2021年江蘇省鹽城市高考數(shù)學三模試卷 （解析版）

2021年江蘇省鹽城市高考數(shù)學三模試卷

一、單項選擇題（共8小題）.

1.設集合A={My=J^},B={y\y=yJ~^2）,C={（x，y）|y=Vx-2））則下列集合不為

空集的是（）

A.AQBB.AACC.BACD.AHBQC

2.若復數(shù)z滿足|z-i|W2,則的最大值為（）

A.1B.2C.4D.9

3.同學們都知道平面內直線方程的一般式為Ax+By+C=0,我們可以這樣理解：若直線I

過定點凡（如，yo）,向量1=（A,B）為直線/的法向量，設直線/上任意一點P（x,

y）,則會第=0,得直線/的方程為A（x-xo）+B（y-yo）=0,即可轉化為直線方

程的一般式.類似地，在空間中，若平面a過定點Qo（1,0,-2）,向量7=（2,-3,

1）為平面a的法向量，則平面a的方程為（）

A.2x-3y+z+4=0B.2x+3y-z-4=0

C.2x-3y+z=0D.2x+3y-z+4=0

i兀

4.將函數(shù)f（x）=sin/x的圖象向左平移g個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若成（0,

m）時，函數(shù)g（x）的圖象在/（x）的上方，則實數(shù)機的最大值為（）

5.已知數(shù)列{小}的通項公式為a產(chǎn),1、，，則其前〃項和為（）

（n+1）I

A.]-rB.]-C.9-D.27--r

（n+1）!n!n!（n+1）!

6.韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關系，如：設一

元三次方程a^+bjtP+cx+d—O（aWO）的3個實數(shù)根為x”及，羽，則X1+X2+X3---,

a

X1X2+X2X3+XM1=￡，X\X2X3=~.已知函數(shù)/（尤）=2%3-X+1,直線/與/（X）的圖象相

aa

切于點尸（xi,/（X1））,且交/（幻的圖象于另一點。（X2,/（X2）），則（）

A.2xi-X2=0B.2x\-X2-1=0C.2XI+A：2+1=0D.2XI+X2=0

22

7.設雙曲線C三三=1（〃，b>0）的焦距為2,若以點P（m,n）Gn<a）為圓心

的圓尸過C的右頂點且與C的兩條漸近線相切，則。戶長的取值范圍是（)

A.（0,—）B.（0,1）C.（—,1）D.（—,—）

2242

8.已知正數(shù)x,y,z滿足》/町二5/二4，則x,y,z的大小關系為（）

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知X?N（陽，o|2）,丫?N（陷，o22））|1|>|12?o|>0,o2>0,則下列結論中一

定成立的有（）

A.若。1>。2,則P（|X-MW1）<P（卜-園區(qū)1）

B.若。1>。2,則尸（|X-MWI）>P（|y-"2|Wi）

c.若。尸。2,則尸（x>陽）+p（y>m）=1

D.若0尸。2,則p（x>H2）+p（y>m）<i

10.設數(shù)列｛如｝的前〃項和為S“，若斯+S“=4〃2+B〃+C,則下列說法中正確的有（）

A.存在A,B,C使得｛如｝是等差數(shù)列

B.存在A,B,C使得｛斯｝是等比數(shù)列

C.對任意A,B,C都有｛斯｝一定是等差數(shù)列或等比數(shù)列

D.存在A,B,C使得｛〃“｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

11.已知矩形ABCZ）滿足A8=l,AZ）=2,點E為3C的中點，將aABE沿AE折起，點8

折至今,得到四棱錐8'-AECD,若點P為夕。的中點，則（）

A.CP〃平面夕AE

B.存在點方，使得CPL平面AB'D

C.四棱錐B'-4EC。體積的最大值為返

4

D.存在點8,，使得三棱錐夕-AOE外接球的球心在平面AECZ）內

12.將平面向量Z=（Xl,X2）稱為二維向量，由此可推廣至〃維向量工=（Xl,X2,X”）,對

n

于九維向量:三，其運算與平面向量類似，如數(shù)量積之?E=|W|￡|COS8=￡x/（8為

i=l1

向量2]的夾角），其向量W的模l曰=Jf%]2,則下列說法正確的有（）

Vi=l1

nnn

A.不等式（￡Xj2）（工丫'）<（Exxy.）2可能成立

i=li=l1i=l1

nnn

2

B.不等式(￡Xj2)(￡yi)2(￡xiY1)2一定成立

i=li=li=l

nn

c.不等式〃EX12V(EXi)2可能成立

i=li=l

n1n

D.若為＞0（i=l,2,〃）,則不等式￡工Xj2/一定成立

i=lxii=l1

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.文旅部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進大國重器、感受中國力

量”“體驗美麗鄉(xiāng)村、助力鄉(xiāng)村振興”三個主題，遴選推出“建黨百年紅色旅游百條精

品線路”.這些精品線路中包含上海一大會址、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡等5

個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)，還有港珠澳大橋、北京大興國際機場、“中國天眼”、“兩彈一

星”紀念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州華茂村等7個展現(xiàn)改革開放和新時代發(fā)展

成就、展示科技強國和脫貧攻堅成果的景區(qū).為安排旅游路線，從上述12個景區(qū)中選3

個景區(qū)，則至少含有1個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法有種.

14.滿足等式（1-tana）（1-tanp）=2的數(shù)組（a,p）有無窮多個，試寫出一個這樣的

數(shù)組.

15.若向量；，己滿足□-%=?，則的最小值為-

16.對于函數(shù)/（x）=lnx+iwc-+nx+\,有下列4個論斷：

甲：函數(shù)/（X）有兩個減區(qū)間；

乙：函數(shù)/（X）的圖象過點（1,-1）;

丙：函數(shù)/（X）在X=1處取極大值；

T：函數(shù)/（X）單調.

若其中有且只有兩個論斷正確，則機的取值為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點。滿足3麗=前與標.菽=0.

（1）若b=c,求A的值；

（2）求8的最大值.

18.請在①m=②0=2；③0=3這3個條件中選擇1個條件，補全下面的命題使其

成為真命題，并證明這個命題（選擇多個條件并分別證明的按前1個評分）.

命題：已知數(shù)列｛“”｝滿足為+|=斯2,若,則當〃》2時，恒成立.

19.如圖，在三棱柱ABC-AIBIG中，AC=BB\=2BC=2,NCBBi=2NCAB=—,且平

3

面ABC_L平面B\C\CB.

(1)求證：平面A8CL平面ACS；

(2)設點P為直線BC的中點，求直線4P與平面ACBi所成角的正弦值.

20.如圖，在平面直角坐標系X。)中，已知點尸是拋物線Ci：()>0)上的一個點,

其橫坐標為x。，過點P作拋物線Ci的切線I.

(1)求直線/的斜率(用的與p表示)；

2

(2)若橢圓C2：之_+/=1過點P,/與C2的另一個交點為A,O尸與C2的另一個交點

2

為B,求證：ABYPB.

21.運用計算機編程，設計一個將輸入的正整數(shù)/“歸零”的程序如下：按下回車鍵，等可

能的將［0,左)中的任意一個整數(shù)替換左的值并輸出左的值，反復按回車鍵執(zhí)行以上操作

直到輸出％=0后終止操作.

(1)若輸入的初始值k為3,記按回車鍵的次數(shù)為講求《的概率分布與數(shù)學期望；

(2)設輸入的初始值為k(依N*),求運行“歸零”程序中輸出n-1)的概

率.

22.設/(x)=f(〃€N*).

(1)求證：函數(shù)f(x)一定不單調;

(2)試給出一個正整數(shù)。，使得"＞犬2%：+公111￥對Vxe(0,+°0)恒成立.

(參考數(shù)據(jù)：火2.72,〃=7.39,/觸20.10)

參考答案

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|y=?^},工}，C={（x,y）x-2l,則下列集合不為

空集的是（）

A.AQBB.ADCC.BQCD.AC8CC

解：?集合4={X合=、x-2}=,

B={y\y=y/~^2]={yly^O},C={（x,y）|y=V7^},

,\AAB=[2,+8）,

AnC=0,BC）C=0,AQBC\C—0,

故選：A.

2.若復數(shù)z滿足|z-i|W2,則的最大值為（）

A.1B.2C.4D.9

解：復數(shù)z滿足|z-i|W2,由復數(shù)模的幾何意義知，復數(shù)z在復平面內對應的點Z的軌跡

為：

以（0,1）為圓心，以2為半徑的圓的內部（包括圓周），

因表示點Z到點。（0,0）的距離，如圖所示：

當點Z的坐標為（0,3）時，|z|的值最大,

所以zW=kF的最大值為9.

故選：D.

3.同學們都知道平面內直線方程的一般式為Ax+By+C=O,我們可以這樣理解：若直線/

過定點Po(xo,yo),向量；=(A,S)為直線/的法向量，設直線/上任意一點P(x,

y),則謂存=0,得直線/的方程為A(x-xo)+B(y-yo)=0,即可轉化為直線方

程的一般式.類似地，在空間中，若平面a過定點Qo(1,0,-2),向量1r=(2)-3,

1)為平面a的法向量，則平面a的方程為()

A.2x-3y+z+4=0B.2x+3y-z-4=0

C.2x-3y+z=0D.2x+3y-z+4=0

解：根據(jù)題意，類比平面中的結論，設y,z)是平面a上任意一點，則可=(I

-x,-y,-2-z),

向量7=(2,-3,1)為平面a的法向量，

故有7,可，即可=2(1-x)+(-y)X(-3)+(-2-z)=0,

變形可得：2%-3y+z=0,

故選：C.

1JT

4.將函數(shù)f(x)=sin,x的圖象向左平移g個單位，得到函數(shù)g(X)的圖象，若尤(0,

〃?)時，函數(shù)g(X)的圖象在/(X)的上方，則實數(shù)機的最大值為()

A.匹B,22LC.小D,2L

3366

1TT

解：將函數(shù)f(x)=sirr^x的圖象向左平移—個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，

1JT

所以g(x)=sin—(x-^y

當0Vx<m時，g(x)的圖象在/(x)的上方，即g(x)-f(x)>0,

所以sirr^(x~^-)-sirr^x>0'

由和差化積公式可得,sin^(x-^-)-sin-yx=2cossin-^-^0*

71

因為sirr逐>0，

ITT

所以原不等式可轉化為cos號X卷)>o，

TT1TTTT

由余弦函數(shù)的圖象可得，號+2k冗2k冗，k€Z,

所以一?+4k兀<x<學+4k兀，k€Z,

66

因為0<x<m,所以<\<耳二

66

故(0,m)G―)，

66

故ir</，所以，"的最大值為器?

66

故選：C.

5.已知數(shù)列｛如｝的通項公式為a尸,)、，，則其前〃項和為)

(n+1)!

A.1-——--B.]——CD.2—7~~^4—

(n+l)!n!(n+l)!

短2_n_n+1-1_11

解：""一(n+D!―而DTF一而nr，

1

所以其前〃項和為工+L^_

3!n!(n+1)!G^iTT'

故選：A.

6.韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關系，如：設一

元三次方程ax3+b^+cx+d=0(arO)的3個實數(shù)根為x\,孫孫則制+及+冷=--,

a

「ri八.——

XIX2+X2X3+X3XI——,X\X2X3----.已知函數(shù)/(X)—2^~X+1,直線/與/(X)的圖象相

aa

切于點p(XI,f(X|))，且交/(x)的圖象于另一點Q(X2,f(X2))，貝！I()

A.2xi-%2=0B.2ri-X2-1=0C.2XI+%2+1=0D.2XI+X2=0

33

皿4,、z,n"of(X2)-f(X,)2x2-X2+l-(2X,-XI+1)

解：/(x)=6N-1,貝|J6X]2_1=---------—=----------------——=

1x2-xlx2-xl

2x22+2xix?+2x「-1，

22

X2+Xjx2-2x1=0.則X2+2XI=0.

故選：D.

7.設雙曲線C：陽二^=1(a,b>0)的焦距為2,若以點尸(m,n)(m<a)為圓心

bZ

的圓P過c的右頂點且與C的兩條漸近線相切，則OP長的取值范圍是()

A.(0,—)B.(0,1)C.(―,1)D.(―,—)

2242

解：由已知可得，C=l,

雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,

|bm+an||bm-an|

由圓P與漸近線相切可得，r=J2匕2r2匕2,則〃=°?

則圓的半徑-"?=也讓=3加，即m=一一,

cb+1

21,2

貝-居)2=J^-之

b+1(b+1)2(b+1)2b+1

9

?；b€(0,1),/.-l+-^-e(0,1),則〃?e(0,1).

b+1

即OP長的取值范圍是（0,1）.

故選：B.

8.已知正數(shù)x,y,z滿足x/〃y=y/=zr,則x,y,z的大小關系為（）

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

解：由題意知，即y>l,且2=山y(tǒng)<丫，—=y^>1,即x>y,

Vlny

綜上，x>y>z,

故選：A.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知X?N（陽，O|2）,y~N（|12,o22）,H1>|X2,o!>0,o2>0,則下列結論中一

定成立的有（）

A.若。1>。2,則p（|X-niKl）<P（\Y-禺2飪1）

B.若。1>。2,則P（|X-MWl）>P（|y-間=1）

c.若。i=。2,則P（x>R2）+P（y>m）=i

D.若。1=。2,則p（x>Q）+P（y>m）<i

解：由題意可知，對于選項A,B,若。|>。2,則y分布更為集中，

則在相同的區(qū)間范圍內，丫的相對概率更大，

故P（IX-mlWl）<P（|y-H2|<1）,故選項A正確，B錯誤；

由正態(tài)分布的性質可得，P（r>m）=P（xwp2）,又P（xw“2）+P（x>n2）=I,

所以P（x>陽）+p（r>m）=1,故選項c正確，。錯誤.

故選：AC.

10.設數(shù)列｛”“｝的前〃項和為s”若飆+S,=A〃2+B〃+C,則下列說法中正確的有（）

A.存在A,B,C使得｛?。堑炔顢?shù)列

B.存在A,B,C使得｛?。堑缺葦?shù)列

C.對任意A,B,C都有｛斯｝一定是等差數(shù)列或等比數(shù)列

D.存在A,B,C使得｛斯｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

22

解：'：a?+Sn=An+Bn+C,二當〃》2時，a?.i+S?-i=A（n-1）+B（n-1）+C.

兩式作差得：2an-an-i=2An+B-A.

ai

當A=B=0時，-二n、=（,.?.數(shù)列｛”“｝是等比數(shù)列，."對；

an-l2

當A=0且BW0時，2-B）=a-\-B,可得：a-B=-B）（―）

nn2

（?i-B）（―）nl+B,

2

數(shù)列｛斯｝既不是等差也不是等比數(shù)列，二。對；

當A=B=1時，2an-an.\—2n,a”=2〃-2滿足此式，；.A正確；

通過對D的判斷可知C顯然錯；

故選：ABD.

11.已知矩形ABC。滿足A8=1,AD=2,點E為BC的中點，將△4BE沿4E折起，點B

折至8',得到四棱錐"-AECD,若點P為力。的中點，則（）

A.CP〃平面B'AE

B.存在點B',使得CP_L平面48,D

C.四棱錐*-AEC。體積的最大值為返

4

D.存在點夕，使得三棱錐力-ADE外接球的球心在平面AEC。內

解：對于A,取A8'中點M,；點P為夕。的中點，

：.MP//AD,MP^—AD,

2

?：EC//AD,且EC.AD，

:.MP//EC,且MP=EC,

.?.四邊形何PCE為平行四邊形，；.CP〃ME,

?.?例Eu平面B'AE,CPC平面B'AE,

；.C尸〃平面夕AE,故A正確：

對于8,假設存在點方，使得CP,平面48'D,則CPJ_4。，

\'AD±CD,CPC\CD=C,r.AOJ"平面CPD,IfllJAD±PD,

：.AD1B'D,在△AB'。中，AB'=1,AD=2,：.AD>AB',

.?.AO不可能垂直于B。，故B錯誤；

對于C,VB/.杷⑺]h?$蚯6,八為B'到平面ABCD的距離，

當平面AB'E垂直于平面AECD時，h取得最大值，此時h為B'到AE的距離，

此時仁J（一產(chǎn)-既券）2=^，5ABeD（2+1）X1=|->

.?.四棱錐"-4&7。體積的最大值為《乂3*￥“0，故C正確；

對于。，當平面A夕EJ_平面月ECO時，存在點8,，使得三棱錐8'-AOE外接球的

球心在平面AECD內，

?：NAEN=/DEN=45°,J.AELDE,在直角三角形AEZ）中，AE=ED,

N為AO的中點，：.EN=AN=DN=l,則B'N=EN=AN=DN=1,

；.N為三棱錐B'-AED的外接球的球心，

在平面AECQ內，故。正確.

12.將平面向量；=（X1,及）稱為二維向量，由此可推廣至"維向量之=（Xl,X2,X"）.對

n

于〃維向量或b-其運算與平面向量類似，如數(shù)量積閏cose=￡X]V（。為

i=l1

向量W，E的夾角），其向量W的模X]2,則下列說法正確的有（）

Vi=l1

nnn

A.不等式（Ex「）（￡y.2）w（￡x^y.）2可能成立

i=li=l1i=l1

nn911

B.不等式（￡X]2）（￡Yi2），（￡Xj%）2一定成立

i=li=li=l

nn

2

c.不等式〃工X1<（￡xj2可能成立

i=li=l

n[n

D.若無＞0（f=l,2,〃）,則不等式￡y/一定成立

i=lxii=l1

解：對于A,構造;=（?,及，…，，E=（）"，”，…，如），

所以心?EIWlZ匠1=年中+無2y2+-+%y〃lW,xj+xj+…yj+y2'…+了:=

nnn

（￡X"）2W￡即2￡W，

i=li=li=l

Xixx

當且僅當‘二一二2二…二一2■時取“=”，

V1V?Vn

例如（4+D（〃+l）伽（仍+1）2,當。=6=1時取“="，故A正確;

對于8,由A的分析過程知，8正確；

對于C,構造W=（即，乃，…，xw）,E=（1，1，…，1），

知|13哥之后今國+X2+…+X"IW、X12+X2。…+Xn4?，

nn

所以立＞22（匯的）2,故C錯誤;

i=li=l

對于。，構造Z=-E=（歷，怎，…，扃）,

所以聞n行房+…年府廳后心口正

確.

故選:ABD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.文旅部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進大國重器、感受中國力

量”“體驗美麗鄉(xiāng)村、助力鄉(xiāng)村振興”三個主題，遴選推出“建黨百年紅色旅游百條精

品線路”.這些精品線路中包含上海一大會址、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡等5

個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)，還有港珠澳大橋、北京大興國際機場、“中國天眼”、“兩彈一

星”紀念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州華茂村等7個展現(xiàn)改革開放和新時代發(fā)展

成就、展示科技強國和脫貧攻堅成果的景區(qū).為安排旅游路線，從上述12個景區(qū)中選3

個景區(qū)，則至少含有1個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法有185種.

解：由題意可知，總體情況為從12個景區(qū)選3個景區(qū)，共有C%種，

從7個非傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)中選3個景區(qū)，共有C濟中，

則至少含有1個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法共有C；2-C^=220-35=185種，

故答案為：185.

14.滿足等式(1-tana)(1-tanp)=2的數(shù)組(a,p)有無窮多個，試寫出一個這樣的

數(shù)組(0,4).

4

解：因為(1-tana)(1-tanp)=1-(tana+tanp)+tanatanp=2,

所以tanatanp=1+tana+tanp,

山ztanQ+tanB,

1-tanQ.tanp

q兀

所以a+0=J—+k兀，依Z,

4

故滿足題意的一組(a,p)為(0,

故答案為：(0,4).

15.若向量彳，E滿足lW-El=、/3，則！石的最小值為—

解：...向量a,b滿足la-kJ=V§，

二(a-b)』3,

即；解2=3+2之*2出2下=2|靛|2-2；工,

?—3

??一1

故答案為：--y.

4

16.對于函數(shù)/(1)=阮什，加+依+1,有下列4個論斷：

甲：函數(shù)f（X）有兩個減區(qū)間;

乙：函數(shù)/（X）的圖象過點（1,-1）；

丙：函數(shù)/（X）在X=1處取極大值；

T：函數(shù)/（X）單調.

若其中有且只有兩個論斷正確，則，〃的取值為2.

解：函數(shù)/（x）的定義域是（0,+8）,

由題意得：f（x）=—+2%a+〃="蹴+nx+l,

XX

2

令g（x）=2rn^+nx+lt顯然g（x）過定點（0,1）,

①〃?>0時的圖像可能是：

②“V0時的圖像可是:

當x>0時，函數(shù)/(x)最多1個減區(qū)間，

故甲錯誤，則乙正確；

則/(1)—m+n+\=-1,即m+n--2,

此時/(x)/區(qū)L-J.,若丙正確，則解得：皿=1,故〃=-3,

x

而此時/(X)在X=1處取極小值，即與丙矛盾，

若丁正確，則機=2,〃=-4,可滿足題意，

綜上：乙丁正確，且機=2,

故答案為：2.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點。滿足3麗=前與標.菽=0.

(1)若b=c,求A的值；

(2)求8的最大值.

解：⑴因為標?菽=0,所以(曲J?前)?戢=0,

即<4AB+4AC)'AC=0,

oO

o1.

所以‘Ac,cosA+-=-b2=0,

33

因為b=c,所以cos4=-

因為0<A(n,所以4=日二.

(2)因為2bccosA+」b2=o,

33

所以於心-〃2+/=0,即2加+C2-〃2=0,

cos8=.a+cI-b="^~+yc22W,當且僅當。=正。時等號成立，

2ac—----2

2ac

jr

因為OVJBVTI,所以3的最大值為二

6

18.請在①a|=&；②0=2；③m=3這3個條件中選擇1個條件，補全下面的命題使其

成為真命題，并證明這個命題(選擇多個條件并分別證明的按前1個評分).

命題：已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足呢H=aJ,若,則當〃22時，④22〃恒成立.

解：選②.

證明：由斯+1=〃〃2,且〃]=2,."“X),

兩邊取對數(shù)可得：lgcin+T=2lga〃,

，/ga〃=2"7/g2,a〃=22n.

當〃22時，只需證明2〃r》〃,

人、n,n+1nl-n八

%bn——[,貝!Jbn+]-bn=~~—?_i=二

2n12n2n12n

所以b,Wb?=T,.\2n'^n成立.

綜上所述，當ai=2且〃22時，〃〃22”成立.

選①，結論不成立.

證明：由〃〃+1=?！?,且，。2=2,

42=2222不成立.

選③.

證明：由且41=3,工?！?。，

兩邊取對數(shù)可得：lga*\=2lga〃,

nl

：.lgan=2lg3,斯=1「-二

當時，要證明如=32?,》2〃.

只需證明2"一|》〃，

..n,n+1nl-n八

令幾=貝b”+i-b=—---

-n-i1'Un11<=n~<0.

222nl2

所以兒Wb2=l,成立.

綜上所述，當m=2且〃22時，小22"成立.

JT

19.如圖，在三棱柱ABC-AIBIG中，AC=BB】=2BC=2,/CBBi=2NCAB=三,且平

面A8C_L平面B\C\CB.

(1)求證：平面ABCL平面ACBi；

(2)設點尸為直線8C的中點，求直線4P與平面ACBi所成角的正弦值.

解：（1）證明：因為AC=28C=2,所以BC=1

jrjr

因為2NC48=—,所以NC48=——.

36

在AABC中，否即.1冗=萼"，

sinAsinbsinsinb

所以sinB=l,BPABLBC....

又因為平面ABCJ_平面BiCiCB,平面A8CC平面BxC\CB=BC,48u平面ABC,

所以AB,平面BiGCB.

又SCu平面&GCB,所以

IT

在△SBC中，BiB=2,BC=1,ZCBB^—,

o

jr

所以B^^B^+BC2-2B/BCcos——=3,即BIC=M，

3

所以BiC_LBC.

而ABJ_囪C,ABu平面ABC,8Cu平面ABC,ABDBC^B,

所以BiC_L平面ABC.

又BiCu平面4cBi,所以平面A8C_L平面4cBi.

(2)在平面ABC中過點C作AC的垂線CE,

以C為坐標原點，分別以C4,CE,CS所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系，

則C(0,0,0),8(―,返，0),A(2,0,0),?(0,0,?),

22V

所以PC，返，0),A1點-返，?),

4422v

所以可=(-?)，

144

平面AC?的一個法向量為若=(0,1,0),.......

設直線AtP與平面4cs所成的角為a,

則直線A\P與平面ACBi所成角的正弦值為:

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點P是拋物線G：x2—2py(y>0)上的一個點,

其橫坐標為沏，過點P作拋物線Ci的切線/.

(1)求直線/的斜率(用項與p表示)；

(2)若橢圓C2：過點P,/與C2的另一個交點為A,OP與C2的另一個交點

2

為B,求證：ABA.PB.

由導數(shù)的幾何意義可知，直線/的斜率為迎；

P

(2)證明：設尸(加yo)，則B(--yo),心口=~

PB町

I2y0

由(1)知&%=-^)=—

P而

22

設A(xi,y]),則V。+元=1,%+婷=1,

22

作差得(兀+yP°。-丫1)+(xo+Xi)(A-0-X1)=0,

2

即包2L9_T，

x0+xlx0-xl

:?kpAkAB=-2,

2y0口XO

/.———kAB=-2,即kAB=---,

x0y0

:?kpBkAB=-1,

：.AB_LPB,

21.運用計算機編程，設計一個將輸入的正整數(shù)&“歸零”的程序如下：按下回車鍵，等可

能的將[0,k)中的任意一個整數(shù)替換左的值并輸出2的值，反復按回車鍵執(zhí)行以上操作

直到輸出2=0后終止操作.

(1)若輸入的初始值我為3,記按回車鍵的次數(shù)為講求己的概率分布與數(shù)學期望；

(2)設輸入的初始值為k(依N*),求運行“歸零”程序中輸出n1)的概

率.

解：(1)P(《=3)=-X—,P(：=2)=-X-^H--,P(2=1),

32632323

則E的概率分布如下表:

23

P111

326

=lX2+2><」+3X111

所以E(P

3266

(2)設運行“歸零”程序中輸出"(OW〃t-I)的概率為得出P“==,

n+1

法一：則P〃=P"+iX士+P.+2X1：4匕+3X=+…+巴一|X二^」,

n+1n+2n+3k-lk

故OWnWk-2時，P"+i=P“+2X―+P/t+3X―+'"'+Pk-1X―^―+—,

n+2n+3k-lk

以上兩式作差得，P?-P"+i=P“+iX,1,則P"=P“+iXn+2

n+1n+r

則尸“+|=尸”+2*塔，幾+2=P"+3Xn+4…，兒2=**占,

n+2n+3'k-l

則P"P"+|P"+2…Ph1=幾+典+2巳+3…Ph1x娛X吟X笑X…Xk

n+1n+2n+3k-l'

化簡得P"=P?.|X—J,而P*-i=工，故P“=—J,

n+1kn+1

Xn—k-1時，Pn——二也成立，故幾=——(OW〃W人-1).

n+1n+1

法二：同法一得尸"=P"+|Xn+2

n+1'

則凡=Pixg,p=P2xg,P2=P3Xz，…，p"T=p“x21tl,

123n

則R)PIP2…P”-尸PoPiB…P"x2x3x匹

123n

化簡得R)=P.X(n+1),而Po=l,故P,==(0W〃WA-1),

n+1

又〃=0時，P“=—J也成立，故P“=一1(0W"WA