三角形的五心一次看個(gè)夠

三角形的五心一次看個(gè)夠三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心〞，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在這里分別給予介紹．一、三角形外心的性質(zhì)外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O也在A的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1：〔1〕銳角三角形的外心在三角形；〔2〕直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；〔3〕鈍角三角形的外心在三角形外.2：∠BGC=2∠A，〔或∠BGC=2(180°-∠A).3：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，則點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是：點(diǎn)是的外心(或2=2=2)(點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(為三邊垂直平分線的交點(diǎn))4：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是：=((tanB+tanC)+(tanC+tanA)+(tanA+tanB))/2(tanA+tanB+tanC).或=(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB).5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐標(biāo)：給定求外接圓心坐標(biāo)O〔*，y〕①.首先，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，我們根據(jù)圓心到頂點(diǎn)的距離相等，可以列出以下方程：②.化簡(jiǎn)得到：令；;；;即;;③.最后根據(jù)克拉默法則：因此，*，y為最終結(jié)果；7.假設(shè)O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=證明：設(shè)點(diǎn)在部，由向量根本定理，有，則設(shè)：，則點(diǎn)為△DEF的重心，又，，，∴假設(shè)O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=二、三角形的心心定理的證明：如圖，設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I、過(guò)I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三角平分線交于一點(diǎn)．上述定理的證法完全適用于旁心定理，請(qǐng)同學(xué)們自己完成．設(shè)△ABC的切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的心。2、三角形的心到三邊的距離相等，都等于切圓半徑r。3、r=S/p。證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得結(jié)論。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是△ABC心的充要條件是：。7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)L是△ABC心的充要條件是：/(a+b+c)。8、△ABC中，，則△ABC心L的坐標(biāo)是：。9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和切圓的半徑，O和I分別為其外心和心，則OL2=R2-2Rr。10、角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系：如圖：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，d=AD。設(shè)R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC證明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、切圓半徑r=三、三角形的重心1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為。5.重心是三角形到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6.(萊布尼茲公式)三角形ABC的重心為G，點(diǎn)P為其部任意一點(diǎn)，則7.在三角形ABC中，過(guò)重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=38.從三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別向以他們的對(duì)邊為直徑的圓作切線，所得的6個(gè)切點(diǎn)為，則均在以重心G為圓心，為半徑的圓周上四、三角形的垂心證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來(lái)進(jìn)展證明。證明如圖，AD、BE、CF為ΔABC三條高，過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線相交成ΔA'B'C'，顯然AD為B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C'、A'B'的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證．設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、銳角三角形的垂心在三角形；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的心；或者說(shuō)，三角形的心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。4、△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過(guò)H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。9、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其切圓與外接圓半徑之和的2倍。10、銳角三角形的垂心是垂足三角形的心；銳角三角形的接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短〔施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn)〕。11、西姆松定理〔西姆松線〕：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。12、設(shè)銳角△ABC有一點(diǎn)P，則P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。15、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍?！泊剐陌殡S外接圓，必有平行四邊形〕推論〔垂心余弦定理〕：銳角三角形ABC的垂心為H，則AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R〔可引入有向距，推廣到任意三角形〕16、等邊三角形的垂心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點(diǎn)的那段長(zhǎng)度為高的三分之二。17、垂心的重心坐標(biāo)反而比外心簡(jiǎn)單一點(diǎn)。先計(jì)算以下臨時(shí)變量〔與外心一樣〕：d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。垂心坐標(biāo)：(c1/c，c2/c，c3/c)△ABC中，，垂心H(m,n);分別做高線:AH⊥BC;BH⊥AC;且解得:五、三角形的旁心1：三角形的一條角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2：旁心到三角形三邊的距離相等。3：三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半。5:的心為，而邊外的旁心分別為；分別是三條角平分線，交三角形外接圓于，交外接圓于，交于，顯然，三角形過(guò)同一頂點(diǎn)的、外角平分線互相垂直，并且有、；、；、；；、；；、；、；〔稱為對(duì)稱比定理〕．、，〔俗稱“雞爪〞定理〕．6:7：旁心與心的關(guān)系如圖，為△ABC的心，是△ABC的三個(gè)旁心。注意：的中點(diǎn)D、E、F都在△ABC外接圓上。這一點(diǎn)對(duì)心來(lái)確定旁心的位置大有作用。又由心角公式得：，又因?yàn)?、C、、B四點(diǎn)共圓，故同理，;這便是旁心角公式第8條性質(zhì)第8條性質(zhì)8：旁心于半周長(zhǎng)(p)形影不離如圖：是△ABC的旁心，作垂直于AB于E，垂直于AC于F。易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p9：旁心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三組三點(diǎn)共線如圖：分別是△ABC的三個(gè)旁心，由于是對(duì)頂角的平分線亦為反向延長(zhǎng)線，故三點(diǎn)共線。特別性質(zhì)：1.三角形所在平面一點(diǎn)的向量與面積關(guān)系結(jié)論：設(shè)點(diǎn)在部，假設(shè)，則證明：點(diǎn)在部，且設(shè)：，則點(diǎn)為△DEF的重心，又，，，∴說(shuō)明:此結(jié)論說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)在部時(shí)，點(diǎn)把所分成的三個(gè)小三角形的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個(gè)小三角形相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的三個(gè)向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點(diǎn)在部，且，則的面積與的面積之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2分析：由上述結(jié)論易得：，所以，應(yīng)選D當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心〞時(shí)，我們就能得到有關(guān)三角形“四心〞的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)點(diǎn)在部，且角所對(duì)應(yīng)的邊分別為結(jié)論1：假設(shè)為重心，則分析：重心在三角形的部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2：為心，則分析：心在三角形的部，且易證S△BOC：S△COA：S△AOB=結(jié)論3：為的外心，則分析：易證S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。結(jié)論4：假設(shè)為垂心，則即證明：∵對(duì)任意有，其中為外心，為垂心，∴，則由平面向量根本定理得：存在唯一的一組不全為0的實(shí)數(shù)，使得，即，由結(jié)論3得：所以有：，所以可得：化簡(jiǎn)后可得：應(yīng)用舉例：例1：為的心，且，則角的余弦值為。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：的三邊長(zhǎng)為，設(shè)的外心為，假設(shè)，數(shù)的值。分析：，整理后即得：.由結(jié)論3可得：，又易得，∴.點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組：解方程組可得結(jié)果。例3：設(shè)是的垂心，當(dāng)時(shí)，，數(shù)的值.分析：由結(jié)論4可得：.而，整理后得：由，可得，∴.而，解得，∴.點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點(diǎn)評(píng)，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。通過(guò)這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心〞相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對(duì)提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有很大幫助，正契合了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生能力的要求。所以在平時(shí)的教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常做一些類似的思考與探究，將極提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及思維能力。特別性質(zhì)：2.三角形四心與面積關(guān)系設(shè)O是任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為*軸，建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)顯然不共線，由平面向量根本定理，可設(shè)則〔ⅰ〕假設(shè)O是的心，則故必要性得證．同時(shí)還可得到以下結(jié)論〔ⅱ〕假設(shè)O是的重心，則故〔?！臣僭O(shè)O是的外心則OFEOFEDCBA〔ⅳ〕假設(shè)O是(非直角三角形)的垂心，則故證明：〔A、E、O、F四點(diǎn)共圓〕同理因此只需證先證第一個(gè)等式〔E、C、D、O四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角；E、O、F、A四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角〕所以上式成立，即第一個(gè)等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。特別性質(zhì)：3.三角形四心與面積關(guān)系1.歐拉點(diǎn)：三個(gè)頂點(diǎn)到垂心連線的中點(diǎn)，又稱費(fèi)爾巴哈點(diǎn)。2.歐拉圓：又稱“九點(diǎn)圓〞，即3個(gè)歐拉點(diǎn)、三邊中點(diǎn)和三高垂足九點(diǎn)共圓。3.歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。證明：作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)D。連結(jié)AD、CD、AH