任意角的三角函數(shù)12

10/15/202311.2.1任意角的三角函數(shù)海北一中孔繁蛟10/15/20232

在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？

復習回顧:OabMPc10/15/20233OabMP

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1.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？新課引入:10/15/20234

yx1.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？﹒﹒orba10/15/20235如果改變點Ｐ在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？﹒∽MOyxP(a,b)誘思探究:能否通過|op|取特殊值將表達式簡化呢？10/15/20236以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓叫做單位圓.10/15/202372.任意角的三角函數(shù)定義10/15/20238yx10/15/20239任意角的三角函數(shù)定義域

因為，正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以點的坐標與該點到原點的距離或坐標與坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，所以,我們將他們稱為三角函數(shù).

所以,使比值有意義的角的集合就是三角函數(shù)的定義域.

因為任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關，而與點P在角的終邊上的位置無關.10/15/202310三角函數(shù)定義定義域y=sinαy/rRy=cosαx/rRy=tanαy/x{α|α≠kπ+π/2,k∈Z}三角函數(shù)的值在各象限的符號：++______++++三角函數(shù)的值由α終邊所在象限的坐標的值確定口訣“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”三角函數(shù)的幾何表示：1.規(guī)定了方向（即規(guī)定了起點和終點）的線段稱為有向線段；2.規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線；3.有向線段與有向直線平行時，它們的方向相同或相反，思考：能否用有向線段來表示角α的三個三角函

數(shù)值？分別把它的長度添上正號或負號，這樣所得的數(shù)叫做有向線段的數(shù)量；記為AB。10/15/202313yxo

的終邊MPATyxo

的終邊MPAT

設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),由于r=1,則sinx=y,cosx=x,tanx=y/x.過P作X軸的垂線,交X軸于M(x,0)MP=y=sinα,OM=x=cosα,三角函數(shù)線MP是α的正弦線OM是α的余弦線思考:如何用有向線段表示α的正切?AT是正切線10/15/202314三角函數(shù)三角函數(shù)線正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切線ATyxxO-1

PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函數(shù)線是有向線段！正弦線MP余弦線OM數(shù)形結合:用有向線段表示三角函數(shù)值10/15/202315例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐標系中，作，易知的終邊與單位圓的交點坐標為所以思考：若把角改為呢?，，

﹒﹒例題講解:10/15/202316于是，練習1已知角的終邊過點，求的三個三角函數(shù)值.解：由已知可得：鞏固練習:

(1)已知角α的終邊過點P(2a，-3a),求α的正弦、余弦、正切.

(2)已知角600°的終邊上有一點P(-4，a)，求a的值.例題2：(1)試作出角α的終邊，使sinα=0.5；

(2)根據(jù)(1)求出所有滿足sinα=0.5的角α的集合.

(3)根據(jù)(1)、(2)求出所有滿足sinα>0.5的角α的集合.

(4)根據(jù)(1)、(2)求出所有滿足sinα<0.5的角α的集合.10/15/202319

例3求證：當且僅當下列不等式組成立時，角θ為第三象限角.①

②證明：因為①式成立,所以角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；又因為②式成立，所以角的終邊可能位于第一或第三象限.因為①②式都成立，所以角的終邊只能位于第三象限.于是角為第三象限角.反過來請同學們自己證明.鞏固練習:(1)若角α是第二象限角，且則是第

象限角；(2)若θ是第二象限角，則函數(shù)值sin(cosθ)·cos(sinθ)是

號.10/