上限法及其應(yīng)用課件

Principleof1第5章 上限法及其應(yīng)用5.1

概述由于復(fù)雜的塑性成形問題要求得數(shù)學(xué)解非常困難，所以需尋求近似的求解的方法，基于虛功原理和變分極值原理的極限分析法或界限法就是其中的一種，極限分析法分為上限法和下限法。下限法計(jì)算時(shí)，只假設(shè)塑變區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為靜可容應(yīng)力場(chǎng)，即滿足：平衡微分方程：力邊界條件：不違背屈服準(zhǔn)則：因只考慮靜而不考慮動(dòng)，故只滿足靜而未必滿足動(dòng)，故所求極限總是小于真實(shí)載荷，因而稱之為下限法。Principleof2用上限法計(jì)算時(shí)，只假設(shè)塑變區(qū)內(nèi)的位移狀態(tài)為動(dòng)可容速度場(chǎng)，即滿足：或速度邊界條件，即在位移邊界面上：或在變形體內(nèi)保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開裂；滿足體積不變條件，即：或因只考慮動(dòng)而不考慮靜，故只滿足動(dòng)而未必滿足靜，故所求極限總是大于真實(shí)載荷，因而稱之為上限法。Principleof精確解：在眾多的靜可容應(yīng)力場(chǎng)和動(dòng)可容速度場(chǎng)中，必然有一個(gè)應(yīng)力場(chǎng)和與之相對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)，它們滿足全部的靜可容和動(dòng)可容條件，此唯一的應(yīng)力場(chǎng)和速度場(chǎng)稱之為精確解（真實(shí)解），由此導(dǎo)出的載荷稱為真實(shí)載荷。最佳上限解最佳下限解選用上限法的理由：上限解總是大于或等于真實(shí)解，以這種高估的近似值選擇加工設(shè)備和設(shè)計(jì)成形模具留有裕度，比較安全。另外動(dòng)可容速度場(chǎng)便于通過實(shí)驗(yàn)觀察，且計(jì)算簡(jiǎn)單。3Principleof虛功原理與基本能量方程式4虛功原理可表述如下，在負(fù)荷系作用下處于平衡的變形體，若給一微小虛變形，那么由外力所在虛位移上作的功必等于內(nèi)力在虛應(yīng)變上所作的功。根據(jù)虛功原理，變形體若處于平衡狀態(tài)，當(dāng)給物體以微小虛位移時(shí)，外力的總虛功等于物體的總虛變形能。表達(dá)式是：Principleof下面證明虛功方程：據(jù)力邊界條件有：則代入前式有：5利用奧氏公式：Principleof展開上式：6考慮平衡微分方程和幾何方程：則有：Principleof上式中以速度、應(yīng)變速率代位移與應(yīng)變?cè)隽縿t有虛功率方程：7對(duì)于剛塑性體，由于應(yīng)力球張量不做功，上式變?yōu)椋嚎紤]速度間斷層所消耗功：則最后有：Principleof8上限定理：如圖有一體積V面積S剛塑性體，體內(nèi)存在速度間斷線。對(duì)真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)、動(dòng)可容位移增量場(chǎng)，據(jù)虛功和最大散逸功原理有：物理意義：在位移邊界面上，由動(dòng)可容位移增量場(chǎng)對(duì)應(yīng)的表面力所做功的增量總是大于或等于真實(shí)表面力在真實(shí)位移場(chǎng)上所做功的增量。Principleof總結(jié)：在真應(yīng)變場(chǎng)中，真應(yīng)力場(chǎng)與虛應(yīng)力場(chǎng)相比，由于真應(yīng)力場(chǎng)所消耗功最大。所以真應(yīng)力場(chǎng)總是力圖引起最小變形。然而在真應(yīng)力場(chǎng)中，真應(yīng)變場(chǎng)與虛應(yīng)變相比，真應(yīng)變場(chǎng)消耗的功最小。所以真應(yīng)變場(chǎng)總是力圖引起最大變形。亦即，真應(yīng)力狀態(tài)具有最大的性質(zhì)，而真實(shí)應(yīng)變狀態(tài)具有最小的性質(zhì)，這兩個(gè)性質(zhì)合起來，就構(gòu)成了剛塑性體的極值原理。9注意1：若變形體與工具接觸表面之間有摩擦，且發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則還應(yīng)計(jì)入所消耗的摩擦功。注意2：通常塑性加工中力面為自由表面，所以有：Principleof5.2

速度間斷面及速度特性若塑性區(qū)與剛性區(qū)之間或相鄰的塑性區(qū)之間有相對(duì)滑動(dòng)，即速度發(fā)生跳躍，稱速度間斷。產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的交界面稱速度間斷面。據(jù)材料的連續(xù)和不可壓縮性，間斷線上法向速度必須相等，否則將發(fā)生開裂或重疊，但切向速度可以間斷。10Principleof間斷線附近速度的關(guān)系：上式表明，沿同一條滑移線的速度間斷值為常數(shù)。11Principleof12速度矢端圖在直角坐標(biāo)系內(nèi)，將表達(dá)塑性變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的那些點(diǎn)矢量的相關(guān)端點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來而形成的曲線稱為速度矢端圖。１．滑移線與速度矢端曲線之間的關(guān)系如右圖：正交滑移線對(duì)應(yīng)正交速度曲線。Principleof２．幾種速度間斷線的速端圖１）速度間斷線為直線時(shí)：由于兩側(cè)分別同速，速度矢端圖縮為一點(diǎn)。剛性區(qū)塑性區(qū)13Principleof２）速度間斷線為弧線時(shí)：

ａ．剛性區(qū)（－）＋塑性區(qū)（＋）剛點(diǎn)塑圓弧剛性區(qū)矢端圖塑性區(qū)矢端圖14Principleofｂ．塑性區(qū)（－）＋塑性區(qū)（＋）兩側(cè)皆曲線—塑性區(qū)矢端圖＋15塑性區(qū)矢端圖Principleof矩形斷面板條平面應(yīng)變壓縮問題16Principleof17Johnson上限法解題步驟和應(yīng)用實(shí)例解題步驟：據(jù)金屬流動(dòng)模式（或變形規(guī)律）設(shè)計(jì)動(dòng)可容速度場(chǎng)。由動(dòng)可容速度場(chǎng)，用幾何方程求應(yīng)變速率場(chǎng)和等效場(chǎng)。計(jì)算各項(xiàng)上限功率。用優(yōu)化原理確立使總功率消耗為最小的準(zhǔn)獨(dú)立變量。求上限解。動(dòng)可容場(chǎng)模式：間斷速度場(chǎng)、剛性塊模式。局部連續(xù)、邊界間斷速度場(chǎng)模式。3)單元模式。Principleof18例一：平?jīng)_頭壓入半無(wú)限體各塊間的剪切功率p?(W/2)·vo

=

k(OB·ΔvOB+

AB·ΔvAB+

BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+

CD·ΔvCD)Principleof91若取得仍大于滑移線解5.14Principleof另選變形模式如下圖：20Principleof例二 板條平面應(yīng)變擠壓21Principleof5.4

Aviztur上限模式及應(yīng)用22基本思路：用一個(gè)連續(xù)速度場(chǎng)vi

=

fi(x,

y,z)來描述整個(gè)變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響PrincipleofN

=

Nd

+

Nt

+

Nf

+

Nq塑性變形功率消耗速度間斷面上剪切功率消耗接觸面上摩擦功率消耗附加外力消耗的（取“+”號(hào)）或向系統(tǒng)輸入的附加功率（取“-”號(hào)）總的塑性變形功耗基本能量方程23Principleof5.4.1

直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題24——考慮側(cè)鼓時(shí)板坯的平錘