第二章-物體的彈性

醫(yī)學(xué)物理學(xué)物體的彈性第二章掌握描述物體彈性的基本概念：形變、應(yīng)變、應(yīng)力、模量。理解應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。了解骨骼的力學(xué)特性和生物材料的黏彈性。教學(xué)基本要求物體形變形變定義：物體在外力作用下發(fā)生形狀和大小的改變。形變類型：從彈性體的恢復(fù)情況劃分有彈性形變、范性（塑性）形變。從形狀變化情況劃分有伸長(zhǎng)、縮短、切變、扭轉(zhuǎn)、彎曲等形變。伸長(zhǎng)和縮短合稱線變。線變和切變是彈性形變的兩種基本類型，其他形變實(shí)際上是這兩種形變的復(fù)合。第一節(jié)線應(yīng)變與正應(yīng)力一、線應(yīng)變對(duì)一細(xì)長(zhǎng)物體施加拉力F使之拉伸,其伸長(zhǎng)變化率稱為線應(yīng)變：

若物體被拉伸＞0,ε＞0；若物體被壓縮＜0,ε＜0。（2-1）1.內(nèi)力物體內(nèi)部任一橫截面兩邊材料之間存在的一種相互作用力。

2.張力垂直于任一截面的拉伸內(nèi)力。3.壓力垂直于任一截面的相互擠壓的內(nèi)力。二、正應(yīng)力4.正應(yīng)力如果是均勻物體，則張力F與橫截面面積S之比，稱為該橫截面上的正應(yīng)力，用σ表示:

（2-2）

如果是物體受力不均勻或者內(nèi)部材料不均勻的一般情況，可以取一個(gè)微小的面元，其面積為

dS，設(shè)這個(gè)面元上的張力為dF

，則該面元上的正應(yīng)力表示為（2-3）正應(yīng)力分為張應(yīng)力(σ＞0)與壓應(yīng)力(σ

＜0).1.低碳鋼正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系從圖上可將拉伸分為彈性、屈服、硬化和頸縮四個(gè)階段：三、正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系（低碳鋼、骨骼、主動(dòng)脈）①?gòu)椥噪A段曲線中OA段，A點(diǎn)稱為正比極限。B點(diǎn)的正應(yīng)力叫做彈性極限。②屈服階段過(guò)了C點(diǎn)是屈服階段，這一階段的最大正應(yīng)力為屈服強(qiáng)度。③硬化階段從D點(diǎn)開(kāi)始是硬化階段，只有加大正應(yīng)力，才能使物體進(jìn)一步伸長(zhǎng)，此即材料的硬化；E點(diǎn)的正應(yīng)力叫做強(qiáng)度極限；④頸縮階段過(guò)了E點(diǎn)是頸縮階段；F點(diǎn)稱為斷裂點(diǎn)。拉伸時(shí)，斷裂點(diǎn)的正應(yīng)力稱為材料的抗張強(qiáng)度。壓縮時(shí)，斷裂點(diǎn)的正應(yīng)力稱為材料的抗壓強(qiáng)度。BF是材料的范性（塑性）范圍。如果F點(diǎn)距B點(diǎn)較遠(yuǎn)，則這種材料能產(chǎn)生較大的范性形變，表示它具有展性。如果F點(diǎn)距B點(diǎn)較近，則這種材料能產(chǎn)生較小的范性形變，材料表現(xiàn)為脆性。實(shí)驗(yàn)表明：在正比極限內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，即（2-4）Y稱為楊氏模量。結(jié)合（2-1）和（2-2）式（2-5）即為胡克定律

其中楊氏模量Y只與材料的性質(zhì)有關(guān)，它反映材料抵抗線變的能力，其值越大物體越不容易變形。幾種材料的楊氏模量見(jiàn)表材料低碳鋼鑄鐵花崗巖鉛骨/拉伸骨/壓縮木材腱橡膠血管楊氏模量Y109N·m-2196785017169100.020.0010.00022.骨作為一種彈性材料，在正比極限范圍之內(nèi)，它的正應(yīng)力和線應(yīng)變成正比關(guān)系。骨骼在被拉伸時(shí)會(huì)伸長(zhǎng)、變細(xì)（如人進(jìn)行懸垂動(dòng)作）。骨骼在被壓縮時(shí)（如舉重）能夠刺激骨的生長(zhǎng)，促進(jìn)骨折愈合；但壓縮作用較大時(shí)能使骨縮短、變粗。拉伸與壓縮的極限應(yīng)力分別為134MN·m-2與170MN·m-2濕潤(rùn)而致密的成人四肢骨的正應(yīng)力-線應(yīng)變曲線3.主動(dòng)脈彈性組織的正應(yīng)力與線應(yīng)變關(guān)系并不服從胡克定律，曲線沒(méi)有直線部分。主動(dòng)脈彈性組織的彈性極限十分接近斷裂點(diǎn)，這說(shuō)明只要它沒(méi)有被拉斷，在外力消失后都能恢復(fù)原狀。彈性組織應(yīng)變可達(dá)到1.0，這說(shuō)明它可以伸長(zhǎng)到原有長(zhǎng)度的兩倍，這一點(diǎn)和橡膠皮比較類似。主動(dòng)脈彈性組織的正應(yīng)力-線應(yīng)變曲線[例2-1]如圖所示，一根結(jié)構(gòu)均勻的彈性桿，密度為

，楊氏模量為Y

。將此桿豎直懸掛，使上端固定，下端自由。求桿中的應(yīng)力和應(yīng)變。解：設(shè)桿在懸掛時(shí)的長(zhǎng)為

l，橫截面積為S。以懸掛點(diǎn)為原點(diǎn)向下作Ox軸，如圖所示，計(jì)算坐標(biāo)為x（0<x<l

）的橫截面處的應(yīng)力和應(yīng)變。由

得這個(gè)截面處的應(yīng)力為：又因?yàn)?，所以這個(gè)截面處的應(yīng)變?yōu)椋篬例2-2]股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面積是

610-4m2，問(wèn)受壓負(fù)荷為多大時(shí)將發(fā)生碎裂？又假定直至碎裂前，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系還是線性，試求發(fā)生碎裂時(shí)的應(yīng)變。

（抗壓強(qiáng)度

=17107

N·m-2）解：導(dǎo)致骨碎裂的作用力

根據(jù)骨的楊氏模量

Y=0.91010N·m-2，可求碎裂時(shí)的應(yīng)變

平面彎曲是指物體具有一個(gè)縱向的對(duì)稱面，所有外力的合力都集中在這個(gè)對(duì)稱面里。在兩個(gè)支架上放置一橫梁。當(dāng)橫梁受到一個(gè)垂直于軸線的橫向壓力

P時(shí)，如圖（b）所示，橫梁發(fā)生彎曲。顯然，凸出的一側(cè)被拉伸，凹進(jìn)的一側(cè)被壓縮。四、彎曲第二節(jié)切應(yīng)變與切應(yīng)力一、切應(yīng)變當(dāng)物體兩端同時(shí)受到反向平行的拉力

F

作用時(shí)會(huì)發(fā)生形變，如圖所示，其內(nèi)部與該截面平行的平面發(fā)生錯(cuò)位，使原來(lái)與這些截面正交的線段變得不再正交，這樣的形變叫做切應(yīng)變。發(fā)生錯(cuò)位的這些平面叫做剪切面，平行于這個(gè)平面的外力叫做剪切力。剪切的程度以Δx/d比值來(lái)衡量，這一比值稱為切應(yīng)變(γ)：（2-6）二、切應(yīng)力彈性體發(fā)生切變時(shí)，任一剪切面兩邊材料之間存在相互作用并且大小相等的切向內(nèi)力。通過(guò)彈性體內(nèi)某一個(gè)面元的切應(yīng)力為（2-8）當(dāng)切向內(nèi)力在上下底面上分布均勻時(shí)，剪切力F

與截面積S之比稱為切應(yīng)力,又稱為剪切應(yīng)力。用τ

表示。（2-7）三、切應(yīng)力與切應(yīng)變的關(guān)系實(shí)驗(yàn)證明，在一定的限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，這種正比關(guān)系叫做切變的胡克定律。即：上式中比例系數(shù)G

稱為切變模量，也叫剛性模量。結(jié)合（2-6）和（2-8）式（2-10）（2-9）與楊氏模量類似，切變模量也只與材料的性質(zhì)有關(guān)，幾種材料的切變模量見(jiàn)表：剪切作用時(shí)，人骨骼所能承受的剪切載荷比拉伸和壓縮載荷都低。骨骼的剪切破壞應(yīng)力約等于54MN·m-2。材料鎢低碳鋼銅鑄鐵玻璃熔石英鋁骨木材鉛切變模量G109Nm-2140784035302510106若使圓柱體兩端分別受到對(duì)中心軸的力矩，且方向相反，則圓柱體便會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。如圖所示，將結(jié)構(gòu)均勻的圓桿下端固定，力矩作用其上端，圓桿一端相對(duì)于另一端的角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，用δ表示。扭轉(zhuǎn)角與母線的傾斜角φ之間的關(guān)系為：四、扭轉(zhuǎn)（2-11）l為桿的半徑，

a為桿的長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)圓桿發(fā)生微弱的扭轉(zhuǎn)時(shí)，扭轉(zhuǎn)角δ與扭轉(zhuǎn)力矩M有如下的關(guān)系：其中G為材料的切變模量。由上式可見(jiàn)，在扭轉(zhuǎn)角δ相同的條件下，扭轉(zhuǎn)力矩M與桿的半徑a

的四次方成正比。顯然，桿的半徑越大扭轉(zhuǎn)越困難。由式（2-9）和（2-11）可知，外緣的切應(yīng)力為（2-12）結(jié)合（2-12）式，最大切應(yīng)力為：（2-14）（2-13）由于承擔(dān)最大的切應(yīng)力的是圓桿的外緣材料，并且從抗扭轉(zhuǎn)性能來(lái)看，靠近中心軸的各層作用不大，因此常用空心管來(lái)代替實(shí)心柱，這樣既可以節(jié)省材料，又可以減輕重量。第三節(jié)體應(yīng)變與體應(yīng)力一、體應(yīng)變物體各部分在各個(gè)方向上受到同等壓強(qiáng)時(shí)體積發(fā)生變化而形狀不變，則體積變化ΔV

與原體積

之比稱為體應(yīng)變，以θ

表示即（2-15）二、體應(yīng)力物體在外力作用下發(fā)生體積變化時(shí)，如果物體是各向同性的，則其內(nèi)部各個(gè)方向的截面積上都有同樣大小的壓應(yīng)力，或者說(shuō)具有同樣的壓強(qiáng)。因此，體應(yīng)力可以用壓強(qiáng)來(lái)表示。三、體應(yīng)