三維自治微分系統(tǒng)的混沌分析與自適應(yīng)反步控制

三維自治微分系統(tǒng)的混沌分析與自適應(yīng)反步控制

1.混沌吸引子研究半個(gè)世紀(jì)以來，通過無數(shù)科學(xué)家的努力研究和探索，人們對(duì)混合運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、規(guī)律以及不同學(xué)科領(lǐng)域的表現(xiàn)有了深刻的理解。所謂的混淆，簡而言之，是一種不確定性的非均質(zhì)運(yùn)動(dòng)。然而，學(xué)術(shù)界對(duì)混合系統(tǒng)幾乎沒有嚴(yán)格的定義，因?yàn)榛旌舷到y(tǒng)非常復(fù)雜，所以從不同的方面理解是不同的。數(shù)學(xué)中常用的定義是：混淆litsea和defender混合。事實(shí)上，混合的第一個(gè)前沿是具有邊界清晰、純血統(tǒng)指數(shù)或正信息熵的。一般來說，混合是穩(wěn)定的，它取決于初始值的敏感性。最大的準(zhǔn)分布指數(shù)是不可預(yù)測(cè)的。1973年，融合成為一個(gè)三維自治系統(tǒng)的第一個(gè)吸吮混淆吸引子。1999年，chen和ueta發(fā)現(xiàn)了與洛倫茲系統(tǒng)家族相似但不同的混合吸引子。近年來的大量研究表明，混合與技術(shù)的聯(lián)系越來越密切。在生物、化學(xué)、力學(xué)、電子、信息、計(jì)算機(jī)工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理等領(lǐng)域，混合應(yīng)用的數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理領(lǐng)域具有廣闊的前景。例如，混合器廣泛應(yīng)用于圖像?；旌掀鞯碾S機(jī)性可以用于液體的完全混合、秘密通信等。因此，在一些重要而有用的領(lǐng)域，為了避免混淆的出現(xiàn)和擴(kuò)大混淆現(xiàn)象，國內(nèi)外科學(xué)工作者普遍采用了高流量控制的混合方法，如連續(xù)可變反饋法、偶然偏差法、脈沖法、自適應(yīng)控制法、線性反饋法、參數(shù)共振微干擾法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、線性反饋法、外部噪聲法等。國內(nèi)外科學(xué)工作者在不同的策略上提出了大量的混合控制方法，如連續(xù)可變反饋法、偶然偏差法、脈沖法、自適應(yīng)控制法、線性反饋法、參數(shù)共振微干擾法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、線性反饋法、外部噪聲法等。這些方法已在光學(xué)、離子、反應(yīng)、液體、電子回路、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物系統(tǒng)等許多實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中得到證實(shí)。盡管目前已經(jīng)有很多混沌系統(tǒng)被研究,但如何根據(jù)實(shí)際需要來構(gòu)造所需的混沌系統(tǒng)以及闡述混沌產(chǎn)生的機(jī)理卻沒有深入的分析,對(duì)混沌吸引子的分析及存在性很少有深入的數(shù)學(xué)證明.最近文獻(xiàn)利用Shilnikov定理分別對(duì)蔡氏電路和分段線性Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行分析,證明了這些系統(tǒng)中存在Smale馬蹄混沌.文獻(xiàn)[6—11]研究了相關(guān)類非線性控制系統(tǒng)的Hopf分岔、混沌現(xiàn)象、吸引子的結(jié)構(gòu)等有關(guān)問題.本文基于異宿軌道Shilnikov定理,通過證明異宿環(huán)的存在性,研究一類新的3D微分系統(tǒng)x′=a(y-x),y′=cx-axz,z′=-bz+xy,(1)其中a,b,c為實(shí)數(shù),a≠0,和Lü系統(tǒng)相比,該系統(tǒng)在參數(shù)選擇上有很大的選擇性,因而它可表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.2.異環(huán)的存3.計(jì)算與分析3.1.系統(tǒng)周期擬周期在參數(shù)a=2,b=1下,從圖1可以看出,當(dāng)c∈[4,5.8]時(shí),系統(tǒng)(1)處于穩(wěn)定周期狀態(tài);當(dāng)c∈(5.8,6]時(shí),系統(tǒng)(1)處于擬周期狀態(tài);當(dāng)c∈(6,10]時(shí),系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài).選取參數(shù)c=9,可以很快計(jì)算出系統(tǒng)的三個(gè)Lyapunov指數(shù)(見圖2)LE1=0.25631>0,LE2=0,LE3=-3.255<0,因?yàn)?故系統(tǒng)為非發(fā)散系統(tǒng),又由于有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù),且Lyapunov維數(shù)DL=2.0787,所以系統(tǒng)在上述參數(shù)下是混沌的.3.2.poincar顯著性映射根據(jù)分岔圖1,選取參數(shù)c=9和c=5,可分別得到相應(yīng)的Poincare映射圖及相圖(見圖3—6).可以看到,系統(tǒng)分別處于混沌,穩(wěn)定周期狀態(tài),同時(shí)可知系統(tǒng)通向混沌的道路為準(zhǔn)周期環(huán)面破裂進(jìn)入混沌.3.3.騎馬的通信接口考慮情形a=2,b=1,c=9,根據(jù)異宿環(huán)存在性分析,可以計(jì)算出λ1=-2.1437,λ2,3=1.0718±3.3833i,Δ=201.2>0,ε+σ=-2.1473<-2(a+b)/3=-2,同時(shí)由于Σni=0di=0,其中n>1,d0=-2.1213,可知系統(tǒng)有馬鞍平衡點(diǎn),并存在連接E+,-的異宿環(huán)(見圖7).4.不確定性控制器為了更加對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行了解,同時(shí)使混沌得到控制,下面針對(duì)未知系統(tǒng)參數(shù)的情況,通過自適應(yīng)反步控制方法設(shè)計(jì)了一個(gè)控制器,使系統(tǒng)可以快速達(dá)到穩(wěn)定,并對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì).考慮受控系統(tǒng)其中參數(shù)a,b,c未知.Backstepping算法5.系統(tǒng)的混沌系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)三大控制.系統(tǒng)混沌控制器a利用異宿Shilnikov方法,通過尋找一類多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的異宿軌道,證明了該系統(tǒng)具有Smale馬蹄形混沌.并通過符號(hào)與數(shù)值運(yùn)算,分析和計(jì)算了該系統(tǒng)的分岔圖,LE譜,同時(shí)對(duì)系統(tǒng)的混沌機(jī)理進(jìn)行了理論分析.最后運(yùn)用自適應(yīng)反步控制技術(shù),對(duì)含有三個(gè)未知參數(shù)的系統(tǒng)給出了控制器設(shè)計(jì)算法,并通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).當(dāng)然,對(duì)于這類新的混沌系統(tǒng),還有許多工作要做,比如非線性控制的設(shè)計(jì)方法,空間周期解的存在性,唯N性等等,由于篇幅有限,此處討論從略.對(duì)于系統(tǒng)