割線定理托勒密定理

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)教案學(xué)員編號：年級：年級課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：課程主題：授學(xué)時間：學(xué)習(xí)目的教學(xué)內(nèi)容1，如圖2，P是正△ABC外接圓的劣弧上任一點(不與B、C重疊)，求證：PA=PB＋PC．2，如圖，PT切⊙O于T，PBA、PDC為⊙O的割線，則下列等式成立的是（

）A.

B.C.

D.3，已知PA切⊙O于A，PBC交⊙O于B、C，且PB=BC，若PA=6，則PB長為（

）

A.

B.

C.3

D.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．即：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。是圓冪定理的一種。幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方=PA·PB（切割線定理）\o"查看圖片"

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）(割線定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD證明切割線定理證明:設(shè)ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT²=PA·PB證明：連接AT,BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)\o"查看圖片"

∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似)則PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA一、完善圖形借助托勒密定理例1，證明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求證：AC2=AB2＋BC2例2，如圖，在△ABC中，∠A的平分線交外接∠圓于D，連結(jié)BD，求證：AD·BC=BD(AB＋AC)．．二、構(gòu)造圖形借助托勒密定理例3，若a、b、x、y是實數(shù)，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求證：ax＋by≤1．三、巧變原式妙構(gòu)圖形，借助托勒密定理例4，已知a、b、c是△ABC的三邊，且a2=b(b＋c)，求證：∠A=2∠B．分析：將a2=b(b＋c)變形為a·a=b·b＋bc，從而聯(lián)想到托勒密定理，進而構(gòu)造一種等腰梯形，使兩腰為b，兩對角線為a，一底邊為c．四、巧變形妙引線借肋托勒密定理例5，在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，五，割線定理的應(yīng)用例6，已知P為⊙O內(nèi)一點，，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，，則有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式為

。

例7，如圖，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F兩點，連EF，求證：CM=MD。

例8，已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

例9，兩圓交于A、B，AC、AD切兩圓于A，交兩圓于C、D，連CB，延長交AD于E，圓于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC長。

例10，P為弦AB上一點，C在圓O上，OP⊥PC，求證：（1）（2）若CM=MO=3，OP=4，求AP例11，如圖，AB切⊙O于B，OB交割線ACD于E，AC=CE=3，OE=，求AB長。

例12，如圖，⊙O中直徑AE⊥BF，M為OE中點，BM延長交⊙O于C，連AC，求中三個內(nèi)角的正切值。

例13，如圖，已知中，以C為圓心，作圓與AB相切于點D，且AD=9，BD=16（1）求⊙C的半徑（2）求的值一、在求最值中的應(yīng)用許多題目如果能夠使用該定理，能夠改善解題過程，減少運算量，為考試贏得貴重的答題時間，下面的例子略去了原來比較復(fù)雜的解答（如三角換元、運用基本不等式等），直接給出簡略的解答，以闡明切割線定理在解題中的作用．例14，某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖2所示，塔高米，塔所在的山高OB為220米，OA=200米，圖中所示的山坡可視為直線，且點P在直線上，與水平地面的夾角為，，試問，此人距水平地面多高時，觀看塔的視角最大（不計此人的身高）？二、在求交點中的應(yīng)用例15，已知的圖象與x軸、y軸有三個不同的交點，有一種圓正好通過這三個點，則此圓與坐標(biāo)軸的另一種交點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+AB·BC。2．已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。4.PAB為⊙O的割線，PO交⊙O于C，若PC=CO，則PA=4，AB=5，則OC=（

）A.

B.

C.

D.65.如圖，PA、PB切⊙O于A、B，AO延長線與PB延長線相交于C，若⊙O半徑為3，BC=4，則（

）A.

B.

C.

D.6.已知PA為⊙O的切線，A為切點，PO交⊙O于B，若PA=cm，PB=5cm，那么⊙O半徑為（

）A.15cm

B.10cm

C.5cm

D.cm托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．

即：若四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有BDAC=BCAD+CDAB．托勒密定理的逆定理：如果凸四邊形兩組對邊的積的和，等于兩對角線的積，此四邊形必內(nèi)接于圓。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。是圓冪定理的一種。推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等3.如圖，A