基于GeoGebra的安徽中考最值問題的探究 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選基于GeoGebra的安徽中考最值問題的探究摘要：最值問題是一類常見的綜合性問題，不僅考查學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力，還考模塊。教師若結(jié)合GeoGebra軟件輔助最值問題的教學(xué)，將動(dòng)點(diǎn)背后的“隱形軌跡”可視化，可幫助學(xué)生建立“軌跡意識(shí)”，逐步形成理性精神。關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)，最值問題，GeoGebra軟件一、最值問題最值問題系安徽省中考的熱點(diǎn)問題之一，這類問題通常與復(fù)雜的圖形變換息息相關(guān)，需要用一種動(dòng)態(tài)的視角觀察和剖析運(yùn)動(dòng)中的圖形。通過這類問題的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生在實(shí)踐、體驗(yàn)、驗(yàn)證等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。此類問題?？蓺w于兩類基本情況：一是幾何，多為動(dòng)點(diǎn)在不確定位置的情況下求線段長(zhǎng)度、圖形面積等量的最值，常用的知識(shí)點(diǎn)有：“兩點(diǎn)之間線段最等，解題時(shí)要運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)思維進(jìn)行空間想象，將動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；二是函數(shù)，多為利用函數(shù)思想求解函數(shù)的最值，常常需要根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)變量之間的關(guān)系，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的增減性求某范圍內(nèi)函數(shù)的最值。兩類情況中的條件具有隱蔽性，動(dòng)點(diǎn)的變化具有靈活性，信息化輔助教學(xué)的缺乏會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體驗(yàn)淺薄，無法理解和想象動(dòng)點(diǎn)的軌跡，難以培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。二、GeoGebra軟件的特點(diǎn)聲音、動(dòng)畫等進(jìn)行綜合處理，豐富教學(xué)場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望，利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)?！币惶啄軌蛘洗鷶?shù)、幾何、數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)的GeoGebra軟件是典型的專用軟件代表之一，功能十分強(qiáng)大，它能在“抽象的數(shù)”與“可見的形”之間建立聯(lián)系的通道，幫助學(xué)生穿透表層，直擊知識(shí)的內(nèi)在邏輯和本質(zhì)，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是清晰的、能夠自然生長(zhǎng)的”。GeoGebra12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選表格區(qū)等操作區(qū)域，簡(jiǎn)單易用。利用軟件自身的優(yōu)勢(shì)，突破學(xué)生認(rèn)知水平的局限性，使學(xué)生能夠全身心投入到探究活動(dòng)之中作圖，代數(shù)區(qū)也會(huì)同步生成點(diǎn)的坐標(biāo)與圖像所對(duì)應(yīng)的方程。軟件帶有動(dòng)態(tài)演示功能，足會(huì)，無法言傳”的障礙，實(shí)現(xiàn)以思維的滲透帶動(dòng)具體知識(shí)和技能的探索，真正做到“教會(huì)、教活、教深”。本文從安徽中考求最值的問題出發(fā)，利用GeoGebra軟件讓隱形的動(dòng)點(diǎn)軌跡可視化，體會(huì)運(yùn)動(dòng)前后的變與不變，幫助學(xué)生建立幾何直觀，提升抽象能力。三、GeoGebra環(huán)境下的問題教學(xué)策略1．問題1（2022?安徽第10題已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等C的中心點(diǎn)PC外△C，的面積分別記為S0，，S2，S3+S2+S3＝2S0OP長(zhǎng)的最小值是（ ）A．332

B．532

C．33 D．732（1）淺析根據(jù)題目條件可知，△ABC是確定的，中心O也是確定的。點(diǎn)P在△ABC外，故不確定。但P點(diǎn)所在區(qū)域大致可以分為兩類，先往兩個(gè)方向分別延長(zhǎng)△ABC的各邊，可以把△ABC外的平面分為①②③④⑤⑥共6個(gè)區(qū)域（如圖1），對(duì)其進(jìn)行分類討論，其中①③⑤情況相同，②④⑥情況相同。要求線段OP長(zhǎng)的最小值，需要確定動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖1（2）軟件輔助情況PSVPACS3+22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選1S2+S3＝2S0S3+S0=2S0S3=2

S0S0＝3′62＝93，∴S

93，因AC=6，∴AC邊上的高PD＝33。P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎4 3=2 2GeoGebra可讓學(xué)生感受點(diǎn)D在移動(dòng)過程中對(duì)點(diǎn)PPP點(diǎn)到ACD作AC的垂線，截取DP=33，右擊P點(diǎn)，選擇“跟蹤”，這樣可以發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平2行于ACGeoGebra“測(cè)量線段”的功能測(cè)量OP的長(zhǎng)度，讓學(xué)生初步感受到線段OP的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A向C出發(fā)，OP的長(zhǎng)度是由長(zhǎng)變短，的長(zhǎng)度達(dá)到最小值。此時(shí)問OP垂直于點(diǎn)POP也垂直于＝53。2圖2情況P在②區(qū)域時(shí)，類似于情況1，先用GeoGebra中的“跟蹤”功能，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行于AB的線段（如圖3），再根據(jù)“垂線段最短”得OP的最小值為73P的最小值為53P在②④⑥區(qū)域時(shí)，2 232022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選最小值為73，∵53＜73，答案為B。2 2 2圖32．問題2（2017?安徽第10題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足1

=S矩形ABCD3

，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為（ ）A．29 B．34 C．52 D．41（1）淺析此題學(xué)生不難看出矩形ABCD是確定的，A、B兩點(diǎn)為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，也容易想到將點(diǎn)A或者點(diǎn)BPA或PB很多學(xué)生感到疑惑。解決問題的核心就在于找到點(diǎn)PP的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行于AB的直線，這道題就無從下手。（2）優(yōu)化策略對(duì)于此題目的教學(xué)，我們可以做以下分析：第一步——感性認(rèn)知（如圖4）初步認(rèn)識(shí)圖形的幾何結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中的基本圖形，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，圖中哪些42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選部分是變化的，哪些部分是不變的，發(fā)現(xiàn)PA與PB的長(zhǎng)度都在發(fā)生變化。第二步——觀察數(shù)據(jù)（如圖5）利用GeoGebra“測(cè)量”線段長(zhǎng)度的功能，讓學(xué)生有一個(gè)初步認(rèn)知，控制滑動(dòng)條，PA+PB長(zhǎng)度自P點(diǎn)從左到右的運(yùn)動(dòng)過程中，先由長(zhǎng)變短，再由短變長(zhǎng)，可以發(fā)現(xiàn)，在移動(dòng)到某個(gè)特殊位置時(shí)，PA+PB可以取到最小值。圖4 圖5第三步——發(fā)現(xiàn)軌跡（如圖6）要找到使得PA+PB最小的位置，必須先知道點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用“跟蹤”功能對(duì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行于AB的一條直線，且與AB的距離為2。因此，問題轉(zhuǎn)化為通過軸對(duì)稱求線段和最小的問題。圖6第四步——問題轉(zhuǎn)化（如圖7）確定點(diǎn)PPA+PB的最小值？由點(diǎn)PPA與PB在運(yùn)動(dòng)軌跡的同側(cè)，無法利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來確定最小值，故利用GeoGebraA點(diǎn)關(guān)于運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱點(diǎn)LK與點(diǎn)P，此時(shí)PA'+PB最小，即PA+PB最小，也就是A'B的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出即可。52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖73.問題3（2021?安徽第14題）設(shè)拋物線y=x2，其中a為實(shí)數(shù)。（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-m)，則m= ；（2）將拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是 。淺析在題（1）中，將點(diǎn)(-m)代入拋物線解析式，可得出結(jié)論；題（2）根據(jù)“上加下減”y=x2向上平移2個(gè)單位可得y=x2，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a1,-1(a-)22)令n-1(a-)22因-1＜0所以n的最2 4 4 4大值為2，此題得解。講解完后，我們對(duì)此題可以深度研究，發(fā)現(xiàn)隨著a值的變化，頂點(diǎn)位置也發(fā)生改變。追問1：頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的呢？由剛剛這道題的講解，學(xué)生容易猜想出拋物線。猜想是否正確？首先在GeoGebra?a) a-2 ?

,- A的準(zhǔn)確位置，? 2 4 ÷è ?接著右鍵點(diǎn)擊點(diǎn)A并選擇“跟蹤”鍵，然后拖動(dòng)滑動(dòng)條a，可以觀察發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。（如圖8）62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖8追問2：對(duì)于一般的拋物線y=ax2(a10,當(dāng)a、c確定為常數(shù)，b變化時(shí))，它的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？試求出函數(shù)關(guān)系式。GeoGebra軟件驗(yàn)證，改變參數(shù)b的值得到軌跡如圖9，再利用消元思想可以求出函數(shù)關(guān)系式為yax2。圖9四、幾點(diǎn)體會(huì)1.借助GeoGebra軟件增加學(xué)生獲取知識(shí)的途徑傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)很大程度上常常因條件的限制被定格在“空想”上，缺少直觀演示與互動(dòng)探究。在課堂上，借助GeoGebra軟件演示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可以讓學(xué)生的大腦和五官同時(shí)“動(dòng)起來”，實(shí)實(shí)在在地經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，獲得方式的“缺口”，拓寬了學(xué)生獲取知識(shí)的途徑。72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2.借助GeoGebra軟件強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，然而在一些動(dòng)點(diǎn)最值問題中，問題情GeoGebra軟件做到了圖形與代數(shù)方程的同步變化，實(shí)現(xiàn)了真正的動(dòng)態(tài)演示，遵循著“實(shí)踐認(rèn)識(shí)，再實(shí)踐再認(rèn)識(shí)……的認(rèn)知規(guī)律”，讓學(xué)生經(jīng)歷反復(fù)的猜想、驗(yàn)證等過程逐步觸及到數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升對(duì)“數(shù)量關(guān)系和空間形式”的感悟能力。3.借助GeoGebra軟件提升解題的一般化思維數(shù)學(xué)離不開解題，但數(shù)學(xué)的題目是源源不斷的，所以解題的一般化思維顯得尤為重要。借助GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)化操作中進(jìn)行歸納、假設(shè)，撇開限制條件將例題的要求處理好特殊與一般的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)思想，在“大膽猜想，精心驗(yàn)證，逐步推廣”的過程中培育“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng)?？傊?，如史寧中教授所言：“信息技術(shù)正在通過與學(xué)科的融合來改造我們的教學(xué)，形成一種全新的教學(xué)模式?！睂eoGebra軟件合理、恰當(dāng)?shù)嘏c數(shù)學(xué)相融合，讓學(xué)生在更