算術幾何平均不等式

算術-幾何平均不等式知識網絡

1、定義：n個正數a1a2…an的算術平均數為:其幾何平均數為：知識網絡

2、均值不等式及其變形.①a2+b2≥2ab(a、b∈R)②a,b∈R+時,a+b≥2知識網絡

3、常見均值拓展.當a、b∈R+時，要點·疑點·考點1.復習并掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”的定理.了解它的變式：(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b∈R+)；(3)(ab＞0)；(4)(a，b∈R).

以上各式當且僅當a＝b時取等號，并注意各式中字母的取值要求.要點·疑點·考點2.理解四個“平均數”的大小關系；a，b∈R+，則:其中當且僅當a＝b時取等號.要點·疑點·考點3.在使用“和為常數，積有最大值”和“積為常數，和有最小值”這兩個結論時，應把握三點：“一正、二定、三相等、四最值”.當條件不完全具備時，應創(chuàng)造條件.4.已知兩個正數x，y，求x+y與積xy的最值.(1)xy為定值p，那么當x＝y時，x+y有最小值；(2)x+y為定值s，那么當x＝y時，積xy有最大值.

考點練習

C1、下列條件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0能使不等式成立的條件個數是()A、1 B、2 C、3 D、4考點練習

A2、下列四個不等式：①x2+2＞2x；②x2+y2≥2(x–y–1)；③2x3+x2≥1+2x4；④其中恒成立的是()A、①② B、①③C、①②④ D、①②③④考點練習

B3、函數則f(x)與g(x)的大小關系是()A、f(x)≥g(x) B、f(x)＞g(x)C、f(x)≤g(x) D、f(x)＜g(x)考點練習

A4.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達B地的情況是()(A)甲車先到達B地(B)乙車先到達B地(C)同時到達(D)不能判定考點練習

5、在下列橫線上填寫恰當的符號(＞、≥、≠、=、＜、≤＝).①若x∈R且x≠1,則

1；②若0＜α＜1，則③若a

＞0，a≠1，則④a，b，c是不全相等的正數，有(a+b)(b+c)(c+a)

8abc，考點練習

6.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.典型題選講【例1】(1)已知求函數

的最大值；典型題選講【例1】(2)已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值；典型題選講【例1】(3)已在a

，b為實常數，求函數y=(x–a)2+(x–b)2的最小值.典型題選講典型題選講【例2】已知a，b，c∈R，求證：典型題選講【例3】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，試算：(1)倉庫面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？典型題選講解析:用字母分別表示鐵柵長和一堵磚墻長，再由題意翻譯數量關系。設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則有：S=xy由題意得40x+2×45y+20xy=3200因此S最大允許值是100米2，取得此最大值的條件是40x=90y而xy=100，由此求得x=15，即鐵柵的長應是15米。典型題選講【例4】食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元.(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.典型題選講解析:（1）設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費用為:3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x（x+1）設平均每天所支付的總費用為y1元，則:即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少。典型題選講(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉。設該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則:∴x=35時?(x)有最小值，此時y2＜10989?！嘣搹S應該接受此優(yōu)惠條件。典型題選講【例5】甲、乙兩地S千米，汽車從甲勻速行駛到乙地，速率不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系為b，固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示成速度v(千米/小時)的函數，并指出這個函數的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛？1.(1)若正數x、y滿足x+2y＝1.求的最小值；(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.【解題回顧】第(1)題常有以下錯誤解法：錯誤的原因在兩次運用平均不等式的時候取等號的條件矛盾.(第一次須x＝2y，第二次須x＝y).

求條件極值的問題，基本