圓錐曲線最值問題方法總結(jié)

課題3：圓錐曲線中最值問題的轉(zhuǎn)化求解最值問題的大體思考方法一一是幾何法，常用工具是圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論;二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式或三角函數(shù)的有界性等知識來求解一、焦點間的相互轉(zhuǎn)化(核心用三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊). X2 V2- ... 、 .一.. .設(shè)橢圓云+b-=1(a>b>0)，F(xiàn)1,F2分別為橢圓的左右焦點，P(x0,y0)為平面內(nèi)的一個定點，M為橢圓上的任意一點。若定點P(x0,y°)在橢圓內(nèi)部，則2a-|P《|W|MF|+|MpW2a+\PF1若定點P(x0,y0)在橢圓外部，則|PF2|W|MF|+|MpW2a+|PF1X2V2 ?設(shè)雙曲線a-b；=1(a>0,b>0),F1,F2分別為雙曲線的左右焦點，P(x0,y0)為平面內(nèi)的一個定點，M為雙曲線上的任意一點。若定點P(x0,y0)與雙曲線右焦點F2在雙曲線右支的同側(cè)，則|PF|-2aW|MF|+|Mp，最大值不存在若定點P(x0,y0)與雙曲線右焦點F2在雙曲線右支的異側(cè)，則"FJW|MF|+MP，最大值不存在。X2V2【例1】P(-2,J3),F2為橢圓25+16=1的右焦點，點M在橢圓上移動，求|MPl+lMF2I的最大值和最小值。【答案】12,8.【分析】欲求IMP|+|MF2I的最大值和最小值可轉(zhuǎn)化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義IMF2I=2a-IMF1I,孔為橢圓的左焦點?！窘馕觥縄MPI+IMF「=IMPI+2a-IMF1I連接PF1延長PF1交橢圓于點M1,延長F1P交橢

圓于點M2由三角形三邊關(guān)系知-|PF1|<IMPI-IMF1I<|PF1|當(dāng)且僅當(dāng)M與M1重合時取右等號，M與M2重合時取左等號。因為2a=10,|PF1I=2所以'(|MP|+|MF2|)max=12,(|MP|+|MF2|)m.n=8x2y2【例2】P(-2,6),F2為橢圓^^+16=1的右焦點，點M在橢圓上移動，求|MP|+|MF2|的最大值和最小值?！敬鸢浮孔畲笾凳?0^37，最小值是(61【分析】點P在橢圓外PF2交橢圓于M，此點使|MP|+|MF2|值最小，求最大值方法同例1。【解析】|MP|+|MF2|=|MP|+2a-|MF1|連接PF1并延長交橢圓于點虬，則M在虬處時|MP|-|MF1|取最大值|PF1|oA|MP|+|MF2|最大值是10+J37，最小值是V61?！纠?】已知是橢圓X2+三=1的左焦點，P是橢圓上的動點，A（1,1）y為定點，則\PA\+”《|的最小值是（） ppA、9—^2B、6—y/2C、3+V2D、6+x/2 ~x^F^O^J^f^ x【答案】B【解析】連接FA并延長交橢圓P'是橢圓上一動點，連接PF[,PF2，PAPF^\+|PA|+\AF^\>\PF^\+|PF|，而PF+PF=\PT\+PF=PF+PA+\AFI，1 2 ' 1 2 1 1 21?.?"習(xí)+lPAl+1af2\>P'F\+PA+\af2\，PF^\+PA>|PFJ+|PA|=|PFJ+\PF|—|AFI=6—J2（當(dāng)P與P'重合時取"=”號）【例4】【例4】已知A(4,0),B(2,2)是橢圓m是橢圓上的動點，求IMAI+IMBI的最大值與最小值?！窘馕觥坑深}意，點A即橢圓右焦點F(如圖三)，設(shè)橢圓左焦點F，則F(—4,0)，由橢2 1 1圓定義可知IMAI=2a—IMF^I=10—IMF^I，則IMAI+1MBI=1班IMBI—IM￡I，顯然，當(dāng)M、F1、B三點共線時，IIMAI—IMB七尸BFI=2^10，所以(IMAI+IMBI)=10+2J10，(IMAI+IMBI)^，n=10—2面。2、雙曲線22、雙曲線2[2009-遼寧理16】已知F是雙曲線》42-^=1的左焦點，A(1,4),P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為【答案】9[解析】..?A點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為F'(4,0),?.?由雙曲線性質(zhì)|PF|-|PF'|=2a=4而|PA|+|PF'|N|AF，|=5兩式相加得|PF|+|PA|N9，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F'三點共線時等號成立.TOC\o"1-5"\h\z— — X2y2［2006江西理9】P是雙曲線—7-=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）2+72=49 16和（x—5）2+y2=1上的點，則|PM|—|PN|的最大值為（）A.6B.7 C.8 D.9［答案】D［解析】如圖，兩定圓的圓心匕（一5,0）、￡（5,0）即雙曲線C的左右焦點，由雙曲線定義可知IPFI-1PF1=6。又IPMI=1PFI+r=1PFI+2，1 2 max 1 1 1IPNI.=IPF2I-r2=IPFI-1，所以（IPMI-IPNI）=IPMI-IPNI.=IPF1I-IPF2I+2+1=6+3=9。V2- ,[2009重慶卷文20】已知以原點O為中心的雙曲線尤2-亍=1.如圖，點A的坐標(biāo)為(f'5,0)，B是圓X2+(V-嘩)2=1上的點，點M在雙曲線右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此時M點的坐標(biāo);?直線CD的方程為y=-工+V5，因點?直線CD的方程為y=-工+V5，因點M在雙曲線右支上，故x>0由方程組34x2—y2=4 —七■5+4\'2 4寸5—4寸2解得x= ,yy=-x+a'5 34x2—y2=4 —七■5+4\'2 4寸5—4寸2解得x= ,y=由方程組<所以M點的坐標(biāo)為(f'5+4技4、5—4耳， )【解析】設(shè)點D的坐標(biāo)為(灰0)，則點A、D為雙曲線的焦點，IMAI-1MD1=2a=2所以IMAI+1MBI=2+1MBI+1MDIN2+1BDI,■-B是圓必+(y-0=1上的點，其圓心為C(0,(5)，半徑為1,故IBDINICDI-1=J10+1從而IMAI+IMBIN2+IBDINJ衍+1當(dāng)M,B在線段CD上時取等號，此時IMAI+1MBI的最小值為<10+1{y{y2=4xF(1,0)x3、拋物線【例】已知拋物線y2=4x，定點A(3,1)，F(xiàn)是拋物線的焦點，在拋物線上求一點P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值?！窘馕觥坑牲cA引準(zhǔn)線的垂線，垂足Q，貝||AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值。如圖，y2=4x,「.p=2,焦點F(1,0)。由點A引準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值.(IAPI+IPFI)=4. yf{y 1由y=1,得P(4,1)為所求點.若另取一點Pf，顯然IAPfI+1PFI=IAPfI+1PQI>IAPI+1PQI。 、【感悟】利用圓錐曲線性質(zhì)求最值是一種特殊方法。在利用時技巧性較強，但可以避繁就簡，化難為易。又如已知圓錐曲線內(nèi)一點A與其上一動點P，求IAPI+如的最值時，常考慮圓錐曲線第二定義。

二、焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)換橢圓的第二定義：平面上任意一點到定點F（焦點）的距離與到相應(yīng)定直線（準(zhǔn)線，且F不再該直線上）的距離之比為常數(shù)e（離心率且e<1）的點的軌跡為圓錐曲線；①當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓；②1<e時，軌跡為雙曲線③當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線。?？碱愋?——\PA\+ed的最值［其中，點A為曲線C（橢圓，雙曲線或拋物線）夕卜一定點，P是曲線C上的一個動點，l是曲線C的一條準(zhǔn)線，d是點P到l的距離，e是曲線C的離心率。］?？碱愋?——|PA|+1|尸尸|的最小值［其中，點A為曲線C（橢圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一e定點（異于焦點），P是曲線C上的一個動點，F(xiàn)是曲線C的一個焦點，e是曲線C的離心率。］1 ……當(dāng)PF前的系數(shù)為1時，PF］與PF2轉(zhuǎn)化，當(dāng)PR前的系數(shù)為^時與準(zhǔn)線轉(zhuǎn)化。1、橢圓"2b2）【例1】定長為dd>一的線段AB的兩個端點分別在橢圓1a—+y=1（a>b>0）上移動，求AB的中點M到橢圓右準(zhǔn)線l的最短距離。a2b2【解析】設(shè)F為橢圓的右焦點，如圖作AA」/于A'，BB,±l于B'，MM'±l于M'，則IMM/1IMM/1=1(AFBF=—\AF+BF2e「)>暨=d2e 2e當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點F時等號成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為d。2eTOC\o"1-5"\h\z2b2 ,2b2【感悟】——是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，d>——是AB過焦點的充要條a a件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運算過程。【例2】已知F1是橢圓5x2+9y2=45的左焦點，P是橢圓上動點，點A（11）是一定點（D求|PA|+3|PF|的最小值 ⑵求\PA+\PF|最大和最小值1 2 1 1 1 112【解析】橢圓5x2+9y2=45中，長半軸a=3，短半軸br5，半焦距c=2，離心率e=3，

右焦點七（2,0>左準(zhǔn)線x=-2。（1）設(shè)P點到左準(zhǔn)線為|PD|,如圖（1）所示。由橢圓的第二定義可知\PFJ=e|PD|,所以PA\+2|PFj=|PA|+2（e|PD|）=|PA|+PD，PA|+|PD|的最小值就是點A到左準(zhǔn)線Z的11 — 一，j11~21')

min（2）由橢圓的第一定義得:PF=2a-PF1，所以，PA11~21')

min（2）由橢圓的第一定義得:PF=2a-PF1，所以，PA+PF=2a+PA-PF又2PA|-|PF||<|AF|=J2，因此，-J2<|PA|-|PF|<41，故2a-很<冏仕吃<2a+42，即6-很<PA+PF^\<6+很2a+42，即6-很<PA+6f2，當(dāng)動點尸位于P1或勺位置時取得最值，如圖②所示。圖(1)圖(2)圖(1)圖(2)x2y2【例3】已知橢圓玄+虧=1，A（4,0），B（2,2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求4|PAI+IPBI的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。【解析】（1）A為橢圓的右焦點。作PQ±右準(zhǔn)線于點Q，則由橢圓的第二定義甘片=。=4，1PQ15???5IPAI+IPBI=IPQI+IPBI.問題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點P，使其到點B和右準(zhǔn)線的距417離之和最小，很明顯，點P應(yīng)是過B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點，最小值為彳。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點，則則|PA|=2a-|PC|..?|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|PB|-|PC|）根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。即-|BC|W|PB|-|PC|W|BC|.當(dāng)P到P"位置時，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有

最大值，最大值為10+|BC|=1。+2（10；當(dāng)？到P"位置時，|PB|-|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值，最小值為10-|BC|=10-2』0。X2 V2【例4】已知定點A（2,1），F(xiàn)（1，0）是橢圓一+\=1的一個焦點，P是橢圓上的點，m8求|PA|+3|PF|的最小值.PFPD【解析】橢圓右準(zhǔn)線/2:X=9.設(shè)P在4上的射影為D，由橢圓第二定義有PFPD=e=-.:.31PF1=1PDI..??IPAI+31PF1=1PAI+IPDI.過A作AE11于E,交3 2橢圓于P3,P3使得IPAI+IPDI達到最小值為7。2、雙曲線|X2V2【例1】已知雙曲線C： ^―=1內(nèi)有一點A（7,3），F(xiàn)是雙曲線C的左焦點，P為雙曲TOC\o"1-5"\h\z9 16線C上的動點，求|PA|+3PF|的最小值。1 3,__【解析】注意到式中的數(shù)值飛”恰為-，則可由雙曲線的第二定義知"尸|等于雙曲線^5 e ^5 一， 3一一， 上的點P到左準(zhǔn)線的距離|PM|，從而|PA|+-|PF|=|PA|+|PM|，由圖知，當(dāng)A、P、M三點共線時，PA+|PM|取得最小值，其大小為|AM|=7+—=—。題中1PF|=d（d為P到焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離），從而將所求轉(zhuǎn)化為定點到準(zhǔn)線的距e離。X2V2【例2】已知雙曲線云一三=1的右焦點為「，點（9,2），試在此雙曲線上求一點M，9 163使IMAI+-IMFI的值最小，并求出這個最小值.

【解析】易知離心率e=3,3lMFI的最值問題轉(zhuǎn)化為IM4I+d的最值問題.如圖所示，】為雙曲線的右準(zhǔn)線，M為雙曲線上任意一點，分別作MN^l于N,AB±l于B.5?.?離心率e=3,……、、」MFI 5 3???由雙曲線的第二定義有=e=云，即\MNI+三IMFI.IMNI 3 5?IMAI+3IMFI=IMAI+IMNI>IABI.當(dāng)且僅當(dāng)M為AB與雙曲線右支的交點時，3IMAI+5IMFI取得最小值.點M的坐標(biāo)為,2)，ca,2)，ca2最小值為9-—c363、拋物線【2009?四川理9】已知直線11：4x-3y+6=0和直線12：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線11和直線12的距離之和的最小值是( ) 2A?2 B?3C?—D?—5 16【答案】A【解析】直線12:x=-1是拋物線產(chǎn)=4x的準(zhǔn)線，F(xiàn)(1,0)是其焦點，如圖所示，由拋物線的定義知P到直線12的距離|PE|=|PF|，因此本題可轉(zhuǎn)化為在拋物線產(chǎn)=4x上找點P使P點到點F(1,0)和到〈距離|PD|的和最小，最小值是F(1,0)到直線〈:4x-3y+6=0的距離。即PDJ=知近=2 1

lFO1PlFO1P[2009-天津理10】設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F,過點M(?彖0)的直線與拋物線相交于A、4AB兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點C，|BF|=2，則△BCF與^ACF的面積之比 =( )【答案】A【解析】如圖過B作準(zhǔn)線l：x=-*的垂線，垂足分別為A’B]，A.§CJD.號B.|，又?.?△BiBCs^AiAC、，【答案】A【解析】如圖過B作準(zhǔn)線l：x=-*的垂線，垂足分別為A’B]，A.§CJD.號B.|，又?.?△BiBCs^AiAC、，由拋物線定義w二|AF「,由|BF|=|BB」=2知\互*=y-0=_33(x-'3).把乂=3代入上式，求得yA=2,xA=2,；,|af|=|aai|^.^aecf_|BF|_2_4丁丁' .電MF冏宣5【2008課標(biāo)11】已知點P在拋物線y2=4X上，那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時點P的坐標(biāo)為( )ricrricr1”A.—，—1B..—，114J14JC.(L2)D.(1,—2)【答案】A■-【解析】點P到拋物線焦點距離等于點P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖PF+PQ=PS+PQ,故最小值在S,P,Q三點共線時取得，1八此時P,Q的縱坐標(biāo)都是一1，所以選A。（點P坐標(biāo)為（二,-1））[2008-遼寧】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ）A.里另B.3C...?舌D.W【答案】A【解析】依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P'，拋物線的焦點為F，則F 0），依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|，則點P到點A（0，2）,的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和MW+lFA>|af|=?（京基2二號.【例】設(shè)P是y2=4X上的一個動點。求點P到點A（-1,1）的距離與點P到直線l:X=-1的距離d之和的最小值。F【解析】如圖，|PA|+d=|PA|+|PF|習(xí)AF|=y/5（當(dāng)A、P、F三點共線時取等號）F三、點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)換L一次函數(shù)法（橢圓 +」=1上的點M（x,y）到定點A（m,0）或B（0,n）距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示|MA|或|MB|，通過動點在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。）

[2014*福建理（理）】設(shè)P,Q分別為圓X2+（y-6）2=2和橢圓町產(chǎn)2=1上的點，則P,Q兩點間的最大距離是（ ）a.5f'2b.幣+%2c.7+42d.6、；2【答案】D【解析】設(shè)橢圓上的點為（x,y）,則?.,圓x2+（y-6）2=2的圓心為（0,6）,半徑為*'2,.L橢圓上的點與圓心的距離為「/+（廠6），二:-9（葉*）'+5任512,?,?P,Q兩點間的最大距離是5f'2+"2=642.X2y2【2005上?！奎cA、B分別是橢圓話+￡=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，3620直線AP的方程是X-V3y+6=0，設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于m+6|2IMBI,求橢圓上的點到點Mm+6|2【解析】設(shè)點M（m,0）,則M到直線AP的距離是于是竺;6=|m+6|,又一6WmW6，解得m=2。設(shè)橢圓上的點（X,y）到點M的距離d于是5 4 9、…d2=(X一2)2+y2=X一4X2+4+20一9X2=9(X一2)2+15,由于一6WxW6, .?.當(dāng)X=；時,d取得最小值V’15X2 一【例1】求定點A（a,0）到橢圓或+y2=1上的點之間的最短距離。【分析】在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示IPAI,轉(zhuǎn)化為x,y的函數(shù)，求最小值?！窘馕觥吭O(shè)P（x,y）為橢圓上任意一點，IPAI2=（x-a）2+y2=（x-a）2+1-g尤2=號（尤-2a）2+1-a2由橢圓方程知x的取值范圍是[-*2,十2]若|a|W，則x=2a時IPAImin^1'1—a2若a〉，則x=V2時IPAI.=Ia—F2I

巨 —若a〈一項，則IPAImin=la+展|【例2】在拋物線y=4x2上求一點，使它到直線y=4x-5的距離最短?！窘馕觥吭O(shè)拋物線上的點P(t,4t2)，點P到直線4x-y-5=0的距離…1、』4t2-4t+5 4(t-2)2+4而-而, 1,[ 4 J八當(dāng)t弓時，dmin=〒，故所求點為(2'D?！纠?】直線m：y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A，B兩點，直線L過點P(-2,0)和線段AB的中點M，求L在y軸上的截距b的取值范圍?！窘馕觥吭O(shè)A(x,y)，B(x,y)，M(x,y)，將y=kx+1代入x2-y2=1得(1-k2)x2-2kx-2=0,1 1 2 2 0 0由題意，q。且x+x<0,xx>0，解之得1<k<偵'2，且M(—^-，二^―)，又由P(-2,0)，12 12 1一k21一k21,k1、 b rTk? 1M(L-，「一)，Q(0,b)共線，得責(zé)= = ——-一-，即1-k21-k2 2k+2-2k2+k+21-k2b=-2k2+k+2卜面可利用函數(shù)f(k)=-2k2+k+2在(1*2)上是減函數(shù)，可得bV-2-。2或">2?！纠?】已知A，B，C三點在曲線y=\&上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1<m<4)，當(dāng)△ABC的面積最大時，m等于()9 5 3A.3B-C-D-號 乙 乙【答案】B【解析】由題意知A(1,1)，B(m，.血)，C(4,2).直線AC所在的方程為x—3y+2=0，|m—3W+21S=1|AC|?d—L、后x|m—3'加+2|=1lni—點B到該直線的距離為d=.%abc=2|AC|d=2^；10x ...點B到該直線的距離為d=3，.《m+2|=3，.《m+2|=1|(^m—|)2—4|., 、 —3.Vme(1,4)，A當(dāng)\m=5時，乙\o"CurrentDocument",一... 9S有最大值，此時m=.

△ABC 42.參數(shù)法——參數(shù)為三角函數(shù)X2y2(若橢圓2.參數(shù)法——參數(shù)為三角函數(shù)X2y2(若橢圓02+土=1上的點到非坐標(biāo)軸上的定點的距離求最值時，可通過橢圓的參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。)【例1】橢圓了+y2=1上的點M(x,y)到直線l：x+2y=4的距離記為d,求d的最值。42【分析】若按上例那樣d=x+2y—4|——=一轉(zhuǎn)化為x或y的函數(shù)就太麻煩了，為了統(tǒng)一變量，可v5以用橢圓的參數(shù)方程，即三角換元?！窘馕觥縟=-?.S+，2=1?.?一；=2甘心R<2sin(0+^4)—2<2sin(0+^4)—2d= = =3小叭t 4(5—2,.而 小叭t 4v'5+2J0當(dāng)sin(0+—)=1時，dmin= 5 , 當(dāng)sin(0+—)=-1時,dg= 5 x2y2【例2】求橢圓n+三=1上的點到直線l:x—2y—12=0的最大距離和最小距離.1612X2y2 fX=4cos0c【解析】橢圓訐+日=1的參數(shù)方程為"=2后sin0(0V2丸)則橢圓上任意一點p坐標(biāo)為P(4cos0,2%'3sin0).?到直線的距離為4cos04cos0—4?‘3sin0—123〔cos0一笠■sin0——: 2 20<0<2兀.?.—旦?！瓷?V生二一1<sin(—)<1.?.當(dāng)sin(——0)=—0<0<2兀TOC\o"1-5"\h\z6 6 6 6 6最大值，即d最大商牝5…..當(dāng)sin(—6—0)二1時，d取最小值，即d最小商f\o"CurrentDocument"x2y2 _【例3】已知點P是橢圓正+《=1上任意一點，則點P到直線x+y—7=0的距離最大\o"CurrentDocument"16 9值為

x2v2 fx=4cos0【解析】由橢圓的方氣閂=1’則可設(shè)"二3sin0（0為參數(shù)）|5sin(0+甲)一7|設(shè)點P(|5sin(0+甲)一7|4cos0+3cos0-7則點P到直線的距離為d= = 當(dāng)sin（0+甲）=一1,距離d的最大值為d=旦=6V2max<2【例4】橢圓蘭+季1（a〉b>0）的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點，求三角形OABa2b2的最小面積【解析】寫出橢圓參數(shù)方程｛*=；源0，設(shè)切點坐標(biāo)為（acon0,bsin0）,可得切線方程cos0 sin0 一 .（a一、 ? x+=—y=1,令y=0，得切線與x軸交點A一—,0:令x=。，得切線與y軸ab kcon0）]sin0)(]sin0)kab

2sin0ab

2sin0cos0ab

sin20>ab,即(s^ob)=ab【例5】已知P是橢圓—+y2=1在第一象限內(nèi)的點，A（2,0）,B（0,1）,O為原點，求四邊形OAPB的面積的最大值?！窘馕觥吭O(shè)P（2cos9,sin0）,（0<0<m/2）,點P到直線AB：x+2y=2的距離,I2cos0+2sin0-21|2,2sin（0+彳）-212偵2-22氣而一2偵5d= = = = < =——= <5 、污 v5 53.判別式法?.?所求面積的最大值為寸'3.判別式法（橢圓上的點到定直線l距離的最值問題，可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題，利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。）X2 一【例1】求橢圓亍+y2=1上的點到直線l:x一y+3=0距離的最小值。

解法一：（切線平移法）設(shè)與直線i平行的直線l'的方程為：尤-y+b=0,尤一y+b=0x2 n5x2+8bx+4b2-4=0，則由△=0nb=±j5，J5+31 6+、.10[J5-316-J5+31 6+、.10[J5-316-■v10,d=———

minv;2則l':x-y士氣3=0，則d—maxv2解法二：（三角代換法）設(shè)P（X0,設(shè)P（X0,打為橢圓上任一點，因為習(xí)+y2=1，所以可設(shè)＜0 . ，則點P到直y=sina0, — [I2cosa-sina+31K5sin(a+p)+31/線l距離為d= = = = ,(p=丸一arctan2)，則TOC\o"1-5"\h\zv2 、.'2dmax|\.'5+3| 6+而7 |y'5-3| 6dmax ,d2 min【2006全國高考題】求拋物線y=-x2上的點到直線l:4x+3y-8=0距離的最小值?！窘馕觥拷夥ㄒ唬海ǘ魏瘮?shù)法）設(shè)拋物線y=-x2上任一點P坐標(biāo)為（％,y0），則點P到直線4x+3y-8=0的距離為d=竺"1，因為P在拋物線上，所以y°=蠟，所以d=|4x0-3x0一8|得d=4。5 min3解法二：（判別式法一一切線平移法）設(shè)與直線l平行的直線l'的方程為：4x+3y+b=0，則直線〃平移到與拋物線相切時的切點Q即拋物線上到直線l最近的點，直線l與〃的距離即所求最小距離。TOC\o"1-5"\h\z\4x+3y+b=0 4由〈 n3x2—4x—b=0，則由△=16+12b=0nb=-—Iy=-x2 34|-+8| .4則拋物線y=-x2上的點到直線l:4x+3y-8=0距離的最小值為d= % —【例】定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標(biāo)。TOC\o"1-5"\h\z【解析】設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為3,y),(X,y)，那么x=y2,x=y2①由題意，1 1 2 2 11 2 2得32=(x—x)2+(y—y)2②，又AB的中點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離為x=氣：％③，2 1 2 1 2將①③代入②整理得4(yy)2+2yy+32—4x2—2x=0④，yy為實數(shù)，\o"CurrentDocument"12 12 12故△=4—4x4(32—4x2—2x)>0又?x>0得x>5⑤，當(dāng)x=5時，^=0由④解4得yy=—1⑥，(y+y)2=y2+y2+2yy=2x—1=2x5—1=2，可得12 4 1 2 1 2 12 2 4 2y+y=J2⑦，由⑥，⑦可得y,y,由①即得相應(yīng)的x,x。1 2 1 2 1 2故AB的中點M距y軸最短距離為x=、，且相應(yīng)的中點坐標(biāo)為(￥,W_)或(、,—W)。04 42 4 2法二：y2=xy2=xy2—y2=x—x/.k=^——】\o"CurrentDocument"112 2 12 12.??32=[1+(2y)2](y—y)2n9=(1+4y2)(y—y)212 122x=x+x=y2+y2①2y=y+y②12 1 2 1 2由①一②2得2x—4y2=—2yy③①+③得4x—4y2=(y—y)2④12 1 2④代入①得4x= —+4y2>2x/9—1=5nx>51+4y2 4當(dāng)且僅當(dāng)廠二=4y2+1 y2=1y=±了時等式成立。1+4y2 2 2.xm.n=4 M弓,±f4、三點共線法(對稱點法)x2y2【例1】已知虧+專=1的焦點為F1、F2,在直線l:x+y+6=0上找一點虬求以F1、F2為焦點，通過點M且點M到兩焦點的距離之和最小時的橢圓方程.【解析】F](-2,0)、F2(2,0),^關(guān)于1的對稱點為F?(-6,-4),連接F?、馬交1于點M即為所求，2a=|FjF2|=4V5,c=2,x2 y2<【例2】即為所求，2a=|FjF2|=4V5,c=2,x2 y2<【例2】已知橢圓宥+尋=1JL匕O和直線l:X-y+9=0，在l上取一點M，經(jīng)過點M且以橢圓的焦點fq為焦點作橢圓，求M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程?！窘馕觥吭O(shè)F是F；關(guān)于l對稱點聯(lián)立得交點M為所求。如圖所示?？汕蟪鯢：坐標(biāo)，過F：q的直線方程與x-y+9=0求出F：坐標(biāo)為（-9,6），即過M的橢圓長軸最短，得F(-3,0)：,q(3,0)，設(shè)｛是Fi關(guān)于1對稱點，可過”的直線方程：x+2y-3=0與x-yE聯(lián)立，得交點M（-5,4），由IMF^I+IMqi=2a,?.?a2=45,c2=9,..?b2=36x2y2所求橢圓方程為45&=15.均值不等式法x2 y2【例】橢圓上天+土-=1上一點P到兩焦點距離之積為m，則m取最大值時，p點的坐標(biāo)是（）A.（5,0）或（-5,0） B.（5，工）或（5，-工）22 2 2x2y2b2=16,所求橢圓為20+16=1-C.(0,3)或(0,-3) D.(電,3)或(-巨,3)22 22【答案】C【解析】因為橢圓第一定義為|PF1|+|PF2|=2a,2a為定值，這正符合均值不等式和一定時，積有最大值這個結(jié)論.因而由|PF1|+|PF2|=10,所以\PF|+\PF橙2』PF|?|PF|，所以當(dāng)|PF|=|PF|時，|PF|?|PF|=m取最大值，故P是2V1 2 12 12短軸的端點時，m最大.【例】過橢圓2x2+y2=2的焦點的直線交橢圓A,B兩點，求AAOB面積的最大值?！窘馕觥坑蛇^橢圓焦點，寫出直線AB方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，將AAOB表示成k的函數(shù)，巧妙運用均值不等式可求其解。橢圓焦點(。,±1)，設(shè)直線過焦點F(0,1)，直線方程y=kx+1與2x2+y2=2聯(lián)立，消去y，得(2+k2)x2+2kx-1=0，其中兩根氣,x2為A,B兩點的橫坐標(biāo)。將三角形AOB看作AAOF與KBOF組合而成，|OF|是公共邊，，它們在公共邊上的高長為Ix一xI.S=-IOFI?Ix一xI,其中|OF|=c=1.1 2 AAOB2 1 2.SAAOB.SAAOB=2’x1-氣I=2((x+x)2-4xx1：4k2+4(2+k2)2\；(2+k2)28:8:—； T"k2+1+ k2+1+2一2.TOC\o"1-5"\h\z■ 1 1 5當(dāng)k2+1=E即燈0時'取等號，…八 克即當(dāng)直線為y=1時，得到AAOB的面積最大值為 ?！纠吭O(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與橢圓交于E,F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.x2 一【解析】依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為—+y2=1直線AB、EF的方程分別為x+2y=0,y=kx(k>0)設(shè)E(x,kx)F(x,kx)(x<x)11 22 1 2

x2 1——+y2=14yx2 1——+y2=14y=kx...x12 _ 2v'1+4k2，2 <1+4k2根據(jù)點到直線距離公式及上式，點E、F到AB的距離分別為氣+2kX]-2|_2(1+2k+J1+4k2)

<5 <5(1+4k2)x2+2kx-2_2(1+2k-J1+4k2)<5 頊5(1+4k2)又|A8|=\污四邊形AFBE的面積為s=水3|(h1+h- 4(1+2k) 2(1+2k)S=-J5 =l-<5(1+4k2)氣：'(1+4k2)(1+2)2 ? =21+4k21+4k+4k21+4k2當(dāng)且僅當(dāng)2k=1即k=1時"="成立,S=2/22 max【2005年全國II】P、Q、M、N四點都在橢圓x2+21=1上，f為橢圓在y軸正半軸上2的焦點.已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF?MF=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.y【解析】①如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQXMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為y=kx+1將此式代入橢圓方程得(2+k2)x2+2kx—1=0設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(x，y)，(x，y)，貝ij1 1 2 2

—k一、「2k2+2 —k+\2k2+2氣——2+k2 ，*2=—2+k28(1+k2)2從而|PQI2=(*—*)2+(y—y)2=—~:—2 1 2 (2+k2)2亦即IPQ1=2七2(1+k2)⑴當(dāng)kN0時，MN的斜率為一1,TOC\o"1-5"\h\z+k2 k2克(1+(1—1)2)同上可得：|MN1= —^—2+(-1)2k4(1+k2)(1+土) 4(2+k2+上)故所求四邊形的面積S=11PQIIMN1= 字= 岑(2+k2)(2+土) 5+2k2+—k2 k21 4(2+u) 1令u=k2+——礙S= =2(1— )k2 5+2u 5+2uu=k2+]N2 當(dāng)k=±1時u=2,S=16且S是以u為自變量的增函數(shù)。.?.k2 916<S<29②當(dāng)k=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2<2,|PQ|二\；2°「.S=-|PQ||MN|=22綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2,最小值為號?！纠咳鐖D所示，設(shè)點F,F是^+、=1的兩個焦點，過F的直線與橢圓相交于A、B1 2 3 2 2兩點，求△FAB的面積的最大值，并求出此時直線的方程。1B(*2,y2)，則【解析】S