高考數學中解析幾何題的多角度解法研究與教學啟示 論文

2021年安徽省中小學教育教學論文評選高考數學中解析幾何題的多角度解法研究與教學啟示摘要：從一道橢圓定點問題的求解思路出發(fā)，將結果推廣到一般的圓錐曲線的情方式對條件，將其拓展到雙曲線與拋物線中，得到一般性的結論。關鍵詞：圓錐曲線；多角度研究；定點問題；思維拓展引年全國新高考I222020年全國I卷數學第20志——數學教學，對其進行了多角度研究.一、問題分析x2 y21．例1已知橢圓C： +的離心率為2，且過點（1）求C的方程：

a2 b2 2在C為定值．AM⊥AN，所以得出他們的斜率之積為定值-1，進而可以求出直線MN過定點。源于課本，人教A版數學選修4-4坐標系與參數方程第33頁的例3：O為坐標原點，B是拋物線y2px(pOA^OB,OM^AB并與AB相交于點M，求點M的軌跡方程。O換成了橢圓上的定點2017年全國I卷的第20題，發(fā)現他們有哪些共同點？（2017（2017年全國I卷的第20題）已知橢圓C：xy+ >0)，四點P? 3?

?3?

a2 b2 1C1，222上．÷ ? ÷è ? è ?（1）求C的方程；l不經過點且與C相交于A、BA與直線B的斜率的和為12021年安徽省中小學教育教學論文評選-1，證明：l過定點．2017年全國I卷的第20題的第二小問考察的是橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之和為定值-1，則該兩個動點所在的直線過定點.而2020年全國新高考I卷數學壓軸題的第二小問考察的是橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之積為定值-1問題1：橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之和為定值，則該兩個動點所在的直線是否一定過定點？問題2：橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之積為定值，則該兩個動點所在的直線是否一定過定點？筆者通過研究發(fā)現以下一般性的結論：二、歸納結論x2 y2結論1：過橢圓C： +

上一定點P(x,y

)作直線PB，斜率分a2 b2 0 0別為,k2，交橢圓C于A，B兩點且.2則當l時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為b.20a2y0? 2 ?當l10時，證明：直線AB過定點?x

-2y0,-y

2b- è0 l

0 la2?其中當l時，直線AB的斜率為定值.2009年遼寧理科第20題就考過,（2009年遼寧x2 y2理科第20C： +A3)（1）求橢圓C的方程；

a2 b2 2是橢圓CAE的斜率與AF直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.我們進一步研究發(fā)現：x2 y2結論2：過橢圓C： +上一定點P(x,y

)作直線PB，斜率分a2 b2 0 0別為,k2，交橢圓C于A，B兩點且k1k2.2則當l=b2a2

時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-y0.x0當l1

b2 a22 la22 ?時，證明：直線AB過定點 x,- y .a2 ?la2-b20

la2-b2 0÷è ?22021年安徽省中小學教育教學論文評選2 題目的多角度解法研究如果把上面的結論中的橢圓換成雙曲線或拋物線，我們思考是否還有類似的結論呢？筆者經過研究發(fā)現：x2 y2結論3：過雙曲線C： - b上一定點P(x,y

)作直線PB，斜a2 b2 0 0率分別為,k2，交雙曲線C于A，B兩點且.則當l時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-

b2x0.00a2y0x當l10時，證明：直線AB過定點?x

-2y0,-y

2b2x?0.0?0 l

0+ 2÷laè ?x2 y2結論4：過雙曲線C： - b上一定點P(x,y

)作直線PB，斜a2 b2 0 0率分別為,k2，交雙曲線C于A，B兩點且k1k2.則當l

b時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-y0.22a x022b2 2-

2 2- 2 ?當l1-

時，證明：直線AB過定點a b,-la b .x ya2 ?la2x y

la20÷è ?0 0結論5：過拋物線C：y2=2px上一定點P(x,0 0

)作直線PB，斜率分別為,k2，交拋物線C于A，B兩點且.則當l時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為-p.y0x當l10時，證明：直線AB過定點?x

-2y0,-y

2p?+?0 l

0 l÷è ?證明：當l10時，設直線AB的方程為：xA(x1,),B(x2,y2)聯(lián)立ìx?

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pm? ?12因為k

=-

y0+y2-

0=2p(1-

y0)

2p(y2-

y0)1 2 x

x x

x y2-y2

+y2-y21 0 2 0 1 0 2 032021年安徽省中小學教育教學論文評選 2p 2p

2p1y22y0

2pt2y0yy

yyy

y

2pm2pyty21 0 2 0

1 0 2 0 0 0將y2px代入化簡得k=

2pty0

m=yt

-2pty00 00 0 1 2 -m+yt0 0? ?

? 2y2p ?所以直線y+y

-2p-

2y0恒過點x-

0， -y .? 0 l÷ 0 l

?0 l l 0÷è ? è ?0 0結論6：過拋物線C：y2=2px上一定點P(x,0 0

)作直線PB，斜率分別為,k2，交拋物線C于A，B兩點且k1k2.證明：直線AB過定點

x-2p,-y? ??0 l 0÷è ?證明：設直線AB的方程為：xA(x1,),B(x2,y2)聯(lián)立ìx?

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pm? ?12因為kk

=-

y y-20×2

0=2p(1-

y0)

2p(y2-×

y0)12 x

x x

x y2-y2

y2-y21 0 2 0 1 0 2 02p 2p

4p2

4p2= × = =y+y y+y

(y+y

)(y

+y)

-2pmpyt+y21 0 2 0 1 0 2 0 0 0將y2px代入化簡得kk= 2p

m=yt

-2p0 00 0 12 -m+yt0 0所以直線：xt(y0)0-3 引申拓展

2pl

恒過點?-??0

2pl

?y0y?2+筆者進一步研究2020年全國I卷數學第20題：已知B分別為橢圓E:xy2+a2的左、右頂點，G為E的上頂點，AG，P為直線x上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.42021年安徽省中小學教育教學論文評選(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.筆者發(fā)現上面這道題對一般的橢圓也同樣適用，得到一系列的結論。結論7：已知B分別為橢圓E:

x2 y2+22 >0)的左、右頂點，P為直線+2a bx10,m1PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.2 ?證明：直線CD過定點M?m,0è ?證明：設C(1,1,D(2,y2,P(,t)若t10，設直線CD的方程為x.由于直線PA的方程為y=

tm

(x，所以

= tm

(1

+a)……①.直線PB的方程為y=

tm-a

(x-a)，所以y2

=tm-a

(2

-a)……②.聯(lián)立①②消t可得1(2-ama)=y2(1am-a).又因為x2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)222a2 b2222

2 a2 22

b2所以1y2(2-ama)=y2

(1am-a=-2(2a

-a(1am-a)22即ay2+a)+b22

(1a(2am-a)0將,x2ky2代入上式得12a2mab2mak2yy12

kb2ay

y2

b2maa20…③1將x1

2 2代入x代入xya2 b2

2 22 22k2b2a2)y2b2klyb2l2-a2)0.所以y+y2bkl,yy

bl-ba.代入③式得

1 2 b2k2+a2

12=b2k2+a252021年安徽省中小學教育教學論文評選a2mab2mak2b22a22k2b4maab2maa2b2k2a20即a2mab2mak2a2k2b2mamaab2k2a20即a2maamab2k2a2k2b2ab2k2a20即a2maamaaa20，即maamaa0a2 a2即 故直線CD的方程為x+m m

，即直線 過定點 CD MCD M?

?,0?2 2, ,若t，則直線CD的方程為y，過點M0?.綜上，直線CD過定點M0, ,?m ÷

?m ÷è ? è ?我們平時學習時還要學會逆向思維，就是把條件和結論互換看看命題是否還成立，筆者發(fā)現本題條件和結論互換命題同樣成立。結論8：已知B分別為橢圓E:

x2 y2+1a+1ab0)的左、右頂點，過 ( )2 2a b10,m1±a)點作一條直線與橢圓E相交于C,D兩點，若直線AC和BD相交于點P.a2證明：P點在定直線x 上.m證明：設C(1,1,D(2,y2,P(0,0)設直線CD的方程為x.由于直線AC的方程為y=

(x……①.直線BD的方程為y=

y2x2-a

(x-a)……②.聯(lián)立①②消y可得

y2(1a) 0a= .1(2-= .-a62021年安徽省中小學教育教學論文評選又因為x2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)2a2 b22

1 a2 1x+a

yy(x+a)

a2yy

(x+a)

a2yy0

121 121

12 所以x

=a y2(x-a) b2(x2-a2a) b2(x

a)(x

a)0 1 2

1 2 1 2a2yy a2yyb-a)(ky-a) 2 2

( ( )( 2

……③12 122 é ùb kyym-a

y+y

+m-a1 2 ?

12 1 2 ?將將xym代入xy+ 得a2 b2k2b2a2)y2b2yb2m2-a2)0.2b2km b2m2-b2a2,yy=.所以,yy=.

22 2 12

22 2代入③式得

bkbkx

a2b2m2-a2)0 x-a

2é22(

2 2)

22( )( 2(2

2 20 b kbm-a

-2kbmm-a

+m-a bk? ?即x

a2ma)

a2ma)

ma 0 x-a

kb+a)-2kbm-k)

a2-a)

m-a22 22 22 202 2a a 即x 故P點在定直線x 上.0 m m我們發(fā)現2020年全國I卷數學第20題也是直線過定點問題，那么這題和結論1有沒有聯(lián)系呢？它能不能轉化為結論1問題。2020年全國I卷數學第20題的第二種解法：x2(1)E的方程： +y29(2)設P(6,t)，因為A(-0),B0)，所以kPA1

=t,k9 PB

=t31

kPB.即kBD=3kAC.由點差法可得k

BC

.所以k9

BC.3ì xy設直線CD的方程為xlymm13,C(1,1,D(2,y2,聯(lián)立í2 2?xy-9得l29)y22lym2-90.所以y+y

2lm -,y-

=m-9.21 2 l2122

l2因為k1，即gy21即3yyy-y-3)=03

x-3x

-3 3

12 1 21 2( 2) ( ( )( 2即3y2

m-3+y2

+m-372021年安徽省中小學教育教學論文評選即3l2m2-9)-2l2mm-3)m-329l2)0.因為m13，所以m=3.即直線CD過定點,0?.2 ?2 ÷è ?進一步研究我們還可以把2020年全國I卷數學第20題進行改編得到下面的題目。2 +變式.已知A，B分別為橢圓E:xy2的左，右頂點，G為E的上頂點，AG.直線+a2x與E交于不同的兩點C,D，直線x與直線BD交于點P.求證：當mn時，C,P三點共線．解析(1)由題意知G(0,1),A(-a,0),B(a,0)，∴AG-=a2-1，x2解得a，故橢圓E的標準方程為 +y2.9(2)由題可知直線CD的方程為xty,設C(1,1,D(2,y2，Pn,t)，ìx

t2

y2-9

D>0

2m m2-9聯(lián)立íx2y2x得( )y+y

,yy= ，1 2 2 12 2t 9 t 9? + +tk k n-3C∵PA=PA=nk k n-3C

y2y1=21

1，kBDk

kPB=y

t n-3= y

n，k =y = y，-9 9∵BC

1 1BD

2 2 ，\kk-3=-3y2

x2-3=

ty2-3

y2BCBD--3)

t2yy

tm-3(yy)m-321 2m2-9

12 1 2m2-9

m= = =t2m