概念。定義6.1.1

設(shè)S是個(gè)非空集合且函數(shù)或f:Sn

→S，則稱f為一個(gè)n元運(yùn)算。其中n是自然數(shù)，稱為運(yùn)算的元數(shù)或階。當(dāng)n=1時(shí)，稱f為一元運(yùn)算，當(dāng)n=2時(shí)，稱f為二元運(yùn)算，等等。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材注意，n元運(yùn)算是個(gè)閉運(yùn)算，因?yàn)榻?jīng)運(yùn)算后產(chǎn)生的象仍在同一個(gè)集合中。封閉性表明了n元運(yùn)算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運(yùn)算

存在幺元或零元，它在運(yùn)算中起著特殊的作用，稱它為S中的特異元或常數(shù)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材運(yùn)算的例子很多，例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運(yùn)算，合取和析取是

謂詞集合上的二元運(yùn)算；在集合論中，并與交

是集合上的二元運(yùn)算；在整數(shù)算術(shù)中，加、減、乘運(yùn)算是二元運(yùn)算，而除運(yùn)算便不是二元運(yùn)算，因?yàn)樗粷M足封閉性。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材在下面講座的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運(yùn)算，將用’、 或ˉ等符號(hào)表示一元運(yùn)算符；用

、 、⊙、○、

、 、∩、∪等表示二元運(yùn)算符，一元運(yùn)算符常常習(xí)慣于前置、頂置或肩置，如x、、x’；而二元運(yùn)算符習(xí)慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運(yùn)算的概念后，便可定義代數(shù)結(jié)構(gòu)了。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.1.2

設(shè)S是個(gè)非空集合且fi是S上的ni元運(yùn)算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)，記作<S，f1，f2，…，fm>。此外，集合S的基數(shù)即|S|定義代數(shù)結(jié)構(gòu)的基數(shù)。如果S是有限集合，則說代數(shù)結(jié)構(gòu)是有限代數(shù)結(jié)構(gòu)；否則便說是無窮代數(shù)結(jié)構(gòu)。有時(shí)，要考察兩個(gè)或多個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里就有個(gè)是否同類型之說，請(qǐng)看下面定義：人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.1.3

設(shè)兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>和<T，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元數(shù)，則稱這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是同類型的。可見，判定兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否同類型，主要是對(duì)其運(yùn)算進(jìn)行考察。此外，有時(shí)還需要在代數(shù)結(jié)構(gòu)中集合的某個(gè)子集上討論其性質(zhì)，這就引出子代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.1.4設(shè)<S，f1，f2，…，fm>是一代數(shù)結(jié)構(gòu)且非空集T

S在運(yùn)算f1，f2，…，fm作用下是封閉的，且T含有與S中相同的特異元，則稱<T，f1，f2，…，fm>為代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>的子代數(shù)。記為<T，f1，…>

<S，f1，…>。在結(jié)束本節(jié)時(shí)，聲明記號(hào)<S,f1,f2,···,fm>即為一代數(shù)結(jié)構(gòu)，除特別指明外，運(yùn)算符

f1,f2,···,fm均為二元運(yùn)算。根據(jù)需要對(duì)S及f1,f2,···,fm可置不同的集合符和運(yùn)算符。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材6.2

代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)即是結(jié)構(gòu)中任何運(yùn)算所具有的性質(zhì)。1.結(jié)合律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿足結(jié)合律或“⊙”是可結(jié)合的，即(

x)(

y)(

z)(x，y，z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材2.交換律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿足交換律或“⊙”是可交換的，即(

x)(

y)(x，y∈S→x⊙y=⊙x)?？梢?，如果一代數(shù)結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算⊙是可結(jié)合和可交換的，那么，在計(jì)算a1⊙a(bǔ)2⊙···⊙a(bǔ)0=am。am為a的m次冪，m稱a的指數(shù)。下面給出am的歸納定義：人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材S，對(duì)于mI+，其中I+表設(shè)有<S，⊙>且a示正整數(shù)集合，可有：(1)

a1=a(2)am+1=am⊙a(bǔ)由此利用歸納法不難證明指數(shù)定律：(1)am⊙a(bǔ)n=am+n(2)(am)n=amn這里，m,n

I+。類似地定義某代數(shù)結(jié)構(gòu)中的負(fù)冪和給出負(fù)指數(shù)定律。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材3.分配律一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)若具有兩個(gè)運(yùn)算時(shí)，則分配律可建立這兩個(gè)運(yùn)算之間的某種聯(lián)系。給定<S，⊙，○>，則運(yùn)算⊙對(duì)于○滿足左分配律，或者⊙對(duì)于○是可左分配的，即(

x)(y)(

z)(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(y⊙x)○(x⊙z)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材運(yùn)算⊙對(duì)于○滿足右分配律或⊙對(duì)于○是可右分配的，即(

x)(

y)(

z)(x，y，z∈S→(y○z)⊙⊙x)○(z⊙x))類似地可定義○對(duì)于⊙是滿足左或右分配律。若⊙對(duì)于○既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱⊙對(duì)于○滿足分配律或是可分配的。同樣可定義○對(duì)于⊙滿足分配律。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材由定義不難證明下面定理：定理6.2.1

給定<S，⊙，○>且⊙是可交換的。如果⊙對(duì)于○滿足左或右分配律，則⊙對(duì)于○滿足分配律。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材例6.2.3

給定<B,⊙,○>，其中B={0,1}。表6.2.1分別定義了運(yùn)算⊙和○，問運(yùn)算⊙對(duì)于○是可分配的嗎？○對(duì)于⊙呢？人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材形如表6.2.1的表常常被稱為運(yùn)算表或復(fù)合表，它由運(yùn)算符、行表頭元素、列表頭元素及復(fù)合元素四部分組成。當(dāng)集合S的基數(shù)很小，特別限于幾個(gè)時(shí)，代數(shù)結(jié)構(gòu)中運(yùn)算常常用這種表給出。其優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)明直觀，一目了然。解可以驗(yàn)證⊙對(duì)于○是可分配的，但○對(duì)于⊙并非如此。因?yàn)?○(0⊙1)

(1○0)⊙(1○1)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材4.吸收律給定<S，⊙，○>，則⊙對(duì)于○滿足左吸收律:=(

x)(

y)(x，y∈⊙(x○y)=x)⊙對(duì)于○滿足右吸收律:=(

x)(

y)(x，y∈(x○y)⊙x=x)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材若⊙對(duì)于c既滿足左吸收律又滿足右吸收律，則稱⊙對(duì)于○滿足吸收律或可吸收的。對(duì)于⊙滿足左、右吸收律和吸收律類似地定義。若⊙對(duì)于○是可吸收的且○對(duì)于⊙也是可吸收的，則⊙和○是互為吸收的或⊙和○同時(shí)滿足吸收律。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材5.等冪律與等冪元給定<S，⊙>，則“⊙”是等冪的或“⊙”滿足等冪律:=(x)(x∈S→x⊙x=x)給定<S，⊙>且x∈S，則x是關(guān)于“⊙”的等冪元:=x⊙x=x于是，不難證明下面定理：定理6.2.2若x是<S，⊙>中關(guān)于⊙的等冪元，對(duì)于任意正整數(shù)n，則xn=x。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材6.

幺元或單位元給定<S，⊙>且el，er，e∈S，則el為關(guān)于⊙的左幺元:=(

er為關(guān)于⊙的右幺元:=(x)(x∈S→el⊙x=x)x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為⊙的左幺元又為⊙的右幺元，稱e為關(guān)于⊙的幺元。亦可定義如下：e為關(guān)于⊙的幺元:=(

x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材人民郵電出版定理6.2.3

給定<S，⊙>且el和er分別關(guān)于⊙的左、右幺元，則el=er=e且幺元e唯一。高等學(xué)校21世紀(jì)教材7.零元給定<S，○>及θl，θr，θ∈S，則θl為關(guān)于○的左零元:=(

x)(x∈S→θl○x=θl)θr為關(guān)于○的右零元:=(

x)(x∈S→x○θr=θr)θ為關(guān)于○的零元:=(

x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.2.4

給定<S，⊙>且θl和θr分別為關(guān)于⊙的左零元和右零元，則θl=θr=θ且零元θ是唯一的。定理6.2.5

給定<S，⊙>且|S|＞1。如果θ，e∈S，其中θ和e分別為關(guān)于⊙的零元和幺元，則θ≠e。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材8．逆元給定<S，⊙>且幺元e，x∈S，則x為關(guān)于⊙的左逆元:=(

x為關(guān)于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧x⊙y=e)y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關(guān)于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材人民郵電出版給定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，則y為x的左逆元:=y⊙x=ey為x的右逆元:=x⊙y=ey為x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e高等學(xué)校21世紀(jì)教材顯然，若y是x的逆元，則x也是y的逆元，因此稱x與y互為逆元。通常x的逆元表為x-1。一般地說來，一個(gè)元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元。而且，一個(gè)元素可以有左逆元而沒有右逆元，反之亦然。甚至一個(gè)元素的左或右逆元還可以不是唯一的。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.2.6給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且一個(gè)元素x的左逆元xl

和右逆-1元xr

存在，則xl

=xr

。-1

-1

-1定理6.2.7給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且x的逆元x-1存在，則x-1是唯一的。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材9.可約律與可約元給定<S，⊙>且零元θ∈S，則⊙滿足左可約律或是左可約的:=(

x)(y)(

z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧x⊙y=x⊙z)→y=z)，是關(guān)于⊙的左可約元?！褲M足右可約律或是右可約的:=(

x)(y)(

z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，是關(guān)于⊙的右可約元。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材若⊙既滿足左可約律又滿足右可約律或⊙既是左可約又是右可約的，則稱⊙滿足可約律或⊙是可約的。若x既是關(guān)于⊙的左可約元又是關(guān)于⊙的右可約元，則稱x是關(guān)于⊙的可約元。可約律與可約

元也可形式地定義如下：人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材⊙滿足可約律:=(

x)(

y)(

z)(x，y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))給定<S，⊙>且零元θ，x∈S。x是關(guān)于⊙的可約元:=(

y)(

z)(y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y)=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.2.8給定<S，○>且○是可結(jié)合的，如果x是關(guān)于○可逆的且x≠θ，則x也是關(guān)于○的可約元。證明

設(shè)任意y,z

S且有x○y=x○z或y○x=z○x因?yàn)椤鹗强山Y(jié)合的及x是關(guān)于○可逆的，則有x-1○(x○y)=(x-1○x)○y=e○y=y=x-1○(x○z)=(x-1○x)○z=e○z=z人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材故得x○y=x○z

y=z，同樣可證得y○x=z○xy=z，故x是關(guān)于○的可約元。最后，作一補(bǔ)充說明，用運(yùn)算表定義一代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，從表上很能反映出關(guān)于運(yùn)算的各種性質(zhì)。為確定起見，假定<S，○>及x，y，θ，e∈S。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(1)運(yùn)算○具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)表中的每個(gè)元素都屬于S。運(yùn)算○滿足交換律，當(dāng)且僅當(dāng)表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱的。運(yùn)算○是等冪的，當(dāng)且僅當(dāng)表的主對(duì)角線上的每個(gè)元素與所在行或列表頭元素相同。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(4)元素x是關(guān)于○的左零元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中的每個(gè)元素都與x相同；元素y是關(guān)

于○的右零元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中的每個(gè)元素都與y相同；元素θ是關(guān)于○的零元，當(dāng)且僅當(dāng)θ所對(duì)應(yīng)的行和列中的每個(gè)元素都與θ相同。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(5)元素x為關(guān)于○的左幺元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中元素依次與行表頭元素相同；元素y為關(guān)于○的右幺元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中元素依次與列表頭元素相同；元素e是關(guān)于○的幺元，當(dāng)且僅當(dāng)e所對(duì)應(yīng)的行和列中元素分別依次地行表頭元素和列表頭元素相同。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(6)x為關(guān)于○的左逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行的元素中至少存在一個(gè)幺元，y為關(guān)于○的右逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于y所在列的元素中至少存在一個(gè)幺元；x與y互為逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行和y所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都是幺元。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材6.3

同態(tài)與同構(gòu)本節(jié)將闡明兩個(gè)重要概念——同態(tài)與同構(gòu)。在以后各節(jié)中，它們會(huì)經(jīng)常被使用到。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.3.1設(shè)<X，⊙>與<Y，○>是同類型的。稱<X，⊙>同態(tài)于<Y，○>或<Y，○>為<X，⊙>的同態(tài)象，記為<X，⊙>

<Y，○>，其定義如下：<X，⊙>

<Y，○>:=(

f)(f∈YX∧(

x1)(

x2)(x1，x2∈X→f(x1⊙x2)=f(x1)○f(x2)))同時(shí)，稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的同態(tài)映射。可以看出，同態(tài)映射f不必是唯一的。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材兩個(gè)同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)間的同態(tài)定義不僅適用于具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也可以推廣到具有多個(gè)二元運(yùn)算的任何兩個(gè)同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于具有兩個(gè)二元運(yùn)算的兩個(gè)同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)<X,⊙,○>和<Y,

,

>的同態(tài)定義如下：<X,⊙,○>

<Y,

,

>:=(

f)(fYX(

x1)(

x2)(x1,x2

X

(f(x1⊙x2)=f(x1)

f(x2)

f(x2)=f(x1)f(x2)))人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.3.1

如果<X，⊙>

<Y，○>且f為其同態(tài)映射，則<R(f)，○>

<Y，○>。由于函數(shù)f

YX的不同性質(zhì)，將給出不同種類的同態(tài)定義。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.3.2

設(shè)<X，⊙>

<Y，○>且f為其同態(tài)映射。(i)如果f為滿射，則稱f是從<X，⊙>到<Y，>的滿同態(tài)映射。(ii)如果f為單射(或一對(duì)一映射)，則稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的單一同態(tài)映射。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(iii)如果f為雙射(或一一對(duì)應(yīng))，則稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的同構(gòu)映射。記為<X,⊙>

<X,>。顯然，若f是從<X，⊙>到<Y，○>的同構(gòu)映射，則f為從<X，⊙>到<Y，○>的滿同態(tài)映射及單一同態(tài)映射，反之亦然。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材例6.3.4

給定<I,+>，其中I為整數(shù)集合，+為一般加法。作函數(shù)f

II:f(x)=kx，其中x,k

I則當(dāng)k

0時(shí)，f為<I,+>到<I,+>的單一同態(tài)映射。當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，f為從<I,+>到<I,+>的同構(gòu)映射。綜上可以看出，同態(tài)映射具有一個(gè)特性，即“保持運(yùn)算”。對(duì)于滿同態(tài)映射來說，它能

夠保持運(yùn)算的更多性質(zhì)，為此，給出如下定理：人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.3.2

給定<X，⊙，○>

<Y，

，

>且f為其滿同態(tài)映射，則如果⊙和○滿足結(jié)合律，則

和 也滿足結(jié)合律。如果⊙和○滿足交換律，則

和 也滿足交換律。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(c)如果⊙對(duì)于○或○對(duì)于⊙滿足分配律，則對(duì)于

或 對(duì)于 也相應(yīng)滿足分配律。如果⊙對(duì)于○或○對(duì)于⊙滿足吸收律，則對(duì)于

或 對(duì)于 也滿足吸收律。如果⊙和○滿足等冪律，則

和 也滿足等冪律。如果e1和e2分別是關(guān)于⊙和○的幺元，則f(e1)和f(e2)分別為關(guān)于

和 的幺元。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材(g)如果θ1和θ2分別是關(guān)于⊙和○的零元，則f(θ1)和f(θ2)分別為關(guān)于

和 的零元。(h)如果對(duì)每個(gè)x∈X均存在關(guān)于⊙的逆元x-1，則對(duì)每個(gè)f(x)∈Y也均存在關(guān)于 的逆元f(x-1)；如果對(duì)每個(gè)z∈X均存在關(guān)于○的逆元z-1，則對(duì)每個(gè)f(z)∈Y也均存在關(guān)于 的逆元f(z-1)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定理6.3.2告訴我們，對(duì)于滿同態(tài)映射來說，代數(shù)系統(tǒng)的許多性質(zhì)都能保持，如結(jié)合律、交換律、分配律、等冪律、幺元、零元、逆元等，但這種保持性質(zhì)是單向的，即如果<X，⊙>滿同態(tài)于<Y，○>，則<X，⊙>所具有的性質(zhì)，<Y，○>均具有。但反之不然，即<Y，○>所具有的某些

性質(zhì)，<X，⊙>不一定具有。不盡要問，在怎樣

條件下，<Y，○>所具有的性質(zhì)<X，⊙>都完全具有呢?為了回答這個(gè)問題，需要引出兩個(gè)代數(shù)結(jié)

構(gòu)同構(gòu)的概念。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.3.3

設(shè)<X，⊙>與<Y，○>是同類型的。稱<X，⊙>同構(gòu)于<Y，○>，記為<X，⊙>

<Y，○>，其定義如下：<X，⊙>

<Y，○>:=(

f)(f為從<X，⊙>到<Y，>的同構(gòu)映射或更詳細(xì)地定義為：<X，⊙>

<Y，○>:=(

f)(f∈YX∧f為雙射∧f為<X，⊙>到<Y，○>的同態(tài)映射)人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材由定義可知，同構(gòu)的條件比同態(tài)強(qiáng)，關(guān)鍵是同構(gòu)映射是雙射，即一一對(duì)應(yīng)。而同態(tài)映射

不一定要求是雙射。正因?yàn)槿绱?，同?gòu)不再僅

僅象滿同態(tài)那樣對(duì)保持運(yùn)算是單向的了，而對(duì)

保持運(yùn)算成為雙向的。兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)，表面

上似乎很不相同，但在結(jié)構(gòu)上實(shí)際是沒有什么

差別，只不過是集合中的元素名稱和運(yùn)算的標(biāo)

識(shí)不同而已，而它們的所有發(fā)生“彼此相通”。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材這樣，當(dāng)探索新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)或者能夠證明該結(jié)構(gòu)同構(gòu)于另外一個(gè)性質(zhì)已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)，便能直接地知道新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的各種性質(zhì)了。對(duì)于同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)來說，在它們的運(yùn)算表中除了元素和運(yùn)算的標(biāo)記不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根據(jù)這些特征來識(shí)別同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材同構(gòu)是一個(gè)關(guān)系，而且可以證明它是個(gè)等價(jià)關(guān)系，對(duì)此有如下定理：定理6.3.3

代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材證明

顯然<S，⊙>

<S，⊙>，因?yàn)楹愕扔成涫峭瑯?gòu)映射。又若<S，⊙>

<T,

○>且f為其同構(gòu)映射，則f-1為從<T,○>到<S，⊙>的同構(gòu)映射。因此，<T,

○>

<S，⊙>。再令<S，⊙>

<T,

○>及<T,○><R，>，則<S，⊙><R，>。這里因?yàn)槿鬴為<S，⊙>到<T,○>的同構(gòu)映射，g為<T,○>到<R，>的同構(gòu)映射，則gof為從<S，⊙>到<R，>的同構(gòu)映射。可見同構(gòu)關(guān)系滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。因此，同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材由于同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，故令所有的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)集合S，于是可按同構(gòu)關(guān)系將其分類，得到商集S/。因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)系統(tǒng)具有相同的性質(zhì)，故實(shí)際上代數(shù)系統(tǒng)所需要研究的總體并不是S而是S/。在同態(tài)與同構(gòu)中有一個(gè)特例，即具有相同集合的任兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)，這便是自同態(tài)與自同構(gòu)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材定義6.3.4

給定<S，⊙>及f∈SS。f為自同態(tài)映射:=f為從<S，⊙>到<S，⊙>的同態(tài)映射。f為自同構(gòu)映射:=f為從<S，⊙>到<S，⊙>的同構(gòu)映射。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材6.4

同余關(guān)系本節(jié)主要闡明同態(tài)與同余關(guān)系之間的聯(lián)系。主要內(nèi)容如下：定義6.4.1

給定<S，⊙>且E為S中的等價(jià)關(guān)系。E有代換性質(zhì):=(

x1)(

x2)(

y1)(

y2)((x1，xy1，y2∈S∧xEx2∧y1Ey2)→(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的同余關(guān)系:=E有代換性質(zhì)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材與此同時(shí)，稱同余關(guān)系E的等價(jià)類為同余類。由定義可知，同余關(guān)系是代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合

中的等價(jià)關(guān)系，并且在運(yùn)算的作用下，能夠保

持關(guān)系的等價(jià)類。即在x1⊙y1中，如果用集合S中的與x1等價(jià)的任何其它元素x2代換x1，并且用與y1等價(jià)的任何其它元素y2代換y1，則所求的結(jié)果

x2⊙y2與x1⊙y1位于同一等價(jià)類之中。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材亦即若〔x1〕E=〔x2〕E并且〔y1〕E=〔y2〕E，則〔x1⊙y1〕E=〔x2⊙y2〕E。此外，同余關(guān)系與運(yùn)算密切相關(guān)。如果一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中有多個(gè)運(yùn)算，則需要考察等價(jià)關(guān)系對(duì)于所有這些運(yùn)算是否都有代換性質(zhì)。如果有，則說該代數(shù)結(jié)構(gòu)存在同余關(guān)系；否則，同余關(guān)系不存在。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材例6.4.1

給定<I,+,

>，其中I是整數(shù)集合，+和 是一般加、乘法。假設(shè)I中的關(guān)系R定義如下：i1Ri2:=|i1|=|i2|，其中i1、i2

I試問，R為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系嗎？人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材解顯然，R為I中的等價(jià)關(guān)系。接著先考察R對(duì)于+運(yùn)算的代換性質(zhì)：若取i1,-i1,i2

I，則有|i1|=|-i1|和|i2|=|i2|下式(i1R(-i1))

(i1Ri2) (i1+i2)R(-i1+i2)不真。這是因?yàn)榍凹檎?，后件為假。故R對(duì)于+運(yùn)算不具有代換性質(zhì)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材至此可以說，R不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。但為了熟悉驗(yàn)證一個(gè)關(guān)系是否為同余關(guān)系，還是來考察R對(duì)于的代換性質(zhì)。令i1,i2,j1,j2

I且i1Ri2和j1Rj2。于是，對(duì)任意i1,i2,j1,j2都有：(i1Ri2)和(j1Rj2)

(i1

j1)R(i2

j2)因此，E對(duì)于具有代換性質(zhì)。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材可見，考察一個(gè)等價(jià)關(guān)系E對(duì)于有多個(gè)運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為同余關(guān)系，這里有個(gè)次序先后問題，選擇得好，馬上就考察到了E對(duì)某個(gè)運(yùn)算是不具有代換性質(zhì)，那么便可立刻斷定E不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系，否則驗(yàn)證應(yīng)繼續(xù)下去，直至遇到不具有代換性質(zhì)的運(yùn)算為止。如果對(duì)于所有運(yùn)算都有代換性質(zhì)，則E為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材在例6.4.1中，首先發(fā)現(xiàn)R對(duì)于+不具有代換性質(zhì)，那么可斷定R不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。如果你首先驗(yàn)證是R對(duì)于 的代換性質(zhì)，結(jié)果R對(duì)于 有代換性質(zhì)，至此你只是有希望E是同余關(guān)系，但還得繼續(xù)工作，考察R對(duì)于+的代換性質(zhì)，由此結(jié)果才能判定R是否為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。人民郵電出版高等學(xué)校21世紀(jì)教材有了同余關(guān)系的概念后，現(xiàn)在可以給出它與同態(tài)映射的關(guān)系了，請(qǐng)看下面定理：定理6.4.1設(shè)<S，⊙>與<T，○>是同類型的且f為其同態(tài)映射。對(duì)應(yīng)于f，定義關(guān)系Ef如下：xEfy:=f(x)=f(y)， 其中x，y∈S