上限法及其應用課件

Principleof1第5章 上限法及其應用5.1

概述由于復雜的塑性成形問題要求得數學解非常困難，所以需尋求近似的求解的方法，基于虛功原理和變分極值原理的極限分析法或界限法就是其中的一種，極限分析法分為上限法和下限法。下限法計算時，只假設塑變區(qū)內的應力狀態(tài)為靜可容應力場，即滿足：平衡微分方程：力邊界條件：不違背屈服準則：因只考慮靜而不考慮動，故只滿足靜而未必滿足動，故所求極限總是小于真實載荷，因而稱之為下限法。Principleof2用上限法計算時，只假設塑變區(qū)內的位移狀態(tài)為動可容速度場，即滿足：或速度邊界條件，即在位移邊界面上：或在變形體內保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開裂；滿足體積不變條件，即：或因只考慮動而不考慮靜，故只滿足動而未必滿足靜，故所求極限總是大于真實載荷，因而稱之為上限法。Principleof精確解：在眾多的靜可容應力場和動可容速度場中，必然有一個應力場和與之相對應的速度場，它們滿足全部的靜可容和動可容條件，此唯一的應力場和速度場稱之為精確解（真實解），由此導出的載荷稱為真實載荷。最佳上限解最佳下限解選用上限法的理由：上限解總是大于或等于真實解，以這種高估的近似值選擇加工設備和設計成形模具留有裕度，比較安全。另外動可容速度場便于通過實驗觀察，且計算簡單。3Principleof虛功原理與基本能量方程式4虛功原理可表述如下，在負荷系作用下處于平衡的變形體，若給一微小虛變形，那么由外力所在虛位移上作的功必等于內力在虛應變上所作的功。根據虛功原理，變形體若處于平衡狀態(tài)，當給物體以微小虛位移時，外力的總虛功等于物體的總虛變形能。表達式是：Principleof下面證明虛功方程：據力邊界條件有：則代入前式有：5利用奧氏公式：Principleof展開上式：6考慮平衡微分方程和幾何方程：則有：Principleof上式中以速度、應變速率代位移與應變增量則有虛功率方程：7對于剛塑性體，由于應力球張量不做功，上式變?yōu)椋嚎紤]速度間斷層所消耗功：則最后有：Principleof8上限定理：如圖有一體積V面積S剛塑性體，體內存在速度間斷線。對真實應力場、動可容位移增量場，據虛功和最大散逸功原理有：物理意義：在位移邊界面上，由動可容位移增量場對應的表面力所做功的增量總是大于或等于真實表面力在真實位移場上所做功的增量。Principleof總結：在真應變場中，真應力場與虛應力場相比，由于真應力場所消耗功最大。所以真應力場總是力圖引起最小變形。然而在真應力場中，真應變場與虛應變相比，真應變場消耗的功最小。所以真應變場總是力圖引起最大變形。亦即，真應力狀態(tài)具有最大的性質，而真實應變狀態(tài)具有最小的性質，這兩個性質合起來，就構成了剛塑性體的極值原理。9注意1：若變形體與工具接觸表面之間有摩擦，且發(fā)生相對滑動，則還應計入所消耗的摩擦功。注意2：通常塑性加工中力面為自由表面，所以有：Principleof5.2

速度間斷面及速度特性若塑性區(qū)與剛性區(qū)之間或相鄰的塑性區(qū)之間有相對滑動，即速度發(fā)生跳躍，稱速度間斷。產生相對滑動的交界面稱速度間斷面。據材料的連續(xù)和不可壓縮性，間斷線上法向速度必須相等，否則將發(fā)生開裂或重疊，但切向速度可以間斷。10Principleof間斷線附近速度的關系：上式表明，沿同一條滑移線的速度間斷值為常數。11Principleof12速度矢端圖在直角坐標系內，將表達塑性變形體內質點運動速度的那些點矢量的相關端點聯結起來而形成的曲線稱為速度矢端圖。１．滑移線與速度矢端曲線之間的關系如右圖：正交滑移線對應正交速度曲線。Principleof２．幾種速度間斷線的速端圖１）速度間斷線為直線時：由于兩側分別同速，速度矢端圖縮為一點。剛性區(qū)塑性區(qū)13Principleof２）速度間斷線為弧線時：

ａ．剛性區(qū)（－）＋塑性區(qū)（＋）剛點塑圓弧剛性區(qū)矢端圖塑性區(qū)矢端圖14Principleofｂ．塑性區(qū)（－）＋塑性區(qū)（＋）兩側皆曲線—塑性區(qū)矢端圖＋15塑性區(qū)矢端圖Principleof矩形斷面板條平面應變壓縮問題16Principleof17Johnson上限法解題步驟和應用實例解題步驟：據金屬流動模式（或變形規(guī)律）設計動可容速度場。由動可容速度場，用幾何方程求應變速率場和等效場。計算各項上限功率。用優(yōu)化原理確立使總功率消耗為最小的準獨立變量。求上限解。動可容場模式：間斷速度場、剛性塊模式。局部連續(xù)、邊界間斷速度場模式。3)單元模式。Principleof18例一：平沖頭壓入半無限體各塊間的剪切功率p?(W/2)·vo

=

k(OB·ΔvOB+

AB·ΔvAB+

BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+

CD·ΔvCD)Principleof91若取得仍大于滑移線解5.14Principleof另選變形模式如下圖：20Principleof例二 板條平面應變擠壓21Principleof5.4

Aviztur上限模式及應用22基本思路：用一個連續(xù)速度場vi

=

fi(x,

y,z)來描述整個變形區(qū)內金屬質點的流動考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響PrincipleofN

=

Nd

+

Nt

+

Nf

+

Nq塑性變形功率消耗速度間斷面上剪切功率消耗接觸面上摩擦功率消耗附加外力消耗的（取“+”號）或向系統(tǒng)輸入的附加功率（取“-”號）總的塑性變形功耗基本能量方程23Principleof5.4.1

直角坐標平面應變問題24——考慮側鼓時板坯的平錘