高考數(shù)學(考點解讀-命題熱點突破)專題19-坐標系與參數(shù)方程-文

PAGEPAGE16專題19坐標系與參數(shù)方程文【命題熱點突破一】極坐標系與簡單曲線的極坐標方程例1、【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______.【答案】2【解析】直線過圓的圓心，因此【變式探究】[2015·全國卷]在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程是θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．【特別提醒】根據(jù)直角坐標化為極坐標的公式，可以把直線、曲線的直角坐標方程化為極坐標方程，反之亦然．使用直線、曲線的直角坐標方程和極坐標方程解題各有利弊，要根據(jù)情況靈活選?。咀兪教骄俊吭谥苯亲鴺讼祒Oy中，曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t2－6))(t為參數(shù))．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，l與C相交于A，B兩點．(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；(2)設線段AB的中點為M，求點M的極坐標．【解析】：(1)直線l的直角坐標方程為y＝eq\r(3)x，則直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．曲線C的普通方程為y＝x2－6.(2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))代入y＝x2－6，得t2－2eq\r(3)t－24＝0，∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2eq\r(3)，∴eq\f(t1＋t2,2)＝eq\r(3)，即點M所對應的參數(shù)為eq\r(3)，∴點M的直角坐標為(eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2))，∴點M的極坐標為(eq\r(3)，eq\f(π,3))．【命題熱點突破二】簡單曲線的參數(shù)方程例2、【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）．在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=.（I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程；（II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a．【答案】（I）圓,（II）1時，極點也為的公共點，在上.所以.【變式探究】已知直線l經(jīng)過點P(1，1)，傾斜角α＝eq\f(π,6).(1)寫出直線l的參數(shù)方程；(2)設l與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))相交于A，B兩點，求點P到A，B兩點的距離之積．【解析】：(1)直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1＋\f(1,2)t))(t是參數(shù))．(2)因為點A，B都在直線l上，所以可設點A，B對應的參數(shù)分別為t1和t2，將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4中，整理得t2＋(eq\r(3)＋1)t－2＝0.①因為t1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.【特別提醒】直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(其中t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)中t的幾何意義是點P(x0，y0)到參數(shù)t對應的點的有向線段的數(shù)量，解題中注意使用直線參數(shù)方程的幾何意義，同時注意直線的參數(shù)方程中t的系數(shù)是否符合上述參數(shù)方程．【變式探究】已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\r(3)t，,y＝2\r(3)＋t))(t為參數(shù))．(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設A(1，0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標．【命題熱點突破三】極坐標與參數(shù)方程的綜合例3、【2016高考新課標2理數(shù)】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【變式探究】已知平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為(4eq\r(3)，eq\f(π,6))，曲線C的極坐標方程為ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4.(1)寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；(2)若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))(t為參數(shù))距離的最大值．【解析】：(1)x＝ρcosθ＝6，y＝ρsinθ＝2eq\r(3)，∴點P的直角坐標為(6，2eq\r(3))．由ρ2＋4eq\r(3)ρsinθ＝4得x2＋y2＋4eq\r(3)y＝4，即x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16，∴曲線C的普通方程為x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16.(2)由l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋2t))可得直線l的普通方程為x－y－5＝0，由曲線C的普通方程x2＋(y＋2eq\r(3))2＝16可設點Q(4cosθ，4sinθ－2eq\r(3))，∴則點M的坐標為(2cosθ＋3，2sinθ)，∴點M到直線l的距離d＝eq\f(|2cosθ＋3－2sinθ－5|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos（θ＋\f(π,4)）－2)),\r(2))，當cos(θ＋eq\f(π,4))＝－1時，d取得最大值2＋eq\r(2)，∴點M到直線l距離的最大值為2＋eq\r(2).【特別提醒】在極坐標與參數(shù)方程綜合的試題中，一個基本的思路是把極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程，然后使用我們熟悉的平面解析幾何知識解決問題．【變式探究】以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知圓C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝1＋2sinφ))(φ為參數(shù))，直線l的極坐標方程是2ρcosθ＋ρsinθ＝6.(1)求圓C的極坐標方程；(2)過圓C上任意一點P作與l夾角為45°的直線，交l于點Q，求|PQ|的最大值與最小值．【高考真題解讀】1.【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______.【答案】2【解析】直線過圓的圓心，因此2.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）．在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=.（I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程；（II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a．【答案】（I）圓,（II）13.【2016高考新課標2理數(shù)】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（I）由可得的極坐標方程（II）在（I）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為由所對應的極徑分別為將的極坐標方程代入的極坐標方程得于是由得，所以的斜率為或.4.【2016高考新課標3理數(shù)】（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（I）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（II）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.【答案】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）．1．(2015·廣東，14)已知直線l的極坐標方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，點A的極坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，則點A到直線l的距離為________．【答案】eq\f(5\r(2),2)【解析】依題已知直線l：2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)和點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點A到直線l的距離為d＝eq\f(|2－（－2）＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2).2．(2015·北京，11)在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直線ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距離為________．【答案】1【解析】在平面直角坐標系下，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為(1，eq\r(3))，直線方程為：x＋eq\r(3)y＝6，∴點(1，eq\r(3))到直線的距離為d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,2)＝eq\f(|－2|,2)＝1.3．(2015·安徽，12)在極坐標系中，圓ρ＝8sinθ上的點到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是________．【答案】6【解析】由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝eq\f(π,3)得y＝eq\r(3)x，即eq\r(3)x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線y＝eq\r(3)x的距離為2，圓ρ＝8sinθ上的點到直線θ＝eq\f(π,3)的最大距離為4＋2＝6.4．(2015·江蘇，21)已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圓C的半徑．5．(2015·新課標全國Ⅰ，23)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．【解析】(1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；②設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設點M的直角坐標為(5，eq\r(3))，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值．【解析】(1)ρ＝2cosθ等價于ρ2＝2ρcosθ.①將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.②(2)將代入②式，得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0.設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.1.【2014高考安徽卷理第4題】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標方程是，則直線被圓截得的弦長為（）A.B.C.D.【答案】D2.【2014高考北京卷理第3題】曲線，（為參數(shù)）的對稱中心（）A．在直線上B．在直線上C．在直線上D．在直線上【答案】B【解析】參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓，其對稱中心為，逐個代入選項可知，點滿足，故選B.3.【2014高考湖北卷理第16題】已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為.【答案】【解析】由消去得，由得，解方程組得與的交點坐標為.4.【2014高考湖南卷第11題】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點，且，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程是________.【答案】5.【2014江西高考理第12題】若以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段的極坐標為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)，得：解得，選A.6.【2014重慶高考理第15題】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，則直線與曲線的公共點的極徑________.【答案】7.【2014陜西高考理第15題】在極坐標系中，點到直線的距離是.【答案】1【解析】直線化為直角坐標方程為，點的直角坐標為，點到直線的距離，故答案為1.8.【2014天津高考理第13題】在以為極點的極坐標系中，圓和直線相交于兩點．若是等邊三角形，則的值為___________．【答案】3．【解析】圓的方程為，直線為．是等邊三角形，∴其中一個交點坐標為，代入圓的方程可得．9.【2014高考福建理第21（2）題】已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為，（為常數(shù)）.（I）求直線和圓的普通方程；（II）若直線與圓有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（I）,;（II）10.【2014高考江蘇第21C題】在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與拋物線相交于兩點，求線段的長.【答案】【解析】直線的普通方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得，∴.11.【2014高考遼寧理第23題】將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；(Ⅱ)設直線與C的交點為，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程.【答案】