導(dǎo)數(shù)中不等式證明的思維拓展 論文

PAGEPAGE1導(dǎo)數(shù)中不等式證明的思維拓展摘要：本文探討了虛設(shè)零點(diǎn)，切線放縮，凹凸反轉(zhuǎn)等進(jìn)行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進(jìn)行證明的基本思路.使用這些方法可以簡潔、快速地解決一些不等式的證明問題.關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);不等式;證明引言：導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)知識(shí)，也是歷年來高考的典型題型，通常會(huì)設(shè)置在壓軸題目位置，并與求證不等式結(jié)合，從而考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)對不等式進(jìn)行求解的掌握能力，有些不等式的求解難度高，通過比較法、歸納法、判別法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等都難以求解，對學(xué)生來說求證難度大，導(dǎo)數(shù)作為微積分學(xué)的基本內(nèi)容，利用其證明不等式是一種行之有效的好方法.本文對導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法進(jìn)行了幾種歸納和探究，利用之，能將某些不等式的證明化難為易，迎刃而解，尋找一些規(guī)律，實(shí)現(xiàn)一題多解，幫助學(xué)生拓展思維，打開思路，快速攻克不等式求證.1.單變量不含參不等式證明方法之虛設(shè)零點(diǎn)（隱零點(diǎn)問題）（1）隱零點(diǎn)問題處理的基本思路：形式上虛設(shè)，運(yùn)算上代換，數(shù)值上估算．（2）隱零點(diǎn)問題求解步驟：①用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f)，并結(jié)合f的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍．②以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．③將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小．2.單變量不含參不等式證明方法之切線放縮生成方法一：利用曲線的切線放縮，實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)（1）y=ex設(shè)y=ex上任一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則過該點(diǎn)的切線方程為：y-em(x-m)，即y(x-mem，由此可得與ex有關(guān)的不等式：ex3em(x-mem，其中xR，mR，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)成立．特別地，當(dāng)m時(shí)，有ex31+x;當(dāng)mex3ex．（2）y

x設(shè)yx上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則過該點(diǎn)的切線方程為：y-ln

n=1(x-n)，即y=1x-n，n n由此可得與lnx有關(guān)的不等式：ln

x￡1x-n

n，其中xn，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)成立．特別地，當(dāng)n時(shí)，有l(wèi)n

x￡x-1;當(dāng)n時(shí)，有l(wèi)nx￡1x．e生成方法二：利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮，化超越函數(shù)為分式函數(shù)由圖1可得lnx3

x-1;由圖2可得lnx

x3-1 ;ex;由圖3可得，ln

x￡2(x-(0<x，lnx3x

2(x-(x3;x由圖4可得，lnx3

1(x-2

1)(0<x，lnx

x￡1(x-2

1)(x3．x用xx的位置，相應(yīng)的可得到與ln(x有關(guān)的常用不等式．3.單變量不含參不等式證明方法之凹凸反轉(zhuǎn)（或公切線隔離）（1）凹函數(shù)、凸函數(shù)的幾何特征yｙ＝fyｙ＝f(x)Ox1x2xyｙ＝f(x)Ox1x2x圖象上任意弧段位于所在弦的下方的函數(shù)為凹函數(shù)

O圖象上任意弧段位于所在弦的上方的函數(shù)為凸函數(shù)x圖5凹凸函數(shù)幾何特征圖（2）凹函數(shù)、凸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特征①定理1設(shè)函數(shù)f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)為(a,b)上的凹函數(shù)?

f為(a,b)上的遞增函數(shù)?f(x)30不在(a,b)的任一子區(qū)間上恒為零．②定理2設(shè)函數(shù)f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)為(a,b)上的凸函數(shù)?

f為(a,b)上的遞減函數(shù)?f￡0且不在(a,b)的任一子區(qū)間上恒為零．（3）凹凸反轉(zhuǎn)證明f(x)時(shí)，大多數(shù)情況下都是證明f(x)min，但很多時(shí)候，f的零點(diǎn)無法求解.此時(shí)可以用設(shè)隱零點(diǎn)的方法,但是隱零點(diǎn)也不是萬能的方法，如果隱零點(diǎn)法不行可嘗試用凹凸反轉(zhuǎn).凹凸反轉(zhuǎn)關(guān)鍵是如何分離，常見的不等式是由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成，當(dāng)我們構(gòu)造差值函數(shù)不易求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)時(shí)(當(dāng)然可以考慮用隱零點(diǎn)的方法)，要考慮指、對分離(對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友，指對在一起，常常要分手)，即指數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)組合與對數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)組合分開，構(gòu)造兩個(gè)單峰函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)分別求兩個(gè)函數(shù)的最值并進(jìn)行比較.當(dāng)然我們要非常熟練掌握一些常見的指(對)數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式組合的函數(shù)的圖象與最值.例1(2021高考模擬）設(shè)函數(shù)f(x)x-2ln

x求證：f(x)34．解析 可證f存在唯一零點(diǎn)，所以可設(shè)f在(0,)上的唯一零點(diǎn)為x0．當(dāng)x?

(0,x0)時(shí)，f;當(dāng)x?

(x0,)時(shí)，f．所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．x因?yàn)?e2x0-x

2，2xln

x所以f(x)=1

34.x0 0 0 0x0 01(當(dāng)且僅當(dāng)=2

時(shí)等號(hào)成立)所以f(x)34.法二（凹凸反轉(zhuǎn)）e2x-2lnx

4 e2x

2ln

xf(x)34? 3 ? 3 ．x x x x構(gòu)造函數(shù)g(x)=

e2xx

，求g(x)min.構(gòu)造函數(shù)h(x)=

2ln

xx

，求h(x)max，由g(x)min3h(x)max即可證明.法三f(x)34?

e2x-2ln

x34?

e2x32ln

x.證明e2x32ex，2ln

x￡2ex即可.（即找y和y=2ln

x的隔離直線y.或者說對y進(jìn)行切線放縮）點(diǎn)評：法一利用f的隱零點(diǎn)x0求出f(x)最小值，結(jié)合基本不等式即可證明，解法較為常規(guī)，有時(shí)隱零點(diǎn)求最值較為繁瑣.法二通過構(gòu)造雙函數(shù)g(x),h(x)由g(x)minh(x)max來證明，要求非常熟練掌握一些常見的指對函數(shù)和多項(xiàng)式組合的函數(shù)與最值.法三通過找隔離直線y來證明較為簡單.例2(2022高考模擬21題第二問）已知函數(shù)f(x)3ln

x．證明：對任意的x，不等式xex3

f(x)恒成立，解析 法一（最值分析）要證對任意的x，不等式xex3

f(x)恒成立，PAGEPAGE5即證x時(shí)，xex3ln

xx(ex--ln

x-130恒成立，令g(x)=x(ex--ln

x-1，=x(ex-

1-1=(xxx xx

-，再令h(x)=xex-1，=(x，所以h(x)為(0,)上的增函數(shù)，又h(0)1，-1，所以存在唯一的?使h(x0)，即

-1，所以當(dāng)x?

(0,)時(shí)，h(x)g(x)為減函數(shù);當(dāng)x?

(x0時(shí)，h(x)g(x)為增函數(shù);所以g(x)ing(x)x(e0-)-nx

-1xe0-nx

-x-1，0 0 0 0 0 0又由xe0-10得xe0,-nx

=x．0 0 0 0x所以g(x)min=g(x0)-1+x0.x故對"xg(x)3

g(x0)xe

3ln

x恒成立，即對任意的x，不等式xex3

f(x)恒成立．法二（最值分析）要證對任意的x，不等式xex3

f(x)恒成立，即證x時(shí)，xex3ln

xlnx￡1恒成立，xexg(x)=ln

x

g(x)max

g(x)max￡1令xex

，求 由 即可證明.法三（同構(gòu)＋切線放縮）要證對任意的x，不等式xex3

f(x)恒成立，即證x時(shí)，xexx3ln

xex3

x恒成立即得）點(diǎn)評：法一構(gòu)造差值函數(shù)g(x)，再利用隱零點(diǎn)法求g(x)min0證明，法二構(gòu)造商函數(shù)g(x)，再求g(x)max1證明，法三同構(gòu)函數(shù)結(jié)合切線放縮來證明較為簡單，但要求熟練掌握一些常見指對函數(shù)同構(gòu)，通過巧妙的同構(gòu)函數(shù)，借助該函數(shù)的單調(diào)性簡化不等式.同構(gòu)思想非?？疾鞂W(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).例3（2020福州模擬)已知函數(shù)f(x)=eln

x-ex證明：xf(x)-ex￡0．PAGEPAGE6解析 法一(指對分手（凹凸反轉(zhuǎn)）)ex因?yàn)閤，所以只需證f(x)￡ -2e,xx因?yàn)閒(x)max=fe．記g(x)=ex

-2e(x，則=(x

-1)exx2

x，所以當(dāng)0<xg(x)遞減;當(dāng)x，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)mine．ex綜上，當(dāng)x時(shí)，f(x)￡g(x)，即f(x)￡ -2e,即xf(x)-ex￡0．xyyxg)= 2?exOxf)=?ln)?x圖6法二(指對分手（凹凸反轉(zhuǎn)）)由題意知，即證exln

x-ex2-ex￡0，從而等價(jià)于ln

exx-x￡ ．ex設(shè)函數(shù)g(x)

x-x，則=1-1．x所以當(dāng)x?時(shí)，g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x?)時(shí)，g(x)遞減;從而g(x)在x?

(0,上的最大值為x xx設(shè)函數(shù)h(x)=e

，則=e(

-．ex2所以當(dāng)x?時(shí)，h(x)遞減;當(dāng)x?)時(shí)，h(x)遞增;從而h(x)在(0,)上的最小值為．綜上，當(dāng)x時(shí)，f(x)￡h(x)，即xf(x)-ex￡0．PAGEPAGE7yyxh)=?xOg)=ln)x+2x圖7法三（同構(gòu)＋切線放縮）由題意即證exln

x-ex2-ex￡0?

exlnx-x￡ ?

lnx-x<ex-lnx-1．②整體代換：令t=x-ln

x-130，ex②證明 =ex-Inx-13ex

x-ln

x-=x-ln

x31lnx-x￡x-1-x法四（同構(gòu)＋切線放縮）由題即證ex=ex-lnx．

lnx-ex2-ex￡0?

exlnx-x￡ ?

eln

exx-ex￡x①整體代換：令t=x-ln

x31，ex②證明： =ex-lnx3e(x-lnx

x)-eln

x3ex-e(x-;eln

x-ex￡e(x--ex即可．點(diǎn)評：法一、法二構(gòu)造雙函數(shù)，利用其最值進(jìn)行證明，凹凸反轉(zhuǎn)關(guān)鍵是如何分離，構(gòu)造兩個(gè)單峰函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)分別求兩個(gè)函數(shù)的最值并進(jìn)行比較;法三、法四通過同構(gòu)函數(shù)結(jié)合切線放縮證明，同構(gòu)法是證明不等式的一種技巧，同構(gòu)法