算術(shù)幾何平均不等式

算術(shù)-幾何平均不等式知識網(wǎng)絡(luò)

1、定義：n個正數(shù)a1a2…an的算術(shù)平均數(shù)為:其幾何平均數(shù)為：知識網(wǎng)絡(luò)

2、均值不等式及其變形.①a2+b2≥2ab(a、b∈R)②a,b∈R+時,a+b≥2知識網(wǎng)絡(luò)

3、常見均值拓展.當(dāng)a、b∈R+時，要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.復(fù)習(xí)并掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”的定理.了解它的變式：(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b∈R+)；(3)(ab＞0)；(4)(a，b∈R).

以上各式當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，并注意各式中字母的取值要求.要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)2.理解四個“平均數(shù)”的大小關(guān)系；a，b∈R+，則:其中當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)3.在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”.當(dāng)條件不完全具備時，應(yīng)創(chuàng)造條件.4.已知兩個正數(shù)x，y，求x+y與積xy的最值.(1)xy為定值p，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，x+y有最小值；(2)x+y為定值s，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值.

考點(diǎn)練習(xí)

C1、下列條件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0能使不等式成立的條件個數(shù)是()A、1 B、2 C、3 D、4考點(diǎn)練習(xí)

A2、下列四個不等式：①x2+2＞2x；②x2+y2≥2(x–y–1)；③2x3+x2≥1+2x4；④其中恒成立的是()A、①② B、①③C、①②④ D、①②③④考點(diǎn)練習(xí)

B3、函數(shù)則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()A、f(x)≥g(x) B、f(x)＞g(x)C、f(x)≤g(x) D、f(x)＜g(x)考點(diǎn)練習(xí)

A4.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達(dá)B地的情況是()(A)甲車先到達(dá)B地(B)乙車先到達(dá)B地(C)同時到達(dá)(D)不能判定考點(diǎn)練習(xí)

5、在下列橫線上填寫恰當(dāng)?shù)姆?＞、≥、≠、=、＜、≤＝).①若x∈R且x≠1,則

1；②若0＜α＜1，則③若a

＞0，a≠1，則④a，b，c是不全相等的正數(shù)，有(a+b)(b+c)(c+a)

8abc，考點(diǎn)練習(xí)

6.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.典型題選講【例1】(1)已知求函數(shù)

的最大值；典型題選講【例1】(2)已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值；典型題選講【例1】(3)已在a

，b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)y=(x–a)2+(x–b)2的最小值.典型題選講典型題選講【例2】已知a，b，c∈R，求證：典型題選講【例3】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，試算：(1)倉庫面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？典型題選講解析:用字母分別表示鐵柵長和一堵磚墻長，再由題意翻譯數(shù)量關(guān)系。設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則有：S=xy由題意得40x+2×45y+20xy=3200因此S最大允許值是100米2，取得此最大值的條件是40x=90y而xy=100，由此求得x=15，即鐵柵的長應(yīng)是15米。典型題選講【例4】食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.典型題選講解析:（1）設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為:3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x（x+1）設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則:即該廠應(yīng)每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少。典型題選講(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉。設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則:∴x=35時?(x)有最小值，此時y2＜10989。∴該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件。典型題選講【例5】甲、乙兩地S千米，汽車從甲勻速行駛到乙地，速率不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系為b，固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示成速度v(千米/小時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？1.(1)若正數(shù)x、y滿足x+2y＝1.求的最小值；(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.【解題回顧】第(1)題常有以下錯誤解法：錯誤的原因在兩次運(yùn)用平均不等式的時候取等號的條件矛盾.(第一次須x＝2y，第二次須x＝y(tǒng)).

求條件極值的問題，基本