高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀-命題熱點(diǎn)突破)專題19-坐標(biāo)系與參數(shù)方程-文

PAGEPAGE16專題19坐標(biāo)系與參數(shù)方程文【命題熱點(diǎn)突破一】極坐標(biāo)系與簡單曲線的極坐標(biāo)方程例1、【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】直線過圓的圓心，因此【變式探究】[2015·全國卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程是θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．【特別提醒】根據(jù)直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的公式，可以把直線、曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，反之亦然．使用直線、曲線的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程解題各有利弊，要根據(jù)情況靈活選?。咀兪教骄俊吭谥苯亲鴺?biāo)系xOy中，曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t2－6))(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)．【解析】：(1)直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝eq\r(3)x，則直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．曲線C的普通方程為y＝x2－6.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))代入y＝x2－6，得t2－2eq\r(3)t－24＝0，∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2eq\r(3)，∴eq\f(t1＋t2,2)＝eq\r(3)，即點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為eq\r(3)，∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2))，∴點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(eq\r(3)，eq\f(π,3))．【命題熱點(diǎn)突破二】簡單曲線的參數(shù)方程例2、【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2：ρ=.（I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a．【答案】（I）圓,（II）1時，極點(diǎn)也為的公共點(diǎn)，在上.所以.【變式探究】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1，1)，傾斜角α＝eq\f(π,6).(1)寫出直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)l與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．【解析】：(1)直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1＋\f(1,2)t))(t是參數(shù))．(2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2，將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4中，整理得t2＋(eq\r(3)＋1)t－2＝0.①因?yàn)閠1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.【特別提醒】直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(其中t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)中t的幾何意義是點(diǎn)P(x0，y0)到參數(shù)t對應(yīng)的點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，解題中注意使用直線參數(shù)方程的幾何意義，同時注意直線的參數(shù)方程中t的系數(shù)是否符合上述參數(shù)方程．【變式探究】已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\r(3)t，,y＝2\r(3)＋t))(t為參數(shù))．(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設(shè)A(1，0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【命題熱點(diǎn)突破三】極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合例3、【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點(diǎn)，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【變式探究】已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(4eq\r(3)，eq\f(π,6))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4.(1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的普通方程；(2)若Q為C上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))(t為參數(shù))距離的最大值．【解析】：(1)x＝ρcosθ＝6，y＝ρsinθ＝2eq\r(3)，∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(6，2eq\r(3))．由ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4得x2＋y2＋4eq\r(3)y＝4，即x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16，∴曲線C的普通方程為x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16.(2)由l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))可得直線l的普通方程為x－y－5＝0，由曲線C的普通方程x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16可設(shè)點(diǎn)Q(4cosθ，4sinθ－2eq\r(3))，∴則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2cosθ＋3，2sinθ)，∴點(diǎn)M到直線l的距離d＝eq\f(|2cosθ＋3－2sinθ－5|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos（θ＋\f(π,4)）－2)),\r(2))，當(dāng)cos(θ＋eq\f(π,4))＝－1時，d取得最大值2＋eq\r(2)，∴點(diǎn)M到直線l距離的最大值為2＋eq\r(2).【特別提醒】在極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合的試題中，一個基本的思路是把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，然后使用我們熟悉的平面解析幾何知識解決問題．【變式探究】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度．已知圓C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝1＋2sinφ))(φ為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程是2ρcosθ＋ρsinθ＝6.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線，交l于點(diǎn)Q，求|PQ|的最大值與最小值．【高考真題解讀】1.【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】直線過圓的圓心，因此2.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2：ρ=.（I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a．【答案】（I）圓,（II）13.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點(diǎn)，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由可得的極坐標(biāo)方程（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為由所對應(yīng)的極徑分別為將的極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得于是由得，所以的斜率為或.4.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（I）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時的直角坐標(biāo).【答案】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）．1．(2015·廣東，14)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，則點(diǎn)A到直線l的距離為________．【答案】eq\f(5\r(2),2)【解析】依題已知直線l：2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)和點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離為d＝eq\f(|2－（－2）＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2).2．(2015·北京，11)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直線ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距離為________．【答案】1【解析】在平面直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為(1，eq\r(3))，直線方程為：x＋eq\r(3)y＝6，∴點(diǎn)(1，eq\r(3))到直線的距離為d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,2)＝eq\f(|－2|,2)＝1.3．(2015·安徽，12)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是________．【答案】6【解析】由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝eq\f(π,3)得y＝eq\r(3)x，即eq\r(3)x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線y＝eq\r(3)x的距離為2，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝eq\f(π,3)的最大距離為4＋2＝6.4．(2015·江蘇，21)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圓C的半徑．5．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，23)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．【解析】(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；②設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，eq\r(3))，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值．【解析】(1)ρ＝2cosθ等價于ρ2＝2ρcosθ.①將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.②(2)將代入②式，得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0.設(shè)這個方程的兩個實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.1.【2014高考安徽卷理第4題】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程是，則直線被圓截得的弦長為（）A.B.C.D.【答案】D2.【2014高考北京卷理第3題】曲線，（為參數(shù)）的對稱中心（）A．在直線上B．在直線上C．在直線上D．在直線上【答案】B【解析】參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓，其對稱中心為，逐個代入選項(xiàng)可知，點(diǎn)滿足，故選B.3.【2014高考湖北卷理第16題】已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【答案】【解析】由消去得，由得，解方程組得與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.4.【2014高考湖南卷第11題】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點(diǎn)，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程是________.【答案】5.【2014江西高考理第12題】若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段的極坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)，得：解得，選A.6.【2014重慶高考理第15題】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，則直線與曲線的公共點(diǎn)的極徑________.【答案】7.【2014陜西高考理第15題】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是.【答案】1【解析】直線化為直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離，故答案為1.8.【2014天津高考理第13題】在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn)．若是等邊三角形，則的值為___________．【答案】3．【解析】圓的方程為，直線為．是等邊三角形，∴其中一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓的方程可得．9.【2014高考福建理第21（2）題】已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為，（為常數(shù)）.（I）求直線和圓的普通方程；（II）若直線與圓有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（I）,;（II）10.【2014高考江蘇第21C題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求線段的長.【答案】【解析】直線的普通方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得，∴.11.【2014高考遼寧理第23題】將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與C的交點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，求過線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.【答案】