高考數(shù)學(xué)中解析幾何題的多角度解法研究與教學(xué)啟示 論文

2021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選高考數(shù)學(xué)中解析幾何題的多角度解法研究與教學(xué)啟示摘要：從一道橢圓定點(diǎn)問題的求解思路出發(fā)，將結(jié)果推廣到一般的圓錐曲線的情方式對(duì)條件，將其拓展到雙曲線與拋物線中，得到一般性的結(jié)論。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；多角度研究；定點(diǎn)問題；思維拓展引年全國(guó)新高考I222020年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)第20志——數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)其進(jìn)行了多角度研究.一、問題分析x2 y21．例1已知橢圓C： +的離心率為2，且過點(diǎn)（1）求C的方程：

a2 b2 2在C為定值．AM⊥AN，所以得出他們的斜率之積為定值-1，進(jìn)而可以求出直線MN過定點(diǎn)。源于課本，人教A版數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第33頁(yè)的例3：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B是拋物線y2px(pOA^OB,OM^AB并與AB相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程。O換成了橢圓上的定點(diǎn)2017年全國(guó)I卷的第20題，發(fā)現(xiàn)他們有哪些共同點(diǎn)？（2017（2017年全國(guó)I卷的第20題）已知橢圓C：xy+ >0)，四點(diǎn)P? 3?

?3?

a2 b2 1C1，222上．÷ ? ÷è ? è ?（1）求C的方程；l不經(jīng)過點(diǎn)且與C相交于A、BA與直線B的斜率的和為12021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選-1，證明：l過定點(diǎn)．2017年全國(guó)I卷的第20題的第二小問考察的是橢圓上的一定點(diǎn)與橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的斜率之和為定值-1，則該兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在的直線過定點(diǎn).而2020年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)壓軸題的第二小問考察的是橢圓上的一定點(diǎn)與橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的斜率之積為定值-1問題1：橢圓上的一定點(diǎn)與橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的斜率之和為定值，則該兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在的直線是否一定過定點(diǎn)？問題2：橢圓上的一定點(diǎn)與橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的斜率之積為定值，則該兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在的直線是否一定過定點(diǎn)？筆者通過研究發(fā)現(xiàn)以下一般性的結(jié)論：二、歸納結(jié)論x2 y2結(jié)論1：過橢圓C： +

上一定點(diǎn)P(x,y

)作直線PB，斜率分a2 b2 0 0別為,k2，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)且.2則當(dāng)l時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值，定值為b.20a2y0? 2 ?當(dāng)l10時(shí)，證明：直線AB過定點(diǎn)?x

-2y0,-y

2b- è0 l

0 la2?其中當(dāng)l時(shí)，直線AB的斜率為定值.2009年遼寧理科第20題就考過,（2009年遼寧x2 y2理科第20C： +A3)（1）求橢圓C的方程；

a2 b2 2是橢圓CAE的斜率與AF直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.我們進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：x2 y2結(jié)論2：過橢圓C： +上一定點(diǎn)P(x,y

)作直線PB，斜率分a2 b2 0 0別為,k2，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)且k1k2.2則當(dāng)l=b2a2

時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-y0.x0當(dāng)l1

b2 a22 la22 ?時(shí)，證明：直線AB過定點(diǎn) x,- y .a2 ?la2-b20

la2-b2 0÷è ?22021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2 題目的多角度解法研究如果把上面的結(jié)論中的橢圓換成雙曲線或拋物線，我們思考是否還有類似的結(jié)論呢？筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：x2 y2結(jié)論3：過雙曲線C： - b上一定點(diǎn)P(x,y

)作直線PB，斜a2 b2 0 0率分別為,k2，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)且.則當(dāng)l時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-

b2x0.00a2y0x當(dāng)l10時(shí)，證明：直線AB過定點(diǎn)?x

-2y0,-y

2b2x?0.0?0 l

0+ 2÷laè ?x2 y2結(jié)論4：過雙曲線C： - b上一定點(diǎn)P(x,y

)作直線PB，斜a2 b2 0 0率分別為,k2，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)且k1k2.則當(dāng)l

b時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-y0.22a x022b2 2-

2 2- 2 ?當(dāng)l1-

時(shí)，證明：直線AB過定點(diǎn)a b,-la b .x ya2 ?la2x y

la20÷è ?0 0結(jié)論5：過拋物線C：y2=2px上一定點(diǎn)P(x,0 0

)作直線PB，斜率分別為,k2，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)且.則當(dāng)l時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-p.y0x當(dāng)l10時(shí)，證明：直線AB過定點(diǎn)?x

-2y0,-y

2p?+?0 l

0 l÷è ?證明：當(dāng)l10時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：xA(x1,),B(x2,y2)聯(lián)立ìx?

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pm? ?12因?yàn)閗

=-

y0+y2-

0=2p(1-

y0)

2p(y2-

y0)1 2 x

x x

x y2-y2

+y2-y21 0 2 0 1 0 2 032021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 2p 2p

2p1y22y0

2pt2y0yy

yyy

y

2pm2pyty21 0 2 0

1 0 2 0 0 0將y2px代入化簡(jiǎn)得k=

2pty0

m=yt

-2pty00 00 0 1 2 -m+yt0 0? ?

? 2y2p ?所以直線y+y

-2p-

2y0恒過點(diǎn)x-

0， -y .? 0 l÷ 0 l

?0 l l 0÷è ? è ?0 0結(jié)論6：過拋物線C：y2=2px上一定點(diǎn)P(x,0 0

)作直線PB，斜率分別為,k2，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)且k1k2.證明：直線AB過定點(diǎn)

x-2p,-y? ??0 l 0÷è ?證明：設(shè)直線AB的方程為：xA(x1,),B(x2,y2)聯(lián)立ìx?

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pm? ?12因?yàn)閗k

=-

y y-20×2

0=2p(1-

y0)

2p(y2-×

y0)12 x

x x

x y2-y2

y2-y21 0 2 0 1 0 2 02p 2p

4p2

4p2= × = =y+y y+y

(y+y

)(y

+y)

-2pmpyt+y21 0 2 0 1 0 2 0 0 0將y2px代入化簡(jiǎn)得kk= 2p

m=yt

-2p0 00 0 12 -m+yt0 0所以直線：xt(y0)0-3 引申拓展

2pl

恒過點(diǎn)?-??0

2pl

?y0y?2+筆者進(jìn)一步研究2020年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)第20題：已知B分別為橢圓E:xy2+a2的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG，P為直線x上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.42021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn).筆者發(fā)現(xiàn)上面這道題對(duì)一般的橢圓也同樣適用，得到一系列的結(jié)論。結(jié)論7：已知B分別為橢圓E:

x2 y2+22 >0)的左、右頂點(diǎn)，P為直線+2a bx10,m1PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.2 ?證明：直線CD過定點(diǎn)M?m,0è ?證明：設(shè)C(1,1,D(2,y2,P(,t)若t10，設(shè)直線CD的方程為x.由于直線PA的方程為y=

tm

(x，所以

= tm

(1

+a)……①.直線PB的方程為y=

tm-a

(x-a)，所以y2

=tm-a

(2

-a)……②.聯(lián)立①②消t可得1(2-ama)=y2(1am-a).又因?yàn)閤2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)222a2 b2222

2 a2 22

b2所以1y2(2-ama)=y2

(1am-a=-2(2a

-a(1am-a)22即ay2+a)+b22

(1a(2am-a)0將,x2ky2代入上式得12a2mab2mak2yy12

kb2ay

y2

b2maa20…③1將x1

2 2代入x代入xya2 b2

2 22 22k2b2a2)y2b2klyb2l2-a2)0.所以y+y2bkl,yy

bl-ba.代入③式得

1 2 b2k2+a2

12=b2k2+a252021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選a2mab2mak2b22a22k2b4maab2maa2b2k2a20即a2mab2mak2a2k2b2mamaab2k2a20即a2maamab2k2a2k2b2ab2k2a20即a2maamaaa20，即maamaa0a2 a2即 故直線CD的方程為x+m m

，即直線 過定點(diǎn) CD MCD M?

?,0?2 2, ,若t，則直線CD的方程為y，過點(diǎn)M0?.綜上，直線CD過定點(diǎn)M0, ,?m ÷

?m ÷è ? è ?我們平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)還要學(xué)會(huì)逆向思維，就是把條件和結(jié)論互換看看命題是否還成立，筆者發(fā)現(xiàn)本題條件和結(jié)論互換命題同樣成立。結(jié)論8：已知B分別為橢圓E:

x2 y2+1a+1ab0)的左、右頂點(diǎn)，過 ( )2 2a b10,m1±a)點(diǎn)作一條直線與橢圓E相交于C,D兩點(diǎn)，若直線AC和BD相交于點(diǎn)P.a2證明：P點(diǎn)在定直線x 上.m證明：設(shè)C(1,1,D(2,y2,P(0,0)設(shè)直線CD的方程為x.由于直線AC的方程為y=

(x……①.直線BD的方程為y=

y2x2-a

(x-a)……②.聯(lián)立①②消y可得

y2(1a) 0a= .1(2-= .-a62021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選又因?yàn)閤2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)2a2 b22

1 a2 1x+a

yy(x+a)

a2yy

(x+a)

a2yy0

121 121

12 所以x

=a y2(x-a) b2(x2-a2a) b2(x

a)(x

a)0 1 2

1 2 1 2a2yy a2yyb-a)(ky-a) 2 2

( ( )( 2

……③12 122 é ùb kyym-a

y+y

+m-a1 2 ?

12 1 2 ?將將xym代入xy+ 得a2 b2k2b2a2)y2b2yb2m2-a2)0.2b2km b2m2-b2a2,yy=.所以,yy=.

22 2 12

22 2代入③式得

bkbkx

a2b2m2-a2)0 x-a

2é22(

2 2)

22( )( 2(2

2 20 b kbm-a

-2kbmm-a

+m-a bk? ?即x

a2ma)

a2ma)

ma 0 x-a

kb+a)-2kbm-k)

a2-a)

m-a22 22 22 202 2a a 即x 故P點(diǎn)在定直線x 上.0 m m我們發(fā)現(xiàn)2020年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)第20題也是直線過定點(diǎn)問題，那么這題和結(jié)論1有沒有聯(lián)系呢？它能不能轉(zhuǎn)化為結(jié)論1問題。2020年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)第20題的第二種解法：x2(1)E的方程： +y29(2)設(shè)P(6,t)，因?yàn)锳(-0),B0)，所以kPA1

=t,k9 PB

=t31

kPB.即kBD=3kAC.由點(diǎn)差法可得k

BC

.所以k9

BC.3ì xy設(shè)直線CD的方程為xlymm13,C(1,1,D(2,y2,聯(lián)立í2 2?xy-9得l29)y22lym2-90.所以y+y

2lm -,y-

=m-9.21 2 l2122

l2因?yàn)閗1，即gy21即3yyy-y-3)=03

x-3x

-3 3

12 1 21 2( 2) ( ( )( 2即3y2

m-3+y2

+m-372021年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選即3l2m2-9)-2l2mm-3)m-329l2)0.因?yàn)閙13，所以m=3.即直線CD過定點(diǎn),0?.2 ?2 ÷è ?進(jìn)一步研究我們還可以把2020年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)第20題進(jìn)行改編得到下面的題目。2 +變式.已知A，B分別為橢圓E:xy2的左，右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG.直線+a2x與E交于不同的兩點(diǎn)C,D，直線x與直線BD交于點(diǎn)P.求證：當(dāng)mn時(shí)，C,P三點(diǎn)共線．解析(1)由題意知G(0,1),A(-a,0),B(a,0)，∴AG-=a2-1，x2解得a，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2.9(2)由題可知直線CD的方程為xty,設(shè)C(1,1,D(2,y2，Pn,t)，ìx

t2

y2-9

D>0

2m m2-9聯(lián)立íx2y2x得( )y+y

,yy= ，1 2 2 12 2t 9 t 9? + +tk k n-3C∵PA=PA=nk k n-3C

y2y1=21

1，kBDk

kPB=y

t n-3= y

n，k =y = y，-9 9∵BC

1 1BD

2 2 ，\kk-3=-3y2

x2-3=

ty2-3

y2BCBD--3)

t2yy

tm-3(yy)m-321 2m2-9

12 1 2m2-9

m= = =t2m