2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 數(shù)列專題 作業(yè)（四）

人教版2024屆高二下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)數(shù)列專題（四）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．2．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于50尺，則至少需要A．7天 B．8天 C．9天 D．10天3．已知1，a，x，b，16這五個實數(shù)成等比數(shù)列，則x的值為（

）A．4 B．－4 C．±4 D．不確定4．若為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，，，則等于（

）A．7 B．6 C．5 D．45．已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的整數(shù)A．有3個 B．有2個 C．有1個 D．不存在7．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．40468．等比數(shù)列2，4，8，…的公比為（

）A． B． C．2 D．4二、多選題9．已知公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是關(guān)于n的二次函數(shù)C．不可能是等差數(shù)列 D．“”是“”的充要條件10．設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．11．設(shè)d，Sn分別為等差數(shù)列{an}的公差與前n項和，若S10＝S20，則下列論斷中正確的有（

）A．當(dāng)n＝15時，Sn取最大值 B．當(dāng)n＝30時，Sn＝0C．當(dāng)d＞0時，a10+a22＞0 D．當(dāng)d＜0時，|a10|＞|a22|12．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，則下列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項和的最大值為1 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列三、填空題13．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是一個關(guān)于整除的問題．現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2021這2021個數(shù)中，能被3除余2且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列所有項中，中間項的值為______．14．如圖，給出一個直角三角形數(shù)陣，滿足每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第行第列的數(shù)為，則________.15．裴波那契數(shù)列的前7項是1，1，2，3，5，8，13，則該數(shù)列的第8項為________．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，則的最大值是______．四、解答題17．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.（1）若，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）在（1）的條件下，數(shù)列的前和為，設(shè)，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值；（3）若數(shù)列中有兩項可以表示為某個整數(shù)的不同正整數(shù)次冪，求證:數(shù)列中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列.18．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，，．證明：當(dāng)時，．19．已知首項大于的等差數(shù)列的公差，且滿足；等比數(shù)列的前項和為.若、、成等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求的最大值，并求出此時的值；（3）記，求數(shù)列的前項和.20．已知等差數(shù)列的前n項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的最大值.21．已知兩個正項數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項公式；(2)用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項和．22．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記為的前項和，證明：．參考答案：1．B【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，從而可得為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由得，即，所以為等比數(shù)列，又，所以，故選：B.【點睛】本題考查了與的關(guān)系、等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】設(shè)所需天數(shù)為n天，第一天3為尺，先由等比數(shù)列前n項和公式求出，在利用前n項和，便可求出天數(shù)n的最小值．【詳解】設(shè)該女子所需天數(shù)至少為n天，第一天織布尺，由題意得：，解得，，解得，，所以要織布的總尺數(shù)不少于50尺，該女子所需天數(shù)至少為9天，故選C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的前n項和，直接兩次利用等比數(shù)列前n項和公式便可得到答案．3．A【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)有，而由等比通項公式知，即可求得x的值.【詳解】由題意知：，且若令公比為時有，∴，故選：A4．D【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而建立方程組求解得，再計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以.故選：D5．A【分析】運用累加法求得的通項公式，再運用裂項相消法求和即可.【詳解】解：當(dāng)時，由累加法可得：，所以（），又因為，所以（），當(dāng)時，，符合，所以（），所以，所以．故選：A.6．B【詳解】因為，檢驗，時，，不合題意.時，，滿足題意由對稱性知，.所以，均滿足題意7．A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】∵，∴．∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選:A8．C【分析】利用等比數(shù)列的定義求公比即可.【詳解】由已知2，4，8，…為等比數(shù)列，則公比.故選：C.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的概念.屬于容易題.9．AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項公式及函數(shù)特征結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷ABC，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判斷D.【詳解】解：由知，，則，所以是等差數(shù)列，故A正確；當(dāng)時，不是n的二次函數(shù)，故B不正確；當(dāng)時，，則，所以是等差數(shù)列，故C不正確；當(dāng)時，，故，，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：AD.10．ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.11．BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式逐一判斷即可.【詳解】∵d，Sn分別為等差數(shù)列{an}的公差與前n項和，S10＝S20，∴10a120a1d，解得a1＝﹣14.5d，Sn＝na114.5nd（n﹣15）2，當(dāng)d＞0時，當(dāng)n＝15時，Sn取最小值；當(dāng)d＜0時，當(dāng)n＝15時，Sn取最大值，故A錯誤；當(dāng)n＝30時，Sn（n﹣15）20，故B正確；當(dāng)d＞0時，a10+a22＝2a1+30d＝d＞0，故C正確；當(dāng)d＜0時，|a10|＝|a1+9d|＝﹣5.5d，|a22|＝|a1+21d|＝﹣6.5d，∴當(dāng)d＜0時，|a10|＜|a22|，故D錯誤．故選：BC．12．AD【分析】利用等比數(shù)列通項公式求解，，進(jìn)而求得，，，從而判斷各選項．【詳解】由等比數(shù)列通項公式得，解得，或，又公比為整數(shù)，故，，故A選項正確；，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故B選項錯誤；數(shù)列是以為首項和公比為的等比數(shù)列，故前項和為，故C選項錯誤；，故為等比數(shù)列，即D選項正確；故選：AD．【點睛】本題的解題關(guān)鍵在于結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求得基本量．13．1007【分析】由題可得，可判斷共有135項，且中間項為第68項，即可求出.【詳解】由題意可知，既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，所以是15的倍數(shù)，即，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，數(shù)列共有135項，因此數(shù)列中間項為第68項，且．故中間項的值為1007．故答案為：1007.14．【分析】先根據(jù)等差數(shù)列求，再根據(jù)等比數(shù)列求，即得.【詳解】因為每一列的數(shù)成等差數(shù)列，且第一列公差為，所以，因為從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等為，所以，因此.【點睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式，考查基本分析求解能力.屬基本題.15．21【分析】觀察裴波那契數(shù)列的前面的項,總結(jié)出規(guī)律,求得正確答案.【詳解】觀察裴波那契數(shù)列的前7項可以發(fā)現(xiàn)：前兩項都是，從第三項起，每一項都是前兩項的和，故第項為.故答案為：16．【解析】由等差數(shù)列得通項公式可的設(shè)，，則不等式組等價為，，利用線性規(guī)劃知識求最值即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，設(shè)，，則不等式組等價為，對應(yīng)的可行域為如圖所示的三角形及其內(nèi)部，由，由可得，作沿著可行域的方向平移，當(dāng)直線過點時，取得最大值．由解得，所以，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)，，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用線性規(guī)劃求最值.17．（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件列式，求出等差數(shù)列的公差即可計算作答．（2）由（1）求出，進(jìn)而求得，再求出的最大值即可作答.（3）用c的兩個不同次冪表示數(shù)列的兩項，由此分析、推理計算存在無窮多項是與某一項的差是公差的正整數(shù)倍作答.【詳解】（1）因為是正項等差數(shù)列，則其公差，依題意，，即，解得或(舍去)，因此，，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，，即，則，因函數(shù)在上是增函數(shù)，于是得數(shù)列是遞增數(shù)列，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，因此，，依題意，，所以實數(shù)的最小值為.（3）正項數(shù)列中有兩項可以表示為某個整數(shù)的不同正整數(shù)次冪，則有公差，令，其中是數(shù)列的項，是大于1的整數(shù)，，，令，則，即有是的正整數(shù)倍，對的次冪，則，而c是大于1的整數(shù)，且，則有是正整數(shù)，又是的正整數(shù)倍，因此，是的正整數(shù)倍，即所有形如的數(shù)是數(shù)列中某一項，而也是的一項且滿足上式，從而有等比數(shù)列，其中，公比，所以數(shù)列中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列.【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)研究數(shù)列單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.18．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）對題干條件變形整理為，根據(jù)定義即可證明，并求出通項公式；（2）放縮法和裂項相消法進(jìn)行證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，；相除得整理為：，即，為等差數(shù)列，公差，首項為；所以，整理為：，經(jīng)檢驗，符合要求.（2）由（1）得：．，，，所以，當(dāng)時，．19．（1），；（2）的最大值為，此時或；（3）.【分析】（1）根據(jù)條件得出關(guān)于的方程，解出的值，可得出數(shù)列的通項公式，利用已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）令，利用定義分析數(shù)列的單調(diào)性，由此可得出數(shù)列的最大值及其對應(yīng)的的值；（3）求得，利用錯位相減法求得數(shù)列的前項和，利用裂項相消法可求得數(shù)列的前項和，由此可得出.【詳解】（1），整理可得，，解得，.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，，則，解得或.若，則，解得，不合乎題意.所以，，則，解得，；（2）令，則.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，此時，數(shù)列單調(diào)遞減，即，所以，當(dāng)或時，取最大值，且最大值為；（3）.令，，設(shè)數(shù)列、的前項和分別為、.則，，上式下式得，所以，，，所以，，因此，.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.20．（1）；（2）【分析】（1）由題，等差數(shù)列的前n項和為，，，求得，可求得通項公式；（2）先利用求和公式，求得，即可求得最大值.【詳解】（1）由題，因為等差數(shù)列，，所以又，所以解得所以（2）由（1）可得：可得當(dāng)n=25時，取最大值為625【點睛】本題考查了數(shù)列，熟悉等差數(shù)列的通項和求和公式是解題的關(guān)鍵，熟記基礎(chǔ)題.21．(1)，(2)【分析】（1）由遞推公式列方程求出得通項公式；（2）根據(jù)高斯函數(shù)先推出得解析式，再運用錯位相減法求解.【詳解】（1）由，得，由，得，，因為是正項數(shù)