第2章導數(shù)與微分導學答案

第2章導數(shù)與微分導學答案2.1導數(shù)及微分2.1.1引例2.1.2導數(shù)概念2.1.3導數(shù)的幾何意義2.1.4可導與連續(xù)的關(guān)系2.1.5求導數(shù)的例題·導數(shù)基本公式表一、相關(guān)問題1.一輪船從輪渡港口出發(fā)在海上行駛，分鐘離開港口的位移為米，求分鐘時的瞬時速度。2.過原點作曲線的切線，求此切線方程。二、相關(guān)知識1.函數(shù)在某一點的導數(shù)如何定義？2.函數(shù)在某一點的左右導數(shù)如何定義？3.函數(shù)在區(qū)間上導函數(shù)如何定義？4.如何用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù)？5.導數(shù)的有何幾何意義與物理意義？6.函數(shù)的可導性與連續(xù)性的有何關(guān)系？三、練習題1.討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導性。解（1）連續(xù)性（無窮小·有界函數(shù)）（2）可導性：不存在所以f(x)在x=0處連續(xù)，但不可導。2.討論函數(shù)在處的可導性。分析討論分段函數(shù)在銜接點處是否可導，一般是先判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)，若不連續(xù)則必不可導；若連續(xù)，則用導數(shù)定義或左右導數(shù)是否存在與相等進行判斷。解因為且，所以在連續(xù)。又，而，，所以不存在，即在不可導。3.設問為何值時處處可導并求.解題思路與已知極限存在或函數(shù)在某點連續(xù)確定函數(shù)表達式中的常數(shù)一樣，這類問題需用導數(shù)定義求解，注意到可導必連續(xù)，因此利用在連續(xù)與可導條件建立常數(shù)和所滿足的代數(shù)方程組，然后解方程組使問題得以解決。解由初等函數(shù)的可導性，只要在可導，則處處可導，當時可導則必連續(xù)，故有因為，所以.又，，故，即.綜上所述，當，時處處可導，且4.求曲線的通過點(0,-4)的切線方程.解設切點的橫坐標為x0則切線的斜率為.于是所求切線的方程可設為.根據(jù)題目要求,點(0,-4)在切線上,因此,解之得x0=4.于是所求切線的方程為即3xy40四、思考題1.函數(shù)在連續(xù)點不可導有哪些類型？答極限不存在有幾種類型，函數(shù)在連續(xù)點不可導也就有幾種類型。1）左、右導數(shù)存在，但不相等。例如：函數(shù)在點0左、右導數(shù)存在，但不相等。2）左、右導數(shù)至少有一個不存在。例如：函數(shù)右導數(shù)不存在。左導數(shù)存在3）左、右導數(shù)至少有一個是無限大。例如：函數(shù)在點0.右導數(shù)，左導數(shù)。注：函數(shù)在點0存在切線，它的斜率是無窮大，即切線是y軸（一般情況是平行于y軸）。2.函數(shù)在點可導，是否函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)每一點可導？答不一定，函數(shù)在點可導是局部概念，在點的領域內(nèi)不一定可導。例如，函數(shù)在點0可導（當然在點0連續(xù)），事實上顯然函數(shù)在任意都不連續(xù)，即除點0外，函數(shù)在任意點都不可導。由此可見，一個函數(shù)可能僅僅在一點可導。3.符號與是否有區(qū)別？答有區(qū)別。符號表示函數(shù)在點的右導數(shù)，即極限，符號表示導（函數(shù)）在點的右極限，即極限由此可知，還表示函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都可導，這是兩個不同的概念。一般來說，其中一個存在，另一個可能不存在。例如，函數(shù)當時，，但是，再如，函數(shù)但是，當時，不存在。在什么條件下，呢？若函數(shù)在上連續(xù)，在可導，且則函數(shù)在點右可導，且4.求哪些函數(shù)個別點的導數(shù)或左右導數(shù)應用導數(shù)的定義？答1）函數(shù)在個別點的函數(shù)值單獨定義的，其余點的函數(shù)值用同一解析式定義的（函數(shù)在個別點連續(xù)）。例如，求函數(shù)。在點0的導數(shù)要應用導數(shù)的定義。2）求分段函數(shù)在分段點的導數(shù)。例如，函數(shù)求在點0的左