三角形中的邊角關(guān)系命題與證明-三角形的邊關(guān)系課件滬科版數(shù)學八年級上冊

三角形的三邊關(guān)系滬科版八年級上冊數(shù)學知識梳理什么叫三角形有三條邊組成.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.能組成三角形不能組成三角形適當縮短兩邊長度.任意三條線段都能組成三角形嗎由此可以得到三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.不能組成三角形適當縮短兩邊長度.根據(jù)三邊的長度三角形可以進行怎樣的分類兩條邊相等等腰三角形三條邊相等等邊三角形根據(jù)是否有邊相等分：三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形能否組成三角形【例】下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？(1)3，4，8；(2)5，6，11；(3)5，6，10．分析：解：怎樣的三條線段可以組成三角形三條線段要符合三角形三邊關(guān)系定理兩條較短邊之和大于較長邊兩條較短邊之和等于或小于較長邊能構(gòu)成三角形不能構(gòu)成三角形(1)3，4，8，347<8(2)5，6，11，611=115(3)5，6，10，611>105兩條較短邊之和等于較長邊不能構(gòu)成三角形兩條較短邊之和大于較長邊能構(gòu)成三角形方法小結(jié)：能否組成三角形問題，只要利用三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊，判定即可，先將三邊按從小到大排列，判斷兩較短邊之和是否大于較長邊．兩條較短邊之和小于較長邊不能構(gòu)成三角形求第三邊的長或范圍

分析：兩邊已知三邊關(guān)系定理得到c的取值范圍

解：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.三邊關(guān)系定理：由三邊關(guān)系定理可得：

方法小結(jié)：三角形三邊關(guān)系中求范圍的問題,實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式,然后解不等式即可．

分析：先求不等式的解集根據(jù)三邊關(guān)系定理可以得到第三邊的取值范圍結(jié)合前面兩個取值得到最終x的取值范圍.根據(jù)x是正偶數(shù)得

出最終邊長值.解：

所以第三邊長為10.方法小結(jié)：這道題目考查的是不等式和三角形三邊關(guān)系的綜合,先正確的解出不等式的解集,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理去求出正確的邊長即可.求等腰三角形的周長或邊長【例】等腰三角形的一邊等于3,一邊等于6,求它的周長.分析：哪條是底？哪條是腰？解：等腰三角形分類討論,利用三邊關(guān)系定理排除不能組成三角形的情況求周長即可①當腰長為3,則底邊長為6,此時三邊長分別為3,3,6,

②當腰長為6,則底邊長為3,此時三邊長分別為3,6,6,

方法小結(jié)：求等腰三角形的周長的問題，首先要知道有兩條邊相等,根據(jù)已知的邊進行分類討論,羅列所有的可能性并檢驗三邊長能否組成三角形,把不符合題意的舍去;符合題意的求出周長即可.【例】已知等腰三角形的周長為16,且一邊長為3,則腰長是多少.分析：解：一邊長為3它是底邊還是腰分類討論,用三邊關(guān)

系定理驗證即可

這時三角形的腰長就是.方法小結(jié)：求等腰三角形邊長的問題一定要清楚題干已知條件是底邊長還是腰長,如果未說明,我們就需要進行分類討論,另外還要注意三邊能不能構(gòu)成三角形.

分析：根據(jù)偶數(shù)次方和絕對值的非負性求出b,c的值這個式子在哪出現(xiàn)過解絕對值方程用三邊關(guān)系定理判斷三邊能不能組成三角形求周長并用三邊來判斷三角形形狀解：

(分類討論！)

方法小結(jié)：由題根據(jù)偶次方和絕對值的非負性求出b,c的值,再求解絕對值等式即可得到全部三邊長,然后判斷三邊能不能構(gòu)成三角形,求周長,通過三邊長度判斷形狀即可.絕對值的化簡

分析：化簡絕對值要判斷大小去絕對值化簡即可根據(jù)三邊關(guān)系定理可以

得到三邊的大小關(guān)系解：因為a,b,c為△ABC的三邊,

方法小結(jié)：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系化簡絕對值,需要先根據(jù)三邊關(guān)系定理得到兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,然后根據(jù)這個不等關(guān)系去化簡絕對值即可.不等關(guān)系的證明【例】如圖，P是三角形ABC內(nèi)任意點，證明AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).分析：AP+BP+CP<AB+BC+CA無法直接證明不妨添加輔助線構(gòu)造三角形證明利用三角形的三邊關(guān)系定理證明可得AB+BC+CA<2(AP+BP+CP)觀察△APC，由三角形的三邊關(guān)系定理可得AC<AP+PC同理在△ABP和△BPC中可得AB<AP+PB,BC<BP+PCABCP【例】如圖，P是三角形ABC內(nèi)任意點，證明AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).解：如圖,延長BP交AC于點D

，D在三角形ABD中,PB+PD<AB+AD①在三角形PCD中,PC<PD+CD②①+②可得：PB+PC+PD<AB+AD+PD+CD，即AB+AC>PB+PC③

，同理可證AB+BC>AP+PC

④，CA+CB>PA+PB⑤，③④⑤三式相加可得

2AB+2BC+2AC>2AP+2PC+2PB，所以AB+BC+AC>AP+PC+PB，由三邊定理可得AC<AP+PC,

AB<AP+PB,BC<PB+PC，所以AB+BC+AC<2AP+2PC+2PB，所以AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).方法小結(jié)：與三角形三邊關(guān)系相關(guān)的不等關(guān)系的證明要熟練掌握三邊關(guān)系的定理，學會去添加輔助線構(gòu)造三角形，并且需要足夠細心，不能遺忘任何一條邊.ABCP總結(jié)由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.

根據(jù)是否有邊相等分為：三角形的三邊關(guān)系相關(guān)知識點

三角形的定義

三角形的三邊關(guān)系

三角形的分類

三角形三邊關(guān)系相關(guān)題型方法總結(jié)能否組成三角形求第三邊的長

或范圍求等腰三角形的周長或邊長絕對值的化簡不等關(guān)系的證明利用定理兩邊之和大于第三邊即可，然后用兩個比較小的數(shù)的和去和第三個數(shù)比，大于第三個數(shù)就能組成三角形，反之，不能.根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，建立不等式，求解即可得出第三邊的范圍，也可再根據(jù)其他限定條件求出第三邊的長度.首先要知道有兩條邊相等，根據(jù)已知的邊來進行分類討論，羅列所有